無限、パラドックス、ゲーデルの不完全性定理、そして数学的多元宇宙｜ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス

本動画では、集合論と数学基礎論の専門家であるジョエル・デイヴィッド・ハムキンスとの対談を通じて、無限の本質、カントールによる異なるサイズの無限の発見、そしてそれが数学界に引き起こした革命的変化について深く掘り下げている。ラッセルのパラドックス、ゲーデルの不完全性定理、連続体仮説の独立性といった20世紀の数学を揺るがした重要な発見を解説し、さらにハムキンスが提唱する「数学的多元宇宙」という斬新な視点から、唯一の数学的真理が存在するのかという根本的な問いに挑んでいる。超現実数、無限チェス、そして数学における証明と真理の関係性についても議論が展開される。

Infinity, Paradoxes, Gödel Incompleteness & the Mathematical Multiverse | Lex Fridman Podcast #488

Joel David Hamkins is a mathematician and philosopher specializing in set theory, the foundations of mathematics, and th...

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ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスの紹介

レックス・フリードマン：今回は、集合論、数学基礎論、そして無限の本質を専門とする数学者・哲学者、ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスとの対談です。彼はMathOverflowで最高評価ユーザー第1位という、私が思うに伝説的な功績を持っています。ちなみにMathOverflowは、研究数学者向けのStack Overflowのようなサイトです。彼はまた、『Proof and the Art of Mathematics』や『Lectures on the Philosophy of Mathematics』を含む数冊の著書があり、infinitelymore.xyzという素晴らしいブログも運営しています。

これは現代数学の基礎についての非常に技術的で、同時に非常に楽しい対談です。無限についての驚くべきアイデア、現実の本質、真理、そして20世紀の偉大な頭脳たちを悩ませた数学的パラドックスについて語り合いました。

私は最近、少し世界から身を隠して、読書、思考、執筆、魂の探求をしていました。誰でも時々そうするように。でも主に、仕事に深く集中し、新年に予定している困難な旅行の準備を心理的に進めていました。そんな中、繰り返し浮かんでくる思いがありました。生きていること、そして世界中の人々からこれほど多くの愛を受けられることが、なんと幸運なことかと。

この機会に、心の底から感謝を伝えたいと思います。すべてに対して、皆さんのサポートに対して、世界中の人々との多くの素晴らしい対話に対して。少しの批判と、たくさんの愛を受けました。そしてそれ以外のあり方は望みません。すべてに感謝しています。これはLex Fridman Podcastです。サポートしていただける方は、説明欄のスポンサーをチェックしてください。そこには私への連絡方法、質問、フィードバックなども載っています。それでは親愛なる友人の皆さん、ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスをお迎えしましょう。

無限の革命：カントールの発見

レックス・フリードマン：ある無限は他の無限より大きい。19世紀末にカントールが提唱したこのアイデアは、数学を破壊した後に再構築したと言っても過言ではないと思います。また、この発見はいくつかの理由で壊滅的かつ変革的だったと読みました。

まず、神学的危機を引き起こしました。無限は神と結びついているので、どうして複数の無限が存在し得るのか？しかもカントール自身は深い信仰心を持っていました。次に、一種の数学的内戦がありました。ドイツの指導的数学者クロネッカーはカントールを「若者の堕落者」と呼び、彼のキャリアを妨害しようとしました。第三に、ラッセルのパラドックスのような魅力的なパラドックスが多数出現しました。これは自分自身を含まないすべての集合の集合についてのもので、数学全体を矛盾させる恐れがありました。そして最後に、心理的・個人的な側面として、カントール自身の精神的崩壊があります。彼は文字通り狂気に陥り、晩年を療養所への入退院を繰り返しながら、連続体仮説の証明に執着して過ごしました。

これらすべてを踏まえて、無限というアイデア、ある無限が他より大きいという概念を説明していただけますか？なぜこれが数学にとってこれほど変革的だったのでしょうか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：とても良い質問ですね。私としては、無限について語り、その物語を語り始めるなら、実際にはカントールよりもずっと前から始めたいと思います。古代ギリシャ時代まで遡ることができます。アリストテレスは、実際の無限を達成することの不可能性に対して、無限の潜在的側面を強調しました。アルキメデスの取り尽くし法では、領域の面積を理解するために、それをどんどん多くの三角形に分割し、いわば面積を取り尽くし、その中に入れた部分の面積の総和として全体の面積を理解しようとしました。

そしてこの潜在的な無限の理解は、何百年も、何千年も続きました。ほとんどすべての数学者は潜在主義者のみであり、実際の無限について語ることはまったく支離滅裂だと考えていました。ガリレオはこの非常に顕著な例外で、『新科学対話』でこの種の潜在主義的正統性に反論しました。そこでの彼の説明は本当に素晴らしいものでした。

多くの点で、ガリレオはカントールの発展を先取りしていましたが、最後まで押し通すことができず、ある意味で混乱して手を挙げてしまいました。ガリレオのパラドックスとは、自然数について考えたとき—私なら0から始めますが、彼は1から始めたかもしれません—1、2、3、4などの数を考え、その中でどれが完全平方数かを考えるというアイデアまたは観察です。0の2乗は0、1の2乗は1、2の2乗は4、3の2乗は9、16、25、といった具合です。

ガリレオが観察したのは、完全平方数はすべての数と一対一対応に置くことができるということでした。つまり私たちはそれをやったわけです。すべての数をその2乗と対応させました。したがって、この一対一対応に基づくと、完全平方数は数と全く同じ数だけあるように見えます。しかし、完全平方数の間にはすべての隙間がありますよね？これは完全平方数の方が少ないはずだと示唆しています。平方数より数の方が多いはずです。なぜなら数は平方数全部に加えて、その間にあるものも多く含んでいるからです。

ガリレオはこの観察に非常に悩まされました。なぜなら、これが無限量の比較において一種の支離滅裂さを引き起こすと考えたからです。別の例として、長さの異なる2つの線分を取り、それらをつなぐ扇状の線を描くことを想像できます。端点は短い方から長い方の線分に対応し、中点も対応し、といった具合に、進むにつれて線を広げていきます。

すると、短い線上のすべての点は、長い線上の一意の異なる点と一対一の方法で対応します。したがって、2つの線分は同じ数の点を持っているように見えます。長い方が長いのにもかかわらず。そして再び、無限についての私たちの考えに混乱が生じます。

また2つの円についても、それらを同心に配置して中心から放射状の線を引くと、小さい円のすべての点は大きい円の対応する点と一対一の方法で関連付けられます。そして再び、小さい円は大きい円と同じ数の点を持っているように見えます。まさにこの一対一対応に置くことができるからです。

もちろん、現代のこの状況に対する態度は、それら2つの無限はまったく同じであり、ガリレオは等数性についてのそれらの観察において正しかったということです。今日では、私がカントール＝ヒュームの原理と呼ぶもの、あるいは単にヒュームの原理と呼ぶ人もいるものに訴えて話すことになります。これは、有限であれ無限であれ2つの集まりがある場合、それら2つの集まりが同じサイズ、つまり等数であると言いたいなら、それらの集まりの間に一対一対応がある場合に限る、というアイデアです。

ガリレオが観察していたのは、異なる長さの線分は等数であり、完全平方数はすべての自然数と等数であり、任意の2つの円は等数である、といったことでした。カントール＝ヒュームの原理と、ユークリッドの原理と呼べるものとの間の緊張関係があります。ユークリッドの原理とは、全体は常に部分より大きいというもので、ユークリッドが『原論』で面積を計算するときなどに何度も訴えた原理です。何かが別のものの一部に過ぎないなら、全体は部分より大きいという基本的な考えです。

ガリレオが悩んでいたのは、私たちがカントール＝ヒュームの原理と呼ぶものとユークリッドの原理との間のこの緊張関係でした。これはカントールまで完全には解決されなかったと思います。彼は異なるサイズの無限などについてとても明確に説明したので、非常に説得力がありました。彼は2つの異なる無限集合を示し、それらが等数でないことを証明しました。つまり一対一対応に置くことができないということです。

実数の非可算性について話すのが伝統的です。カントールの大きな結果は、すべての実数の集合が非可算集合であるということでした。可算集合について話すなら、ヒルベルトのホテルについて話すのがいいでしょう。そのアイデアを完璧に明確にしてくれます。

ヒルベルトのホテル

レックス・フリードマン：はい、ヒルベルトのホテルについて話しましょう。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ヒルベルトのホテルは無限に多くの部屋を持つホテルです。各部屋はフルフロアスイートです。0階があります…私はいつも0から始めます。なぜなら私にとって自然数は0から始まるからです。ただし、これは一部の数学者にとっては論争点かもしれません。他の数学者は間違っています。

レックス・フリードマン：先ほど言いましたが、私はプログラマーなので、0から始めるのは素晴らしい出発点です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさに。0階、1階、2階、あるいは部屋0、1、2、3、などがあり、自然数と同じです。ヒルベルトのホテルはすべての自然数に対応する部屋があり、完全に満室です。すべてのNについて、部屋Nを占有している人がいます。

しかしその間に、新しい客がフロントにやってきて部屋を求めます。「部屋をお願いできますか？」マネージャーは言います、「ちょっと待ってください、少し時間をください。」実は、他の客がチェックインしたとき、滞在中に部屋の変更があるかもしれないという同意書にサインしなければなりませんでした。そこでマネージャーは現在の宿泊客全員にメッセージを送り、全員に「一つ上の部屋に移動してください」と伝えました。部屋5の人は部屋6に移動し、部屋6の人は部屋7に移動し、といった具合です。

全員が同時に移動しました。もちろん、2人の異なる客を同じ部屋に入れることは絶対にしたくありませんし、全員が自分だけのプライベートな部屋を持つ必要があります。しかし全員を一つ上の部屋に移動させると、もちろん一番下の部屋、部屋0が空きます。そこで新しい客をその部屋に入れることができます。

つまり、無限に多くのものがあっても、新しい客を収容できるということです。これがヒルベルトのホテルの宿泊客という特定の無限が、ユークリッドの原理に違反することを示す方法です。このアイデアをまさに説明しているのです。なぜなら、集合に1つの要素を追加しても、それを大きくしなかったからです。部屋番号による古い客と新しい全客との間にまだ一対一対応を持てるからです。

レックス・フリードマン：もう一度言うと、ホテルは満室です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ホテルは満室です。

レックス・フリードマン：それでもまだ1人追加できる。これは数学の伝統的な概念を壊し、無限について考えようとするときに人々の頭を壊します。これは無限の性質ですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：これは無限の性質で、集合に要素を追加しても、それが大きくならないことがあるということです。この例はそれを示しています。

しかしヒルベルトのホテルでさらに進むことができます。例えば、翌日、20人が一度にやってくるかもしれません。同じトリックを再び簡単に行えます。全員を20部屋上に移動させるだけです。すると下に20の空き部屋ができ、新しい20人の客が入れます。

しかし翌週末、巨大なバスがやってきました。ヒルベルトのバスです。ヒルベルトのバスにはもちろん無限に多くの座席があります。座席0、座席1、座席2、座席3、などがあります。バスの全員がホテルにチェックインしたいのですが、ホテルは完全に満室です。マネージャーは何をすればいいでしょうか？

ヒルベルトのホテルについて授業で教えるとき、私はいつも学生にそのやり方の説明を求めます。あなたにも聞いてみましょう。バスの全員と現在の宿泊客全員をホテルに収容する方法について、あなたのアイデアは何ですか？

レックス・フリードマン：ホテルを偶数と奇数の部屋に分けて、新しいヒルベルトバスの人々を奇数部屋に入れ、以前の宿泊客を偶数部屋に入れます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさにその通りです。それはとても簡単な方法です。現在の客全員に部屋番号を2倍にしてもらえばいいのです。部屋Nの人は部屋2×Nに移動します。全員が自分だけのプライベートな新しい部屋を得ますし、2×Nは常に偶数なので常に偶数になります。こうしてすべての奇数部屋が空きます。そしてバスの乗客を奇数番号の部屋に入れることができます。

レックス・フリードマン：そうすることで、無限を別の無限に押し込んだわけですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。これが実際に示しているのは…つまり、別の考え方をすると、集合が自然数の集合と等数であれば可算と定義できます。ヒルベルトのホテルの観点からそれが何を言っているか理解する簡単な方法は、ヒルベルトのホテルに収まれば可算だということです。なぜならヒルベルトのホテルは基本的に部屋番号で見れば自然数の集合だからです。自然数の集合と等数であることは、ヒルベルトのホテルに収まることと同じことです。

私たちが示したのは、2つの可算無限集合があれば、その和集合も可算無限だということです。それらを一緒にして、どちらかの要素すべてを持つ新しい集合を作っても、その和集合はまだ可算無限にすぎません。大きくならなかったのです。これは無限の概念が持つ顕著な性質だと思います。

しかし、無限が1種類しかないと思っていたなら、これはまったく驚くべきことではないでしょう。なぜなら2つの無限集合を一緒にすれば、まだ無限だからです。無限が1種類しかなければ、2つの可算集合の和集合が可算であることは驚くべきことではないはずです。

これをもう少し押し進める別の方法があります。ヒルベルトの列車が到着したときです。ヒルベルトの列車には無限に多くの車両があり、各車両には無限に多くの座席があります。列車の乗客全員と現在のホテルの宿泊客を合わせて、無限の無限があり、列車の全員がヒルベルトのホテルにチェックインしたいのです。

マネージャーはもちろん、再び全部屋にメッセージを送り、全員に部屋番号を2倍にしてもらうことができます。そうすると再びすべての偶数番号の部屋が占有され、再び奇数番号の部屋が空きます。何とかして、列車の乗客を奇数番号の部屋に入れたいのです。

すべての列車乗客は、ある車両、たとえば車両Cと座席Sにいます。何とかして、この2つの座標、車両番号と座席番号から、一対一の方法で奇数を生成しなければなりません。これは実際にはそれほど難しくありません。実際、簡単な方法は、3のC乗×5のS乗を使うことです。3のC乗、つまり車両番号だけ3を掛け算し、5のS乗、つまり座席番号だけ5を掛け算し、それら2つの数を掛け合わせます。

これは常に奇数です。なぜなら素因数分解には3と5しかなく、2がないからです。したがって確実に奇数です。そして素因数分解の一意性のため、常に異なります。すべての数は一意に素数に分解できます。だから、その形の数があれば、それを因数分解するだけで、3の指数と5の指数がわかります。つまり、その人がどの車両から来たか、どの座席から来たかが正確にわかります。

レックス・フリードマン：素因数分解とは、すべての数が数学の原子である素数に分解できるということです。それらを掛け合わせてその数を得ることができます。それが素因数分解です。3と5は両方とも素数で、奇数です。この魔法の公式を通じて、無限の車両があり、各車両に無限の座席がある列車に対処できます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさにその通りです。可算個の可算集合があれば、それらの集合の和集合、つまりそれらすべての集合を1つの巨大な集合にまとめても、まだ可算であることを証明しました。なぜなら列車の車両はそれぞれ可算であり、現在のホテルも加えています。現在のホテルの宿泊客は、考え方によっては別の列車車両のようなものです。どの列車車両とも同じ数を持つことができます。可算個の可算集合を一緒にして1つの大きな和集合を作っても、まだ可算なのです。これはとても驚くべきことだと思います。

私が何年も前にこれを初めて学んだとき、これに完全に衝撃を受け、魅了されました。この可算無限という概念が、無限個の無限を足してもまったく同じ無限になるという過程に対して閉じているということは、私にとって非常に驚くべきことでした。これはユークリッドの原理の強い違反、強い事例です。私たちが構築した新しい集合は…古い集合より多くの要素を持っています。追加の要素があるという意味で。しかしサイズの点ではより多くの要素を持っていません。なぜならまだ可算無限であり、ヒルベルトのホテルに収まるからです。

レックス・フリードマン：可算無限について良い直感を内面化することができましたか？なぜなら、これはかなり奇妙なことだからです。可算無限集合の可算無限集合を持つことができ、それを全部押し込んでもまだ可算無限集合になる。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、まさにその通りです。これらの概念で作業していると、もちろんヒルベルトのホテルの議論はある程度明確になります。他にも話す方法はたくさんあります。

例えば、整数格子、自然数のペアを取ることで得られる点のグリッドについて考えてみましょう。整数格子の右上象限です。0行、1行、2行などがあり、0列、1列、2列などがあり、各行と列には可算無限の点があります。それらの点を点として考えると、列車の車両と同じです。整数格子の各列を考えると、それは可算無限です。1つの列車車両のようで、その隣に次の列車車両があり、その隣に次の列があり、次の列車車両があります。

このグリッドの方法で考えると、これらのグリッド点を通る巻き道、対角線を上下するような道を想像できます。行ったり来たりする道です。角の点から始めて、下に行き、左上に行き、右下に行き、左上に行き、右下に行き、といった具合で、この道ですべてのグリッド点に当たります。

これは点に部屋番号を割り当てる方法を与えてくれます。すべてのグリッド点はあるNについてその道のN番目の点になるからです。それがグリッド点と自然数自体との間の対応を与えます。

つまりこれは一種の異なる図です。以前は3のC乗×5のS乗を使いましたが、これはある種の過度に算術的な考え方です。しかし、可算個の可算集合があってもまだ可算無限であることを理解する一種の直接的な方法があります。なぜなら、それらをリストに載せ始めることができるからです。無限の集まりそれぞれにリストにもう1人追加する機会を与える限り、どの集合の誰でも1つのリストに収容できます。

レックス・フリードマン：ええ、とても良い視覚的な考え方です。グリッドをジグザグに進んで、全員が含まれていることを確認するだけです。それが全員を含めるアルゴリズムを与えてくれます。

非可算無限と実数

レックス・フリードマン：非可算無限について話していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、もちろんです。

レックス・フリードマン：整数と実数は何で、カントールが見つけた境界線は何ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：それをやる前に、もう1ステップ挿入したいと思います。有理数についてです。自然数のペアをやりました。それは基本的に列車の車両です。しかし、有理数、分数の集合について考えるのは少し有益かもしれません。なぜなら多くの人が、これはより大きな無限かもしれないという期待を持っているかもしれないからです。有理数は稠密に順序付けられているからです。任意の2つの分数の間に、別の分数を見つけることができます。2つの分数の平均は別の分数です。

時々、人々には整数とは異なる性格を持っているように見えます。整数は離散的に順序付けられていますよね。任意の整数から、次のものと前のものがあります。しかし有理数ではそうではありません。それでも、有理数もまだ可算無限にすぎません。

それを見る方法は、実際にはヒルベルトの列車とまったく同じです。なぜなら、すべての分数は2つの整数から成っているからです：分子と分母です。2つの自然数を教えてくれれば、どの分数のことを言っているかわかります。正か負かの符号の問題はありますが。正の分数だけを考えれば、P/Qの形の数があり、Qはゼロではありません。3のP乗×5のQ乗をまだ使えます。同じアイデアが有理数でも機能します。これはまだ可算集合です。

すべての集合が可算になると思うかもしれません。なぜなら無限は1つしかないからです。そのような視点を採用しているかもしれませんが、それは真実ではありません。カントールが成し遂げた深遠な業績は、実数の集合が可算無限ではないことを証明したことです。それは厳密により大きな無限であり、したがって無限の概念は1つ以上、無限のサイズは1つ以上あるのです。

レックス・フリードマン：実数について話しましょう。実数とは何ですか？なぜそれらは無限を壊すのですか？可算無限を。Perplexityで調べると、実数は数直線上に表現できるすべての数を含み、有理数と無理数の両方を包含します。有理数については話しました。ちなみに有理数は、定義により、2つの整数の分数として表現できる数です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです。実数では、代数的数があります。もちろん、すべての有理数があります。整数と有理数はすべて実数系の一部です。しかしまた、√2や∛5などの代数的数もあります。整数上の代数方程式を解く数は、代数的数として知られています。

長い間、それがすべての実数なのか、それとも超越数が存在するのかは未解決の問題でした。超越数は代数的でない実数です。

レックス・フリードマン：超現実数についてはここでは触れませんが、それについては素晴らしいブログ記事がありますね。後でその話をしましょう。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：素晴らしい。超越数が存在することを最初に証明したのはリウヴィルで、彼は今ではリウヴィル定数として知られる非常に具体的な数を示しました。それは超越数です。カントールも有名に、超越数がたくさんあることを証明しました。実際、実数の非可算性についての彼の議論から、非可算個の超越数があることが導かれます。つまりほとんどの実数は超越数です。

レックス・フリードマン：Perplexityによると、「超越数は『実数』または『複素数』であり、整数または有理数係数を持つ任意の非ゼロ多項式の根ではない。これは、整数係数を持つ代数方程式の解として表現できないことを意味し、代数的数とは異なる」とあります。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：有名な超越数には、円周率π、つまり3.14159265…があります。これは超越数です。また、オイラーの定数e、e^xの指数関数のeもあります。

レックス・フリードマン：数学で最もセクシーな数のいくつかはすべて超越数だと言えますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：絶対にそうです。ええ、ただ、√2もかなり素敵ですけどね。

レックス・フリードマン：√2。なるほど。場合によりますね。美しさはすべての異なる種類の集合に見出せますが、ええ。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。シンプルさという態度を持っているなら、0と1もかなり良く見えますし…それらは確実に…

レックス・フリードマン：脱線して申し訳ありませんが、お気に入りの数はありますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ああ、うーん。すべての数が興味深いという証明があることをご存知ですか？証明できるんです。なぜなら…

レックス・フリードマン：本当ですか？その証明はどんな感じですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：証明してみましょう、すべての自然数が興味深いということを。

レックス・フリードマン：わかりました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：0は興味深いです。なぜなら加法の単位元だからです。かなり興味深いですよね。1は乗法の単位元なので、他のどの数に掛けても、その数が戻ってきます。2は最初の素数です。それは超興味深いですよね。

このように続けて具体的な理由を挙げることができますが、一般原理としてすべての数が興味深いことを証明したいと思います。これが証明です。矛盾に向かって、つまらない数があると仮定しましょう。

レックス・フリードマン：なるほど。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もし興味のない数があったら…

レックス・フリードマン：はい。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：…最小の興味のない数があるはずです。

レックス・フリードマン：うんうん、はい。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：しかしそれは矛盾です。なぜなら最小の興味のない数というのは、持つには超興味深い性質だからです。したがって…

レックス・フリードマン：ああ、いいですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：…つまらない数は存在し得ないのです。

レックス・フリードマン：この証明に穴を見つけようとしなければなりません。なぜなら「興味深い」という言葉に多くのものが含まれていますが、ええ、美しいですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうですね。

レックス・フリードマン：これは超越数について、先ほど自然数から証明したばかりの実数については何も言っていませんね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。

レックス・フリードマン：カントールの議論に戻りましょうか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もちろん。あなたはうまく質問を避けましたね。基本的に「すべての数を愛している」と言ったのですか？

レックス・フリードマン：ええ、基本的に。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それが私の意図でした。

レックス・フリードマン：カントールの議論に戻りましょう。

カントールの対角線論法

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：さて、カントールは実数の無限が自然数の無限とは異なり、厳密に大きいことを証明したいと思いました。自然数は0から始まって1ずつ加える数です。0、1、2、3、などです。実数は、先ほど言ったように、数直線から来る数で、すべての整数、有理数、代数的数、超越数など、それらすべてを含みます。

明らかに、自然数は実数に含まれているので、実数は少なくとも自然数と同じくらい大きいことがわかります。証明したい主張は、厳密に大きいということです。厳密に大きくないと仮定しましょう。すると同じサイズになります。しかし同じサイズを持つということは、定義により、それらの間に一対一対応があることを意味します。

したがって、実数が自然数と一対一対応に置けると仮定します。すると、すべての自然数Nに対して、実数があります。それをR_Nと呼びましょう。R_NはリストのN番目の実数です。基本的に、私たちの仮定により、実数がリストに載せられたと考えることができます。R_1、R_2、などです。

さて、数Zを定義します。整数部分は0で、小数点を置き、この数Zの桁を指定し始めます。D_1、D_2、D_3、などです。そして、Zの小数点以下N桁目がリストのN番目の数のN桁目と異なるようにします。

Zのn桁目を指定するために、リストのN番目の数R_Nに行き、その小数点以下N桁目を見ます。その桁が何であれ、私の桁はそれと異なるようにします。そしてもう少しやりたいことがあります。それは、0や9の桁を決して使わない方法で異ならせることです。常に他の桁を使い、0や9は使いません。

これは一種の対角線を形成します。下方向に右へ向かって、そのためこの議論は対角線論法と呼ばれます。N番目の数のN桁目を見ているので、それらは下に行く対角線上に存在します。Zを、そのN桁目がN番目の数のN桁目と異なるように作りました。

しかし今やZはリストにないことになります。なぜならZはR_1と異なるからです。Zの小数点以下1桁目はR_1の小数点以下1桁目と異なります。それはまさにそう構築したからです。Zの2桁目はR_2の2桁目と異なり、以下同様です。ZのN桁目はすべてのNについてR_NのN桁目と異なります。したがって、ZはこれらのR_Nのどれとも等しくありません。

しかしそれは矛盾です。なぜなら私たちはすべての実数がリストにあると仮定したのに、ここにリストにない実数Zがあるからです。これが主要な矛盾です。

レックス・フリードマン：つまり、構成による証明の一種ですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさに。あなたがそう言うのは実際興味深いです。なぜなら、カントールの構成が構成的かどうかについて、この観察に関連して起こる一種の哲学的論争があるからです。数のリストが与えられると、カントールはリストにない実数を構成する具体的な方法を与えてくれます。これが1つの考え方です。

1つの側面があります。先ほど触れましたが、一部の実数は複数の小数表現を持っており、それが議論にわずかな問題を引き起こします。例えば、数1は1.0000…と永遠に書くこともできますが、0.999…と永遠に書くこともできます。これらは全く同じ数の2つの異なる小数表現です。

レックス・フリードマン：あなたは美しく0と9を排除しました。したがって、それを考慮する必要さえなく、証明はまだ機能します。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさに、その現象が起こるのは、数が最終的に0または最終的に9である場合だけだからです。私たちの数Zには0も9も入っていなかったので、そのような数ではありませんでした。したがって、実際にはそれらの場合、対角化するために特別なことをする必要はありませんでした。私たちの数が一意の表現を持っているという単なる事実が、すでにそれがそれらの数と等しくないことを意味しています。

カントールの時代にはより論争的だったかもしれませんが、今日では集合論の最初の主要な結果の1つとして最も一般的に見られていると思います。それは深遠で驚くべき洞察に満ちており、その後の多くの議論の出発点です。この対角化のアイデアは非常に実り多い証明方法であることが証明されており、数理論理学のほぼすべての主要な結果は抽象的な方法で対角化のアイデアを使用しています。ラッセルのパラドックス、停止問題、再帰定理など、多くの原理がその核心で対角化を使用しています。これは他の多くの観察の始まりでした。

ラッセルのパラドックスと対角線論法の普遍性

レックス・フリードマン：少し戻ってもいいですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もちろん。

レックス・フリードマン：この無限の危機は、一種の数学の再構築につながりました。それが何をもたらしたか概説していただけると良いのですが。まず、集合論が数学の基礎となりました。すべての数学が今や集合から構築でき、数学に初めての本当に厳密な基礎を与えました。数学の公理化、パラドックスは数学者たちにZFCや他の公理系を開発させ、数理論理学が出現しました。ゲーデル、チューリングなどがまったく新しい分野を創造しました。集合論とは何か、それがどのように現代数学の基礎として機能するか、そしておそらく真理の基礎としても機能するかを説明していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：素晴らしい質問です。集合論は実際に2つの役割を果たしています。集合論が出現する2つの方法があります。一方では、集合論はそれ自体が数学の一分野であり、独自の問題、質問、回答、証明方法を持っています。この観点からすると、集合論は実際には超限再帰的構成または整礎定義と構成についてです。それらのアイデアは非常に実り多く、集合論者はそれらを調べ、そこから多くのアイデアを発展させてきました。

しかし集合論はまた、この他の基礎的役割も果たすことになりました。集合論について言われることの多くは、それが果たしている2つの役割の区別を考慮していないことが非常に多いです。それ自体が一分野ですが、数学の基礎としても機能しています。

その基礎的役割において、集合論はものの集まりを1つのものとして考える方法を提供します。それが集合論の中心的アイデアです。集合はものの集まりですが、集合自体を1つの抽象的なものとして考えます。実数の集合を形成すると、それは集合です。1つのものです。その中に要素を持っています。オブジェクトの袋のようなものです。集合はオブジェクトの袋のようなものです。

そして私たちは、ものの集まりをそれ自体1つの抽象的なものとして考えるこのアイデアの性質を記述する多くの異なる公理を持っています。

レックス・フリードマン：公理とは、私たちが真であると仮定する事実で、それに基づいて数学のアイデアを構築するものですね。集合についての一連の事実、公理があり、それらを組み合わせると、十分に強力であれば、その上に非常に興味深い数学をたくさん構築できます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、その通りだと思います。現在の集合論の公理、ツェルメロ＝フレンケル公理として知られているものの歴史は、20世紀初頭にツェルメロのアイデアから出てきました。歴史は非常に魅力的です。なぜなら、1904年にツェルメロは選択公理が整列可能定理を含意することの証明を提供したからです。

彼はその証明を記述しましたが、当時は非常に論争的でした。理論はなく、今私たちが集合論に持っているような公理のリストはありませんでした。カントールは公理的枠組みで作業していませんでした。彼は今私たちが集合論に持っているような公理のリストを持っておらず、ツェルメロもそうでした。

彼のアイデアは整列定理に関して非常に挑戦され、彼の議論を形式化できる理論を提示するよう迫られました。それがツェルメロ集合論として知られるものの起源でした。

レックス・フリードマン：Perplexityによると、選択公理は集合論の基本原理であり、任意の空でない集合の集まりに対して、選択を行う明示的な規則が与えられていなくても、各集合からちょうど1つの要素を選ぶことが可能であると述べています。この公理は、集まりが無限であったり、選択規則を指定する自然な方法がない場合でも、各元の集合から1つの要素を含む新しい集合の構成を可能にします。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです。

レックス・フリードマン：これは論争的であり、公理系の言語さえない前に記述されました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。一方では、選択公理の原理はこれが真であってほしい、真であることは完全に明らかです。多くの人がそれを論理の法則と見なしています。集合の束があれば、それぞれから要素を選ぶ方法があります。関数があります。集合の束があれば、それらの集合のどれかに適用するとその集合の要素を与える関数があります。

それは完全に自然な原理です。選択公理と呼ばれますが、これは数学的アイデアを一種擬人化した方法です。関数が何かを選んでいるわけではありません。そのような選択をするとしたら、あなたがした選択からなる関数があるだろうということです。

難しいのは、選択を行う規則や手順を指定できないとき、存在すると主張している関数が何であるかを言うのが難しいということです。選ぶ方法があるという見方をしたいのです。関数が何であるかを言う簡単な方法はありませんが、確実に存在します。これが選択公理についての考え方です。

レックス・フリードマン：ZFCの3文字は、この会話で多く出てくるかもしれません。先ほど言及しました、ツェルメロ＝フレンケル集合論、それがZとFで、Cはこの選択公理から来ています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。

レックス・フリードマン：ZFCは非常に技術的なもののように聞こえますが、現代数学の基礎となる公理の集合です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、絶対にそうです。選択公理が使われているかどうかに注意を払い、選択公理を使いたくない数学の大きな部分があることも認識すべきです。彼らは選択公理なしで可能な結果を導き出したり、ツェルメロ＝フレンケル集合論の弱められた形式で作業したりします。その分野ではかなり活発な研究があります。

選択公理に戻りますが、選択公理についてのラッセルの説明を話すのは興味深いかもしれません。ラッセルはこう述べています。無限のクローゼットを持つ金持ちの人がいます。そのクローゼットには無限に多くの靴のペアがあり、彼は執事に「各ペアから1足ずつ持ってきてください」と言います。

執事はこれを簡単にできます。なぜなら、任意の靴のペアに対して、常に左の靴を選ぶことができるからです。選択を記述できる方法があります。常に左を取るか、常に右を取るか、赤い靴なら左を取り、茶色い靴なら右を取るか、などです。そのような選択関数をもたらす規則を発明できます。そのような場合は選択関数を記述できるので、選択公理は必要ありません。選択の具体的な方法を記述できるとき、選択関数があることを知るために公理に訴える必要はありません。

しかし問題のあるケースは、その人がクローゼットに持っている靴下の無限の集まりについて考えるときに起こります。靴下は各ペア内で区別できない、つまり互いに一致し、識別不能だと仮定すると、執事は各ペアでどの靴下を選ぶかの規則を持っていないでしょう。したがって、彼が各ペアから1足の靴下を生成する方法を持っているかどうかは明確ではありません。なぜなら…

ですから問題なのは、選択関数が従う規則、選択関数を定義する規則を指定できるかどうか、または一種の任意の選択の側面があるかどうかです。それがそのような関数があることを知るために選択公理が必要なときです。

しかしもちろん、数学的存在論の問題として、すべての靴下を選ぶ方法が規則によって定義される必要はないというアイデアを魅力的に感じるかもしれません。数学的現実に存在するすべてが、そのような規則や手順に従う必要があるのはなぜでしょうか？私の数学的存在論がオブジェクトで豊かだというアイデアを持っていれば、あらゆる種類の関数と選択の方法があると思います。それらはすべて私が話したい数学的現実の一部です。

したがって、私は選択公理を主張することに何の問題もありません。選ぶ方法はあります。それが何であるかを必ずしも言えませんが。しかし数学的議論では、選択関数を固定すると仮定できます。なぜなら存在することを知っているからです。

選択公理があるときとないときの哲学的違いは、議論の構成的性質についての問題です。議論をして選択公理に訴えると、証明で生成しているオブジェクトが構成的でないことを認めているかもしれません。それらについて具体的なことを必ずしも言えないでしょう。しかし単に存在主張をしているなら、それは全く問題ありません。

一方、数学の性質について構成主義的態度を持っていて、数学的主張は扱っているオブジェクトを生成する明示的な手順を提供できるときにのみ正当化されると考えるなら、おそらく選択公理を否定したいと思うでしょうし、おそらくそれ以上のものも。

ZFC公理とヒルベルトのプログラム

レックス・フリードマン：ZFCの基礎となる公理について話していただけますか？Perplexityによると、ZFC、またはツェルメロ＝フレンケル集合論と選択公理は、先ほど述べたように、ほとんどの現代数学の標準的な基礎です。以下の主要な公理で構成されています：外延性公理、空集合公理、対の公理、和集合公理、冪集合公理、無限公理、分出公理、置換公理、正則性公理、そして選択公理。

これらのいくつかは非常に基本的ですが、公理であることの意味、いくつかの基本的な事実をテーブルに置いて、その上に美しい数学を構築できるという感覚を人々に与えるのは良いことでしょう。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、その歴史は本当に魅力的です。ツェルメロはこれらの公理のほとんどを導入しました。今ツェルメロ集合論と呼ばれるものの一部として、選択公理から整列可能定理への証明を形式化するためです。それは非常に論争的な結果でした。

1904年に彼は理論なしで証明を与え、その後理論を提供するよう挑戦されました。1908年にツェルメロ集合論を作成し、その理論ではすべての集合が整列順序を許容することを証明できることを示しました。

リストの公理、外延性のようなものは、彼が話したいと思っていた集合の理解の最も基本的な原理を表現しています。例えば、外延性は、2つの集合が同じメンバーを持っていれば、それらは等しいと言います。集合はそのメンバーの集まりからなり、それだけだというアイデアです。集合には他に何も起こっていません。2つの集合が同じメンバーを持っていれば、それらは同じ集合です。これはある意味で最も原始的な公理かもしれません。

レックス・フリードマン：雰囲気を伝えるために言うと、要素を持たない集合、空集合が存在します。任意の2つの集合に対して、まさにそれら2つの集合を要素として含む集合があります。任意の集合に対して、その集合の要素の要素を正確に含む集合、つまり和集合があります。

そして冪集合があります。任意の集合に対して、元の集合の部分集合を正確に要素とする集合、冪集合があります。無限公理では、無限集合が存在し、通常は空集合を含み、要素を1つ追加する操作に対して閉じている集合です。ホテルの例に戻りますね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。

レックス・フリードマン：他にもありますが、これは魅力的です。集合論を形式化しようとしていた初期の人々の心境に身を置いてみてください。人間がそれをできることは魅力的です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その時代について歴史家による歴史的説明を読みました。特にツェルメロの公理と整列定理の証明についてです。歴史家たちは、数学の歴史上、数学の定理がこれほど公に、これほど声高に議論されたことはなかったと言っていました。

選択公理は最初は一種の基本的な原理として広く見なされていましたが、人々は整列定理を非常に疑っていました。なぜなら誰も実数の整列順序を想像できなかったからです。ツェルメロはかなり合理的に見える原理から、この明らかな非真理を証明しているように見えました。人々は、数学者たちは反対しました。

しかし、ツェルメロや他の人々は、そんなに声高に反対していた人々の数学論文などを実際に調べ、多くの場合、彼らが公に反対していたにもかかわらず、自分の議論で暗黙のうちに選択公理を使っていたことを発見しました。それを使うのはとても自然なので、非常に明白な原理だからです。十分に批判的でないと、選択公理を使っていることに気づかずに偶然使ってしまうのは簡単です。これは今日でもそうです。人々は今日まで数学的議論で選択公理が使われたか使われなかったかに注意を払うのが好きです。

以前はもっと重要でした。20世紀初頭は非常に重要でした。なぜなら、それが無矛盾な理論かどうかわからなかったし、これらの二律背反が生じていたので、公理の無矛盾性について心配がありました。しかしもちろん、最終的にはゲーデルやコーエンなどの結果によって、選択公理についてのこの無矛盾性の問題はある意味で消えました。

選択公理自体が集合論の矛盾の原因になることは決してないことがわかっています。選択公理で矛盾があれば、選択公理なしですでに矛盾しています。したがって、矛盾の原因ではありません。その観点から、無矛盾性の観点からそれを使っているかどうかに注意を払う必要性はある意味で重要性が低くなります。

しかしそれでも、先ほど述べた構成主義的アイデアに基づいて注意を払う理由はあります。

レックス・フリードマン：集合論において、無矛盾性とは理論の公理から矛盾を導出することが不可能であることを意味すると言うべきです。矛盾がないことを意味します。無矛盾な公理系とは矛盾がないということです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：無矛盾な理論とは、その理論から矛盾を証明できない理論です。

レックス・フリードマン：ちょっと休憩しましょう。ラッセルのパラドックスについてオフラインで話していて、非可算性の別の素敵な、擬人化可能な証明があるとおっしゃっていました。それを説明していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、もちろん。

レックス・フリードマン：ラッセルのパラドックスとその証明の両方を。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい。実数の集合、つまり実数の集合が非可算無限であり、自然数より厳密に大きい無限であるというカントールの証明について話しました。しかしカントールは実際にはるかに一般的な事実を証明しました。すなわち、任意の集合に対して、その集合の冪集合は厳密により大きい集合であるということです。

冪集合は元の集合のすべての部分集合を含む集合です。集合があってそのすべての部分集合の集まりを見ると、カントールはこれがより大きい集合であることを証明しました。それらは等数ではありません。

もちろん、常に要素と同じくらい多くの部分集合があります。なぜなら任意の要素に対して、そのメンバーだけを持つ単集合、部分集合を作れるからです。したがって、常に要素と少なくとも同じくらい多くの部分集合があります。しかし問題は、厳密に多いかどうかです。

カントールはこう考えました。とても単純です。実数の複雑さに邪魔されずに、抽象的な対角化のアイデアを蒸留したものです。集合Xがあり、そのすべての部分集合を見ています。それがXの冪集合です。

Xと冪集合が同じサイズだと仮定しましょう。矛盾に向かって、同じサイズだと仮定します。つまり、Xのすべての個体に部分集合を対応させることができます。

さて、新しい集合を定義しましょう。別の集合を定義します。Dと呼びましょう。Dは、自分の集合に入っていない個体すべてを含むXの部分集合です。すべての個体はXの部分集合と対応していて、自分の集合に入っていない個体を見ています。そのような要素がXにないかもしれませんし、全部そうかもしれませんし、一部そうで一部そうでないかもしれません。議論には関係ありません。

自分に付けられた集合に入っていない個体からなる部分集合Dを定義しましたが、それは完全に良い部分集合です。等数性のため、特定の個体に付けられているはずです。Dで始まる名前がふさわしいので、その人をダイアナと呼びましょう。

さて、ダイアナはDの要素かどうかを尋ねます。もしダイアナがDの要素なら、彼女は自分の集合に入っています。だから入っているべきではありません。なぜなら集合Dは自分の集合に入っていない個体の集合だからです。ダイアナがDに入っていれば、入っているべきではありません。しかし入っていなければ、自分の集合に入っていないことになります。だからDに入っているべきです。これは矛盾です。

したがって、部分集合の数は任意の集合について常に要素の数より大きいのです。擬人化のアイデアは次のようなものです。任意の人の集まりに対して、無限に多くの人がいても、人より多くの委員会を作ることができます。

無限に多くの人の集合があるとしましょう。委員会とは何でしょうか？委員会は基本的に誰が委員会にいるかのリストです。委員会のメンバーです。2人委員会もあれば、1人委員会もあり、普遍的な、最悪の委員会、全員がいる委員会もあります。

最良の委員会は空の委員会です。メンバーがおらず、決して会合しません。あるいは空の委員会は常に会合中？わかりません。

レックス・フリードマン：深遠な問題ですね。1人だけの委員会も会合するのでしょうか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：常にセッション中かもしれません。わかりません。主張は人より多くの委員会があるということです。

そうでないと仮定しましょう。すると人と委員会の間に対応を作ることができます。すべての委員会が一対一の方法で人の名前を付けることができます。その人が自分の名前が付いた委員会にいるかどうかは言っていません。そうかもしれないし、そうでないかもしれません。関係ありません。

しかし、自分の名前が付いた委員会にいない人全員からなる委員会Dを作りましょう。それは全員かもしれないし、誰もいないかもしれないし、半分の人かもしれません。関係ありません。それは委員会です。人の集まりです。だから誰かの名前が付いているはずです。その人をダニエラと呼びましょう。

さて、ダニエラは自分の名前が付いた委員会にいるでしょうか？いれば、入っているべきではありません。なぜなら自分の委員会にいない人の委員会だからです。いなければ、入っているべきです。再び矛盾です。

オックスフォードで教えていたとき、私の学生の1人がカントールの議論の次のような別の擬人化を考えました。すべての可能なフルーツサラダを考えましょう。与えられた果物の集まりがあります。りんご、オレンジ、ぶどう、何でも。フルーツサラダはそれらの果物のある集まりからなります。バナナ、梨、ぶどうのサラダなどがあります。たくさんの異なる種類のサラダがあります。果物のすべての集合がサラダ、フルーツサラダを作ります。

そして、任意の果物の集まりに対して、たとえ無限に多くの異なる種類の果物があっても、果物より多くの可能なフルーツサラダがあることを証明したいのです。

もしそうでなければ、果物とフルーツサラダの間に一対一対応を置けるので、すべてのフルーツサラダに果物の名前を付けることができます。その果物はそのサラダに入っていないかもしれませんが、関係ありません。命名、一対一対応です。

そして、もちろん対角線サラダを作ります。それは自分の名前が付いたサラダに入っていない果物すべてからなります。それは完全に良いサラダです。空のサラダかもしれないし（ダイエットサラダのようなもの）、すべての果物が入った普遍的サラダかもしれないし、一部だけかもしれません。

その対角線サラダには何かの果物の名前が付いているはずです。ドリアンの名前が付いていると仮定しましょう。つまり一対一対応でドリアンと対応していました。

すると、ドリアンは自分の名前が付いたサラダに入っているかを尋ねます。入っていれば、入っているべきではありません。入っていなければ、入っているべきです。再び同じ矛盾です。

これらの議論はすべて、任意の集合の冪集合はその集合より大きいというカントールの証明とまったく同じです。これはまさにラッセルのパラドックスで出てくる論理と同じです。なぜなら、ラッセルはすべての集合のクラスは集合ではあり得ないと主張しているからです。もしそうであれば、自分自身の要素でないすべての集合の集合を形成できるからです。

基本的に、ラッセルが証明しているのは、要素より多くの集合の集まりがあるということです。対角線クラス、自分自身の要素でないすべての集合のクラスを形成できるからです。それが集合であれば、自分自身の要素である場合に限り自分自身の要素ではないことになります。

4つの議論すべてでまったく同じ論理です。すべての集合のクラスは存在し得ません。なぜなら、もし存在すれば、自分自身の要素でないすべての集合のクラスがなければならないからです。しかしその集合は、自分自身の要素でない場合に限り自分自身の要素であり、それは矛盾です。これがラッセルのパラドックスの本質です。

私はそれをラッセルのパラドックスとは呼びません。実際、教えるときはラッセルの定理と呼びます。普遍集合は存在しないと。もう混乱していません。当時は非常に混乱していましたが、今では集合論のこの性質を集合の在り方についての基本的理解に吸収しており、もう混乱していません。

フレーゲの論理主義とその崩壊

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ラッセルのパラドックスについての歴史は魅力的です。なぜなら、その時代以前、フレーゲは論理主義の哲学を実装する記念碑的な仕事に取り組んでいたからです。これはすべての数学を論理に還元する試みです。フレーゲはすべての数学を論理的概念で説明しようとし、この記念碑的な仕事を書いていて、基本原理を定式化していました。

それらの原理はたまたま、任意の性質に対してその性質を持つオブジェクトの集合を形成できることを含意していました。これは一般的理解の原理として知られています。彼はその公理を支持する原理に、彼の仕事全体を通じて訴えていました。それは付随的なものではありませんでした。彼は本当にこの原理を使っていました。

ラッセルは進行中の仕事を見たとき、問題があることを手紙で書きました。任意の性質に対してその性質を持つオブジェクトの集合を作れるという原理を受け入れれば、自分自身のメンバーでないすべての集合の集合を形成できるからです。それは一般的理解の原理の一例に過ぎません。

自分自身の要素でないすべての集合の集合は集合であり得ません。なぜなら、もしそうであれば、自分自身のメンバーでない場合に限り自分自身の要素であり、それは矛盾だからです。

ラッセルはフレーゲにこの手紙を書きました。それはフレーゲが仕事を終えようとしていたまさにその瞬間でした。すでに出版社にあり、基本的に印刷中でした。しかしそれは完全に壊滅的でした。フレーゲにとってそのような状況に置かれることはどれほど恐ろしかったことでしょう。記念碑的な仕事を終え、何年もの人生をこれに捧げ、ラッセルが基本原理の矛盾の本質的に一行の証明を見つけ、システム全体を完全に破壊したのです。

フレーゲは彼の著作の付録にラッセルの手紙への返答を入れ、何が起こったかを説明しました。彼は非常に優雅に書いています。「科学的著者にとって、仕事が完成した後に建物の基礎の1つが揺らぐことほど歓迎されないことはほとんどない。これは、この巻の印刷が完了に近づいていたときにバートランド・ラッセル氏からの手紙によって私が置かれた立場である。」そして彼は問題を説明し続け、それは彼の基本法則5に関係していると…

レックス・フリードマン：心が痛みます。論理からすべての数学を構築することを夢見る人にとって、非常にクリーンでシンプルな矛盾を得ることほどトラウマ的なことはないでしょう。それは本当に…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：人生をこの仕事に捧げ、そして矛盾していることが示される。それは心が痛むことだったに違いありません。

レックス・フリードマン：フレーゲのプロジェクト、論理の哲学、数学的宇宙を構築する論理の力という夢についてどう思いますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もちろん、論理主義のプロジェクトはフレーゲで死んだわけではなく、続けられました。新論理主義者などの運動が現代でもあります。

しかしこの問題についての私の見方は、本当に、論理主義の主要な目標は集合論的基礎主義の台頭で基本的に完全に達成されたと見るべきだということです。ZFCを数学の基礎と見なすと、そして私の見方では、ZFCの原理は選択公理を含めて基本的に論理的性格を持っています。これは非常に議論の多い見解ですが、多くの人が無限公理でさえも論理的ではなく本質的に数学的だと考えています。

しかし、ZFCの原理が抽象的な集合形成の原理に関係していて、それが基本的に論理的性格であるという見方を採用すれば、論理主義にとって完全な成功です。集合論が基礎として機能できるという事実は、数学が論理に基づくことができることを意味します。

ゲーデルの不完全性定理

レックス・フリードマン：これはゲーデルの不完全性定理について話す良い機会だと思います。それらを説明していただけますか？数学的真理の本質について何を教えてくれますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もちろんです。数理論理学における最も深遠な発展の1つです。不完全性定理は、私の見方では、数理論理学が初めて洗練されたときです。数理論理学という分野の誕生のようなものです。

しかし定理を理解するには、ヒルベルトのプログラムから少し前に始める必要があります。当時、ラッセルのパラドックスなどで、集合論やブラリ＝フォルティのパラドックスなどのさまざまな部分でさまざまな矛盾が出現していました。

ヒルベルトは有名に集合論を支持していました。彼の有名な引用があります。「誰も我々をカントールが創造した楽園から追い出すことはできない。」私が思うに彼が意味していたのは、集合論を数学の基礎として使うというアイデアにとても魅了されていて、それが非常に強力で便利で、非常に重要な意味で統一的だったということです。

彼はそれを諦めたくなかったのです。これらのパラドックス、一部の人々の心には矛盾と見られていたものの危険にもかかわらず。

レックス・フリードマン：パラドックスの地雷原ですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです、地雷原。それは状況を説明するとても良い方法だと思います。ヒルベルトは言いました、「我々はこの問題を修正しなければならない。集合論の基礎を使いたいが、信頼できて信頼性のある方法でそれをしたい。数学の基礎が疑問視されることを許すことはできない。」これはヒルベルトとヒルベルトプログラムの根底にある一種の態度だと思います。

彼は提案しました、「この強い理論、すべての質問に答えてほしいおそらく集合論であるこの集合論を持つことになるが、一方では可能な限り強くしたい。すべての質問に答えてほしい。」

ヒルベルトの退職演説での別の有名な引用があります。「Wir müssen wissen, wir werden wissen.」「我々は知らなければならない、我々は知ることになる」というもので、彼は数学が私たちが提起したすべての数学の問題に答える能力について非常に楽観的です。解決したいすべての問題があり、彼は「我々はそれをやる。すべての問題を解決する」と言っています。

強い理論を提案したい。彼はすべての質問が答えられる集合論を念頭に置いていたという感覚があります。しかし第二に、非常に弱い算術、純粋に有限主義的な理論で、強い理論の推論プロセスが安全であることを証明したいと思いました。

その見方を理解するためには、基本的に形式主義の哲学を発明する必要があります。証明とは何か、数学的推論の本質は何かを見ることができます。ヒルベルトの考え方では、証明は基本的にそれ自体有限主義的な種類のオブジェクトです。

証明の本質について考えると、それは論理的推論の特定の規則に従う主張の列です。これは証明の本質を理解する形式主義的な方法です。証明を一種の統語論的、形式的な方法で考えます。それらの文の内容が無限の非可算なオブジェクトを参照しているかもしれませんが、文自体は無限の非可算なオブジェクトではありません。文自体は記号の有限列に過ぎません。

レックス・フリードマン：証明をいわば数学の外にあるものとして考えると、数学に作用するツールのようなものです。そしてヒルベルトにとっては、証明は公理系の内部にあると考えました。そのようなことですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それは助けになります。形式主義の主要な点は、数学を行うプロセスを数学的主張の意味から切り離すことです。この無限理論で行う数学的主張の意味は、これらの巨大な非可算無限などに関係しているかもしれません。それは一部の人々の心には非常に不確実な領域であり、パラドックスの源などです。

しかし推論プロセス自体は、ページに記号の列を書き留め、有限的な規則に従ってそれらと議論を行うことからなります。記号の意味を単に記号を操作するプロセスから切り離せば、数学の本質を一種の形式的なゲームとして見る方法であり、意味は完全に欠如しているかもしれません。形式主義の見方の必然的な部分として背後に意味がないということではないと思いますが、むしろ文の意味をそれらの文を操作するプロセスから切り離せることを強調しています。

ヒルベルトはこの純粋に有限的な理論で、ゲームの規則に従えば矛盾に至ることは決してないことを証明したいと思いました。

ヒルベルトプログラムの2つの目標は、すべての質問に答える強い無限理論、おそらく集合論を確立し、次に有限的な手段によって強い理論が安全であること、つまり無矛盾であることを証明することでした。

レックス・フリードマン：「有限的」という言葉、有限的理論において何を意味しますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：これはもちろん哲学的に議論の余地があり、人々はそれが正確に何を意味すべきかについて異なる考えを持っています。その質問についての何百もの論文があります。しかし私はそれを単にある種非形式的に取りたいと思います。有限的な記号の列について話していて、有限文字列について理論を持つことになります。

有限的理論は、そのような種類のものについての主題を持つものなので、これらの有限文字列の性質について議論することができます。証明は文の有限列に過ぎないので、すべての文は公理の1つであるか、指定された方法で以前の文から論理の法則によって従います。例えばモーダス・ポネンスや他の論理法則のようなものを使います。そしてリストの最後の行が証明している定理です。これがこの考え方における証明です。

具体的な例を挙げると、おそらく最も自然な有限的理論で提示を求められるものはペアノ算術、ペアノ算術の理論でしょう。これは算術の性質についての一階理論です。

しかし、「ペアノ算術にはこれらの強い一階帰納法公理があり、算術のはるかに弱いバージョン、I-sigma-0やI-sigma-1などがあり、それらはペアノ算術よりさらに有限的だ」と言う人もいます。異なる哲学的立場は、有限的であるとは何か、真に有限的であるにはどれほど有限的でなければならないかについて異なる態度を取ります。

レックス・フリードマン：Perplexityによると、ペアノ算術はペアノ公理と呼ばれる公理の集合を使用して、自然数の性質と演算を形式化するための基礎的なシステムです。ペアノ算術は、自然数上の加法や乗法などの算術演算のための形式言語と公理を提供します。公理は、最初の自然数（通常は0または1）の存在、次の自然数を生成する後継者関数の概念、これらの概念から構築された加法と乗法の規則、すべての自然数に関する証明を可能にする帰納法の原理を定義し、続きます。これは有限的な非常に特定の種類の算術です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私はそれを有限的と見なしますが、これは議論の余地のある見解です。誰もがそれに同意するわけではありません。それが私がほのめかそうとしていたことです。

レックス・フリードマン：わかりました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ペアノ算術は自然数と初等整数論の非常に成功した理論の1つです。本質的に、すべての古典的整数論、つまり素数や因数分解などについて証明したい定理や有限組合せ的オブジェクトについての有限的推論は、すべてペアノ算術で形式化できます。これが基本的な状況です。もちろん、ゲーデルの不完全性定理に照らしてそれらの文を修飾する必要がありますが、大部分において、有限数の古典的整数論的分析はほぼ完全にペアノ算術内で開発可能です。

ヒルベルト・プログラムに戻ると、ヒルベルトには2つの目標がありました。すべての質問に答える強い理論を作り、次に純粋に有限的な手段によってその理論が矛盾に導くことは決してないことを証明する。

不完全性定理はヒルベルト・プログラムの決定的な反駁と見なすべきだと考えることができます。両方の目標を決定的に、完全に打ち負かします。

しかしそれを説明する前に、ヒルベルトが正しかったらどうなっていたかを考えるべきかもしれません。ヒルベルトが探すように言っている世界で数学の本質はどうなるでしょうか？

レックス・フリードマン：Perplexityのヒルベルト・プログラムの定義によると、それはダヴィド・ヒルベルトの20世紀初頭のプロジェクトで、すべての古典数学に完全に安全な有限的基礎を与えることを目的としていました。本質的に、目標はすべての数学を正確な公理系で形式化し、記号についての非常に初等的な有限的推論のみを使用してこれらのシステムが矛盾がないことを証明することでした。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まさにその通りです。彼が正しかったらどうなっていたか想像してみましょう。有限的理論があり、強い理論が矛盾がないことを証明するでしょう。強い理論からの証明を列挙し始めることができます。

今、与えられた理論からすべての可能な証明を体系的に生成するコンピュータプログラムを書くことができます。すべての定理をいつまでも吐き出し続け、すべての単一の定理が最終的にこの装置によって生成されるような定理列挙機を持つことができます。

だからどんな種類の数学的質問があっても、答えが「はい」として機械から出てくるか、答えが「いいえ」として出てくるのを待つだけで答えることができます。ヒルベルトの世界での数学的調査の本質は、定理列挙機のクランクを回すだけであり、創造的思考や想像力を欠いた、機械的な手順で答えを得ることです。

ヒルベルトはそのプログラムで実際に言っているのは、数学の根本的な本質は機械的計算だということです。

ヒルベルト・プログラムについて考えると、二律背反、矛盾について心配していた歴史的文脈で非常に魅力的に見えます。どうやってそれらをブロックできるか？まず、すべての質問に答える強い理論を持つことは自然に見えます。なぜなら論理的独立性と今私たちが存在することを知っている浸透性のアイデアは知られていなかったからです。だからそれが起こらないと考えるのは自然であり、この矛盾に対して防御できると考えるのも自然でした。

ヒルベルト・プログラムの目標はその歴史的文脈でかなり自然に見えます。しかしその本質がどのようなものかについてもう少し考えると、この種の機械的手順を示しています。

「うーん、それほどありそうにないことではないかもしれない」と今言うかもしれません。コンピュータの力の増加などに照らして、機械が私たちのためにますます多くを計算している方法で、警戒すべきかもしれない私たちの日常的な経験に実際になりつつあります。

しかし、ヒルベルトの見解の代替について話すと、彼が間違っていれば、数学的現実の本質は何でしょうか？最初の目標については、すべての質問に答える理論を書き留めることは決してできないということになります。だから私たちは常に、最良の理論、無限理論でさえも、つまずいて答えることができない質問がある状況にいるでしょう。独立性が起こるでしょう。

しかしまた、2番目の目標の失敗のため、私たちの理論が無矛盾かどうか常に心配しなければならず、矛盾がないと言う本当に説得力のある手段を持たないでしょう。

ゲーデルの不完全性定理の事実は、それがまさに数学的現実の本質であることを示しています。それら2つの不完全性定理です。

第一不完全性定理は、すべての質問に答える計算的に公理化可能な理論を書き留めることはできないと言っています。そのような理論はすべて、ある程度の算術を含むと仮定すれば、不完全になります。

第二に、そのような理論は自身の無矛盾性を証明することはできません。有限的理論が強い無限理論の無矛盾性を証明できないだけでなく、無限理論でさえ自身の無矛盾性を証明できません。これが第二不完全性定理です。

その意味で、ヒルベルト・プログラムの決定的な打倒であり、彼の定理がその全体のパズルに答えた程度は本当に顕著です。

別の側面があります。考えやすいものです。自身の無矛盾性を証明する理論について疑問に思っているなら、自分が無矛盾だと証明する理論を信頼しますか？それは中古車のセールスマンが「ああ、私は信頼できますよ」と言っているようなものです。中古車のセールスマンを信頼する理由にはなりませんよね？彼がそう言っているからといって。

同様に、自身の無矛盾性を証明する理論があっても、矛盾のある理論でさえ自身の無矛盾性を証明するでしょう。だから自身が無矛盾だと証明する理論があっても、無矛盾性を信じる論理的理由にはなりません。

レックス・フリードマン：明確にするために、あなたは「理論」という言葉を使いました。この文脈では、公理系と同義ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい。数理論理学では、「理論」は技術用語です。形式言語における文の任意の集合を意味します。公理系と言えば、私の理論の使い方と基本的に同義です。理論とは公理の集合からの帰結、または…人々は公理だけを意味するのか公理の帰結を意味するのか不明確なことがあります。

レックス・フリードマン：理論には公理と公理の帰結の両方が含まれ、それを交換可能に使い、文脈がどちらについて話しているかを理解するのに役立つはずですか？公理か帰結か？あるいはあなたにとってそれらは基本的に同じですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、非常に密接に関連していますが、すべての特徴が同じというわけではありません。理論の公理の計算可能なリストがあれば、公理の帰結を列挙し始めることができますが、与えられた文が帰結かどうかを計算的に決定することはできません。帰結を列挙できるので、帰結を半決定できますが、与えられた文が帰結かどうかを「はい」か「いいえ」で決定することはできません。

これは問題が計算的に決定可能であることと問題が計算的に列挙可能であることの区別であり、チューリングらの仕事から明確になりました。それが理論の公理のリストと理論自体の1つの違いです。公理は計算的に公理かどうか決定できるかもしれませんが、それは何かが定理かどうかを計算的に決定できることを意味しません。通常、正のインスタンスを決定することしかできません。何かが定理であれば、最終的にそれを認識しますが、何かが定理でなければ、どの時点でも「いいえ、それは定理ではない」と言えないかもしれません。

レックス・フリードマン：それはもちろん停止問題に関連していますね。これらの矛盾とパラドックスはすべて、美しく相互に関連しています。ゲーデルの不完全性定理についてもう少し詳しくお話しいただけますか？そこにある2つの構成要素について言及されました。多くの質問がありますね。証明可能性と真理の違いは何か？真であるとは何か、証明可能であるとは何か？それは引くべき良い線かもしれません。

真理と証明の区別

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、これは本当に核心的な区別で、ゲーデルやタルスキ以前の20世紀初頭の人々を読み返すと、この真理と証明の区別について完全に杜撰だったことが私には魅力的です。ゲーデルまで、基本的にまったく明確ではありませんでした。ブルバキのような遅い時期でさえ、この基礎的な仕事に一種の混乱があります。彼らにとって真であることは証明可能であることを意味します。

初期の頃は、真理の概念に数学的調査や分析が必要だということが十分に明確ではなかったのかもしれません。すでに完全に明確だと思われていたのかもしれません。しかし不完全性定理のために、実際にはかなり微妙なことが起こっていることに気づきました。

この区別について少し話しましょう。私にとって、これは現在の数理論理学の理解にとって絶対的に核心的で基本的です。真理と証明のこの区別。

真理は統語論と意味論の二分法の意味論的側面にあります。真理は現実の本質に関係しています。「現実」と言うとき、物理的現実について話しているのではありません。数学的現実について話しています。

構造の中で何かが真であるという概念、数学的構造の中で文が真であるという概念があります。例えば実数体があって、この文やあの文を満たすかどうか知りたいとします。あるいはある種の群があって、あるいはグラフがあるかもしれません。これは頂点と辺を持つ特定の種類の数学的構造で、このグラフがあの文を満たすかどうか知りたいとします。

タルスキは真理の本質についてこの絶対的に素晴らしい説明を、今では除引用理論として知られているもので与えました。タルスキが言うのは、「雪は白い」という文は、雪が白い場合に限り真であるということです。

彼が意味しているのは、真理は主張の性質なので、文を統語論的に考えることができるということです。文の内容がそうである場合に限り、その文は真です。引用符内の「雪は白い」という文が真であることは、雪が白いことを意味します。

これが除引用理論と呼ばれる理由は、主張から引用符を取り除くからです。このアイデアを使って、形式言語における文の、数学的構造における真理の形式的定義を与えることができます。

例えば、構造のオブジェクトと関係について原子文を作ることができ、「かつ」「または」「ならば」「でない」などの論理結合子で形式言語を構築でき、量化子もあるかもしれない形式言語があるとします。

例えば、構造がφかつψを満たすと言うこと、その単一の文、φかつψを1つの文と考えると、φを満たしかつψを満たすことを意味します。

何が起こったか気づくと、最初は「かつ」は文の内部、文の中の一部でしたが、2番目の部分では「かつ」という言葉を2つの条件の接続を参照するために使っていました。除引用があります。

このアイデアはすべての論理結合子と量化子などに対して行うことができます。タルスキの除引用のアイデアを適用し、任意の数学的構造内の形式言語における任意の主張の真理を帰納法によって定義することができます。

文が真であると言うとき、まず第一に、どの構造について真であるかを言わなければ曖昧です。自然数と算術構造を持つ算術の標準モデルを念頭に置いていて、与えられた文がその構造内で真かどうか知りたいとしましょう。そうすると、タルスキの真理の再帰的定義に従って、それが何を意味するかの形式的定義があります。

それが真理です。一方、証明は、このヒルベルト的な考え方で、証明論を発展させることができます。数学者にとって、数理論理学者にとって、証明とは何でしょうか？証明は証明体系の論理規則に従う形式言語における文の特定の列または配列です。

許可されている推論の特定のモードがあります。証明でAを知り、AならばBを知っていれば、後のステップでモーダス・ポネンスの規則に従って帰結としてBを書くことが許可されます。AならばBを知っていれば、AならばBが知られている2つの文であれば、モーダス・ポネンスの規則に従って帰結としてBを推論できます。

もちろん、他にも多くの規則があります。これを含意除去と呼ぶ人もいます。異なる種類の証明体系があります。証明論者によって研究されている多くの異なる形式的証明体系があり、それらすべてが健全であるという性質を持っています。つまり、議論の前提がすべて構造内で真であり、結論を得る証明があれば、結論もその構造内で真であるということです。

健全であるとはそういうことです。証明は真理を保存します。真理保存的な議論です。

しかし証明体系は一般的に完全でもあります。健全で完全の両方であり、完全とは、文が他の文の論理的帰結であるとき、つまり仮定が真であればその構造内で帰結も真であるとき、常にそうなる場合です。論理的帰結があれば常にその証明が存在するということです。

証明体系は一般的にそれら両方の性質を持っています。健全で完全です。多くの論理学者が話す3番目の性質がありますが、健全で完全、健全で完全のこれ、健全で完全のあれ。しかし実際には、そのような場合に常に話すべき隠れた3番目の形容詞があり、それは何かが証明かどうかを認識できるかどうかです。証明体系には計算的な側面があります。何かが証明かどうかを認識できる必要があります。

誰かが証明を持っていると主張するが、それが証明かどうかをチェックできない証明体系は望ましくありません。証明を持っているというすべての主張を正しく裁定できる必要があります。

レックス・フリードマン：ある数学者を思い出します。証明を持っていると言ったが、余白が小さすぎて続けられないと。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。

レックス・フリードマン：それは証明とはカウントされません。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ。一般的に、使用されるすべての古典的証明体系は、健全で完全で、何かが証明かどうかを決定できるという意味で計算的に決定可能です。

レックス・フリードマン：それでは、真理と証明の間の緊張関係は何ですか？どちらがより強力で、私たちが議論してきた矛盾とどのように相互作用しますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうですね。不完全性定理は、算術のための理論を書き留めることができるかどうかの問題です。自然数とプラスとかけ算と0、1、小なりなどを持つ算術の標準モデルについて言いましょう。その形式言語で、算術の性質だけでなく、さまざまなコーディング方法によって、本質的にすべての有限数学をその構造内で表現できます。

問題は、証明によってすべての質問に答える公理の計算可能なリストを書き留めることができるかどうかです。つまり、真である文のすべてだけを証明する完全な理論、算術の理論が欲しいのです。それが目標です。ヒルベルトはそれを気に入るでしょう。そのような完全な算術の理論を持つことはヒルベルト・プログラムを支持するでしょう。

ゲーデルはこれが不可能であることを証明しました。すべての質問に答える公理の計算可能なリストを書き留めることはできません。理論が無矛盾であれば、証明も反駁もできない文が常に存在します。したがってそれらはその理論から独立しています。

レックス・フリードマン：理論から独立した文があることはどれほどトラウマ的ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私の見方では、これはまったくトラウマ的ではありません。むしろ、数学的現実の本質についての理解という点で完全に目を開かせるものです。私たちは数学的真理に関する私たちの状況についてのこの深遠な事実を理解しています。

不完全性定理は言っています、すべての質問に答える無矛盾な公理のリストを書き留めることはできないと。それは不可能です。だからそれをトラウマとは思いません。これは数学的現実の本質であり、それを知っていることは良いことです。だから今そこから先に進む必要があり、それに照らしてできることをします。

レックス・フリードマン：一般的に、文を与えられたとき、公理系がそれを証明できるかどうかわからないと言えますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：その通りです。一般的にはできません。証明可能性問題を決定問題として定式化できます。理論と文が与えられたとき、その文はその理論の帰結ですか？これは最も有名な決定問題の1つです。実際、最初のものです。なぜなら、計算可能性理論にとって非常に重要だったチューリングの1936年の論文のタイトルにも登場するヒルベルト＝アッカーマンの決定問題と同等だからです。

決定問題の定式化です。与えられた理論は与えられた文を論理的帰結として持つか？ゲーデルの完全性定理のため—不完全性定理ではなく、それより前の完全性定理—ゲーデルは彼らが研究した証明体系がこの完全性の性質を持つことを証明しました。証明可能性は論理的帰結と同じです。

これは決定不可能な決定問題です。チューリングが証明し、今では停止問題と同等であることがわかっています。

停止問題

レックス・フリードマン：停止問題について説明していただけますか？計算機科学全体、数学全体を通じて非常に有用で、また、トラウマ的な方法で現れるものです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ。停止問題は計算プロセスの基本的な性質を表現しています。プログラムが与えられたとき、あるいはプログラムとその入力と考えてもいいですが、プログラムと呼びましょう。プログラムが与えられたら、そのプログラムを実行できますが、決定問題として提起したいと思います。このプログラムはいつかタスクを完了しますか？いつか停止しますか？

停止問題は、プログラムが与えられたとき、それは停止するか？はいかいいえか？という問題です。もちろん、任意の1つのインスタンスについて、答えは「はい」か「いいえ」です。私たちが話しているのはそうではありません。この問題のすべてのインスタンスに答える計算可能な手順があるかどうかを話しています。

決定問題は、質問できるすべての可能なプログラムに対するインスタンスのスキームとして与えられます。知りたいのは、それらの問題に答える計算可能な手順があるかどうかです。

答えは「いいえ」であることがわかります。停止問題は計算的に決定不可能です。与えられたプログラムが停止するかどうかのすべてのインスタンスに正しく答える計算可能な手順は存在しません。

もちろん、停止についての「はい」の答えは、プログラムを実行することで半分の答えを得ることができます。プログラムを与えられて「これは停止しますか？」と聞かれ、そのプログラムを取って実行することができます。実行し続けると、1週間後に停止するかもしれません。その時点で「はい、停止しました」と言えます。だから停止について正しくすべての「はい」の答えを得ることができます。

問題は、まだ停止していない場合、例えば1000年待ってまだ停止していなくても、「いいえ、停止しない」と言う資格があるようには見えないことです。なぜなら、1001年後には停止するかもしれないからです。

だからどの時点でも「いいえ」と言えないように見えます。「いいえ、決して停止しない」と言うためには、プログラムがどのように機能し、何をしているかを本当に理解する必要があるようです。

「はい」の答えを与えるのは一種の些細なことでした。理解する必要はありませんでした。実行するだけで、それは一種の機械的なタスクです。しかし「いいえ」の答えを与えるには、プログラムの性質とそれが何をしているかについて一種の深い洞察を持っている必要があります。それを理解し、「ああ、いいえ、このプログラムは決して停止しないことがわかる」と見ることができるような方法で。

「このプログラムは停止しない」と言うのは、「はい、実行したら停止しました」と言うよりずっと難しいタスクです。そして「いいえ」の答えを与える計算可能な手順を持つことは不可能であることがわかります。

議論はそれほど難しくありません。やりましょうか？

レックス・フリードマン：はい、やりましょう。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：矛盾に向かって仮定します。これらの証明はすべて矛盾による証明であり、この議論はラッセルの議論やカントールの議論やまだ話していないゲーデルの議論と同じスタイルの対角線論法になります。多くの対角線論法が入ってきます。

矛盾に向かって、与えられたプログラムが与えられた入力で停止するかどうかを決定する手順があると仮定します。その手順を以下のプロセスのサブルーチンとして使うことを説明します。

私のプロセス、Qと呼びましょう、プロセスQは入力としてプログラムPを取ります。最初にすることは、そのサブルーチンに「P自身にPを実行したら停止するか？」と尋ねることです。これが対角線の部分です。PをPに適用しているからです。

プログラムQを説明しています。プログラムQは入力としてP自体がプログラムであるPを取ります。最初にすることは停止サブルーチンプログラムに「PをPで実行したら停止するか？」と尋ねることです。

サブルーチンから「ええ、それは停止するでしょう」という答えが返ってきたら、プログラムQで私がすることは即座に無限ループに入ることです。だから停止しません。PがPで停止したら、私は停止しません。

しかし答えが「いいえ、PはPで決して停止しない」と返ってきたら、即座に停止します。それだけです。Qが何をするか説明しました。

Qについて言えることは、Qの P での振る舞いは P の P での振る舞いと反対だったということです。Qを、Qの P での振る舞いが P の P での振る舞いと反対になるように特別に設計しました。

さて、もちろん何をしますか？ラッセルがしたことなど、カントールがしたことと同じで、「QをQで実行したらどうなる？」と尋ねます。この反対の振る舞いのため、QはQで停止する場合に限りQはQで停止しないことになり、これは矛盾です。なぜならQはQで自分と反対の振る舞いを持たなければなりませんが、それは単に矛盾しているからです。

レックス・フリードマン：なんて美しい証明でしょう。シンプルです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：絶対に美しいです。ええ、同意します。そしてラッセルやカントールと同じ論理に従っています。基本的にカントールに遡ります。なぜならラッセルもフレーゲへの手紙でカントールを引用しているからです。

したがって、結論は停止問題は計算的に決定可能ではないということです。そして今、これを使ってゲーデルの定理を即座に証明できます。実際、直接的な帰結です。やってみましょう。これがゲーデルの定理の最も単純な証明だと私は考えています。ゲーデル文は必要ありません。停止問題でできます。

初等数学のすべての真の事実、つまりチューリングマシンの計算などの算術と有限組合せ的なものの計算可能な公理化を書き留めることができたと仮定しましょう。実際、それらすべての有限組合せ的プロセスは標準的な算術化コーディングプロセスで算術内で形式化可能です。

少し非形式的に言いますが、初等有限数学の完全な理論を書き留めることができたと仮定しましょう。その理論の公理化があります。すると、先ほどヒルベルト・プログラムで説明した方法で、その公理からすべての可能な定理を生成できます。

初等数学の完全な理論があれば、すべての定理のみをその理論から生成する定理列挙機を構築できます。さて、この定理列挙装置が私の机にあり、停止問題を解くためにビジネスを始めると発表します。

プログラムと実行したい入力を与えてもらえれば、停止問題に答えます。やり方は、定理列挙装置から、Pがその入力で停止すると主張する文が出てくるのを待つか、Pがその入力で停止しないという文を待つかです。

どちらかが起こるはずです。なぜなら初等数学のすべての真の文を列挙する完全な理論だったからです。だからそのようなシステムがあれば、停止問題を解くことができます。しかしすでに停止問題を解くことはできないことを証明したので、そのような算術の完全な理論を持つことはできません。これでゲーデルの定理が証明されました。

証明の芸術

レックス・フリードマン：少し脱線しますが、証明と数学の芸術についての素晴らしい本を書かれていますね。数学における証明について何か言えますか？証明のプロセスとは何ですか？ツールは何ですか？芸術とは、科学とは何ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：これは、数学者になることを学び、証明について学んでいる若い数学者に教えることがとても素晴らしいと思うものです。ニューヨークでそのような証明書きのクラスを教えていたときにその本を書きました。多くの大学にはそのようなコースがあり、通常は数学をいくらか学んだ学生が取る証明読解コースです。

通常、彼らは微積分のシーケンスを完了し、より多くの証明を含む傾向がある高等数学への一種の移行を行っており、彼らにとって一種の挑戦的なステップです。多くの数学科にはこの種の証明書きに関するコースがあり、学生は証明の書き方に触れることになります。

私はそれらの種類のコースのための他のほとんどの本に満足していませんでした。理由は、それらがあまりにもしばしば非常に退屈だったからです。なぜなら、証明を書くとはどういうことかのこれらの完全に興味のない部分、証明の書き方についてのこれらの種類の機械的な手順に集中するからです。

含意を証明するなら、仮説を仮定して結論を議論する、などです。そのすべては真実で良いし、知っておくのは良いことですが、証明の性質について言っていることがそれだけなら、本当にあまり学んでいないと思います。

もっと良い種類の本を持つことが可能だと感じました。はるかに興味深く、まだ初等的な証明を認める興味深い定理を含むものです。だから私はこの本を書き、多くの異なる証明スタイルを示す非常に初等的な証明を持つすべての説得力のある数学的文で満たそうとしました。学生はそれを非常に高く評価してくれたことがわかりました。

レックス・フリードマン：本は「私の学生に捧げる。すべての定理が真で、仮説から結論へと努力なく流れ、幻想的な数学的美しさを明らかにする優雅な議論によって証明されますように」と捧げられていますね。

数学の外の人々や、高校などで数学の授業を受けるだけの人々のために、おそらくいくつかの興味深い証明がありますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、証明をやってみましょう。本に1つあります。話すことができます。良い問題だと思います。離散数学にあります、ええ、5.1、あれ、「指さされるより多く指さす」です。

これが問題です。友達と輪になって集まっていて、好きなように互いにまたは自分自身に指を差すことができます。何でも構いません、関係ありません。1人以上の人に指を差すことができます。すべての指を使っても足を使っても構いません。

たぶん3人の友達に指を差し、彼らは2人か3人の友達に指を差し、1人は10人に指を差し、誰にも指を差していない人がいるかもしれません。さまざまな人々が指を差されてもいます。

問題は、全員が指を差している以上に指を差されるような指差しパターンを配置できるかどうかです。たとえば、7人が私に指を差しているが、私は5人にしか指を差していない。20人があなたに指を差しているが、あなたは15人にしか指を差していない、というような感じです。

Twitterでも同様の質問があります。Twitterの人々のグループで、全員がフォローしている数よりフォロワーが多くなるように配置できますか？

レックス・フリードマン：ええ、それは同じ質問です。数学的には同一です。ただ、私は自分自身に指を差せると言いましたが、それは…自分自身をフォローできますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：できないと思います。

レックス・フリードマン：いいえ、できないと思います。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：さて、全員が指を差している以上に指を差されるように配置できますか？本では、これに対していくつかの異なる証明を与えています。帰納法による証明を与え、別の証明があると思います。3つの異なる証明があると思います。

しかし私の好きな証明について話しましょう。それが可能だったと仮定しましょう。私たちが指を差している全員に1ドルを与えることに同意したとします。さて何が起こりますか？

全員がお金を稼ぎました。なぜなら私は指を差している以上に指を差されていたので、10ドルもらいましたが7ドルしか払いませんでした。同様に、あなたは20ドルもらいましたが15ドルしか払いませんでした。全員が指を差している以上に指を差されていれば、全員がお金を稼ぎます。

しかし自分たち同士でお金を取引するだけでグループとしてお金を稼ぐことは明らかに不可能です。したがって、全員が指を差している以上に指を差されていることは不可能です。

この証明は何かを説明しています。本で提案している習慣の1つです：数学的アイデアを擬人化すること。あなたの質問で役割を果たす数学的オブジェクトが人、または何らかの意志と目標を持つ動物であると想像すべきです。これが擬人化のプロセスです。

そしてしばしば問題を理解しやすくします。なぜならお金を稼ぐことが難しいという事実に皆馴染みがあり、グループ内でドルを取引することでお金を稼ぐことはできないという知識のため、証明は完全に説得力があります。新しいお金がグループに入ってこない限り。

しかしそれ自体は実際には難しい数学的主張です。グループ内で取引することでお金を稼ぐことはできない、グループの全員がグループ内でお金を移動させるだけでお金を稼ぐことは不可能だということを証明しなければならなかったとしたら。

たぶんそれは明らかだと思うでしょう。お金について考えると明らかです。しかしある種の数学的関数などについて質問していたら、お金について話しているときほど明確ではないかもしれません。なぜなら、お金を得ることの難しさなど、他のリソースについての人間の経験に基づいて構築できるからです。お金である必要はありません、お菓子でも何でもいいです。グループ内で取引するだけでは簡単に物を多く得ることはできないとわかっています。

レックス・フリードマン：証明の力は、時々非自明なことが示され、その後それが自明になることです。お金や社会システムの文脈では、非自明なことがたくさんあります。そして全体の要点は、証明が真理、現実の正確な記述へと導くことができるということです。私たちはお金の性質を証明しました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もしグループに無限に多くの人がいたらどうなるか考えるのは興味深いです。するともう真ではありません。定理は失敗します。実際、全員が厳密に指を差している以上に指を差されるように配置できます。

また、全員がたった1ドル紙幣しか持っていなくても、その後全員が無限に多くのドル紙幣を持つように配置できます。濃度に関しては同じです。どちらの場合も可算無限です。

可算個の友達がいて全員が1ドル紙幣を持っていたら、その後全員が無限に多くのドル紙幣を持つようにそれらのドル紙幣を互いに渡すパターンを配置できます。

必要なのは各人が、列車の車両の1つに付属していることです。全員がヒルベルトの列車から来ていると考え、またヒルベルトのホテルに収まっていると考えてください。N番目の車両の全員にN番目の部屋にいる人に全部のお金を渡してもらえばいいのです。全員がその人に1ドル渡します。その後、その人は無限に多くのドルを持っていますが、全員は1ドルしか払っていません。これがそれを実現する方法です。

無限と現実の本質

レックス・フリードマン：無限というトピックに留まって、無限を現実的なものとしてどの程度考えるべきでしょうか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：素晴らしい質問です。数学の哲学の大きな部分はこの種の問題についてです：無限を含む数学的オブジェクトの存在の本質は何か？しかし無限について特に尋ねることは、数5について尋ねることとそれほど違わないと思います。数5が存在するとはどういう意味ですか？数とは本当に何ですか？

これはおそらく数学的存在論の基本的な問題の1つです。数や抽象的オブジェクト一般の存在の本質についての問題にはたくさんの異なる立場があります。

そうするとき、時々起こる会話の一種があります。それはこのようなものです。時々人々は数のような抽象的オブジェクトの存在について話すことを問題視し、数や他の数学的オブジェクトや抽象的オブジェクトの存在を、テーブルや椅子や岩などの存在のように説明したいという願望があるようです。

数学的存在を物理的世界で経験できるものに還元したいという願望があるようです。しかしこの試みについての私の態度は、非常に逆だと思います。なぜなら、物理的オブジェクトの存在の本質についてそれほど明確な理解を持っているとは思わないからです。

私たちは物理的世界に存在することについて経験を持っています。物理的世界に存在しているので持たなければなりません。しかし物理的に存在するとはどういう意味かについての満足のいく説明は知りません。

例えば、「ある種類の蒸気機関車を想像してください」と言って、そのエンジニアリングと重量とギア連結の性質を説明し、設計の詳細な図面を見せ、この蒸気機関車のあらゆる詳細な側面について詳しく話したとします。

しかしそのすべての会話の後で、「さて、単なる想像上の蒸気機関車ではなく、物理的に存在するとはどういう意味かを教えてください」と言ったとしたら、何が言えるでしょうか？「物理的世界に存在するということを意味するだけです」と言う以外に。しかしそれはどういう意味ですか？それが質問です。それは質問への答えではありません。それが質問です。

だから物理的存在の本質について賢明なことは何も言えないと思います。それは深遠な謎です。実際、物理学を知れば知るほど、ますます謎めいてきます。

ニュートン物理学の時代には、物理的オブジェクトの本質のイメージはビリヤードボールのようなものか、無限に分割可能か何かでした。しかしこのイメージは物質の原子論で覆されます。しかしそのイメージは、原子が実際には分裂でき、電子と陽子と中性子などからなることを認識すると覆されます。しかしそのイメージは、それら自体がクォークとレプトンなどから構成されていることを認識すると覆され、次に何が来るか誰が知りますか。

さらに、それらすべてのものの存在の本質は実際には波動関数としてであり、確率の雲のようなものです。だから学べば学ぶほど、ますます謎めいてきて、まったく明確化されません。

だから、机の上にリンゴがあると言うことの意味について説明し、その物理的存在が本当に何であるかを説明することは、完全に欠如していると思います。一方、抽象的存在の本質についてはるかに満足のいく説明を持っているようです。空集合の本質について話すことができます。これは決して真ではない述語か何かです。それらの種類の論理的性質や空集合のシングルトンなどについて話すことができます。

もちろん、遠くまで行くと非常に難しくなりますが、要点は、ますます謎めいてこないということです。言えば言うほど、ますます明確になるだけです。

だから私には、抽象的世界とは対照的に物理的世界が何であるかについて本当に理解がないように思え、存在がはるかに明確なのは抽象的世界です。

レックス・フリードマン：ソーダボトルや蒸気機関車を突くことができるからといって、それについて何か知っているわけではないというのは非常に真実です。私たちは擬人化し、それは時々私たちを困らせます。なぜなら触っているときに量子力学を感じていないからです。だからこれは現実だと感じやすく、数学的オブジェクトはそうではないと感じやすいのですが、あなたは反対の議論をしています。

プラトン的領域と数の実在性

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：数字と数を区別するとき、数字はページ上の数の表現であり、数はそれ自体であるとするとき、数は実在すると言えますか？数は存在しますか？

レックス・フリードマン：そう思います。数学における実在論の側にいて、これらの抽象的オブジェクトは本当の存在を持っていると思います。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：それについてどう考えるべきですか？それをどう視覚化しようとすべきですか？抽象的オブジェクトの中で生きるとはどういう意味ですか？人生は有限です。私たちは皆死を恐れています。他の物理的なオブジェクトの現れに恋をします。そしてあなたは、おそらく現実は実際には別のところにあり、これはすべて抽象的な領域からの投影に過ぎないと言っています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：抽象的オブジェクトは場所と時間に存在しますか？それは非常に議論の余地があると思います。

レックス・フリードマン：場所と時間とは何を意味するのでしょうか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：すべての時間、ええ、だから…

レックス・フリードマン：物理学とプラトン的数学空間、どちらがより現実的ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：プラトン的数学領域は…より現実的とは言わないかもしれませんが、その現実性をより深く、より説得力のある方法で理解していると言っています。物理的現実の本質はまったくよく理解していないと思います。ほとんどの人は私が意図している質問の表面さえ引っかいていないと思います。

明らかに物理的現実を理解しています。テーブルを叩いて、誕生日パーティーをしたり、マティーニを飲んだりすることがどんなことか知っています。世界に存在し、自転車に乗るなど、物理的世界に存在することについて深い理解を持っています。しかし「理解」は間違った言葉かもしれません。世界に存在し、自転車に乗ること、それらすべての経験を持っています。しかし実際には物理的存在の本質についてまったく理解を持っていないと思います。深遠な謎だと思います。

一方、数学的存在と抽象的存在の本質については、少し良い理解を持っていると思います。だから私はその点をそう説明します。

レックス・フリードマン：何か深い真理に異なる方向からアプローチしているように感じますが、物理学の世界ではまだ数学の世界ほど遠くまで旅していません。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：誰かが説得力のある説明を与えてくれることを望むかもしれませんが、私には深遠な謎のように思えます。物理的存在の説明を与えることがどのようなものか想像さえできません。

レックス・フリードマン：千年後に物理学が進歩したら、この同じ会話がどのように見えるか気になります。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：かなり興味深いでしょうね。

レックス・フリードマン：数学の側でも千年後に突破口があると思いますか？先ほど、1世紀前に多くの混乱があったことを議論しました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：興味深いと思うのは、数学と哲学の2つの世界に足を踏み入れていて、これらの主題の違いを比較することです。大きな文化的違いがたくさんありますが、大きな文化的違いの1つは、主題における進歩のアイデアに対する態度です。

数学には大きな進歩があります。私たちは単に数学的アイデアをはるかに、はるかによく理解しており、理解を継続的に改善し、知識の成長があります。今、無限の本質を100年前よりよく理解しています。確実に。そして100年前には、それ以前の何千年よりよく理解していました。

数学のほぼすべての部分で、核心的な問題について理解が改善されており、手元の問題が全く異なってきて、分野がより困難で興味深い問題に移行するほどです。

一方、哲学では…それは少し真実で、進歩があります。しかし同時に、何千年も私たちと共にあるこれらの永遠の問題があり、実際、重要な哲学の貢献は質問に答えることではなく質問することにあると主張する哲学者をたくさん見つけることができます。なぜなら答えることは絶望的だからです。これらの深い哲学的問題の性質は非常に難しいです。進歩の感覚が少ないということを言おうとしています。

数学における進歩、数学的理解と知識の成長が単に続かない理由はないと思います。だから千年後には、その時代に行われる数学はおそらく私には完全に認識できないでしょう。彼らが何を話しているかさえ理解し始めることができないかもしれません。介在する発展を目撃することなしには。

古代の誰かを今日に連れてきたら、数学の質問のいくつかが何についてなのか理解し始めることさえできないかもしれません。しかしアルキメデスが来てコミュニケーションできたら、今数学で起こっていることのいくつかを彼に伝えることができ、おそらく…あるいはその時代の誰でも。主題が以前の懸念から離れて進歩の結果としてシフトしても、この種の進歩を持つことは可能だと思います。

偉大な数学者たち

レックス・フリードマン：哲学について言及したので、脱線の脱線として、おそらく質問についてより多く、そして数学は答えについてかもしれませんが、あなたはMathOverflowの伝説ですよね。数学のためのStack Overflowのようなものです。現在24万6000以上のレピュテーションポイントで歴代1位にランクされています。難しい問題に答えることにどのようにアプローチしていますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：MathOverflowは本当に私の人生の大きな喜びの1つでした。本当に楽しんでいます。そしてMathOverflowでの交流から多くを学びました。2009年からそこにいます。開始直後ではありませんが、少し後に。何文字入力したかの統計があり、何百万かわかりませんが、それらの問題について考えて費やした膨大な時間があり、本当に素晴らしいです。

レックス・フリードマン：あなたを捉える質問をどう見つけますか？そしてどのようにアプローチしますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私は面白いと思う質問に興味があります。すべての質問ではありません。ある種の質問はあまり私にはアピールしません。

レックス・フリードマン：集合論の外にも行きますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：MathOverflowに最初に参加したとき、回答していた論理の人の中でほぼ唯一の人の1人でした。論理をいくらか知っている他の人々がいました。特に圏論や論理の最も伝統的な部分ではない数学の他の部分から来ていて、論理の質問のいくつかに答えていました。だから最初の頃、論理関連の質問に関わることで貢献できることがわかりました。

しかし質問している論理の人もあまりいませんでした。しかし見つけたのは、論理に隣接するトピックに非常に多くの関心があったことです。群論で質問が出ますが、それには論理の側面があり、あるいは解析などで、論理の角度がありました。

そして見つけたのは、その他の主題について十分に学ぶことで答えを見つけることができることが多かったことです。これが私にとって非常に報われたことです。なぜなら基本的に学ばなければならなかったからです。私の専門知識、主な専門知識は論理でしたが、誰かが選択公理についての質問をしたり、連続体仮説についてその他の主題で質問したりしました。そして答えるためにその他の主題と質問の文脈について十分に学ばなければなりませんでした。

そしてそれをすることがよくできました。だからそれをすることがとても嬉しかったです。また、それをすることで多くを学びました。なぜならこれらの他の問題領域について学ばなければならなかったからです。だから数学者として大きく成長することができました。

レックス・フリードマン：あなたが答えた質問の例を挙げると、ZFCから独立な合理的に聞こえる命題は何ですか？教える数学で最も誤解を招く代替定義は何ですか？大学で教えられる解析は実際には定義可能な数の解析ですか？連続体仮説の解決策？選択公理の最も直感に反する応用？自明な証明を持つ非自明な定理？背理法か対偶か？チェスの駒は数学的に何ですか？ちなみに、あなたは無限チェスにかなり取り組んでいますね。絶対に話すべきです。素晴らしいです。

本当に多くの魅力的なことに取り組んできました。哲学は数学を明確にしたことがありますか？一方が他方を含意するとき、なぜ2つの定理があるのですか？もちろん、連続体仮説のトピックについて素晴らしい、ほとんど歴史的な回答を与えています。

それは良い場所に行くかもしれません。カントールが苦しんだ連続体仮説とは何か。彼の人生の話、それとの戦い、人間的な側面も話すと良いでしょう。連続体仮説とは何ですか？

連続体仮説

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：連続体仮説は、無限のサイズが複数あることを証明したときに自然に生じる問題です。カントールは実数の無限が自然数の無限より厳密に大きいことを証明しました。しかしそれを証明するとすぐに、その間に何かあるか知りたくなります。それより自然な質問はないでしょう。

カントールはそれを問い、一生この問題について考えて過ごしました。連続体仮説は、自然数と実数の間に無限はないという主張です。もちろん、カントールは多くの実数の集合を知っていました。その間にあるものはすべて…実数の何らかの集合と等数になるでしょう。しかし多くの実数の集合を知っています。さまざまな閉集合、カントール集合などがあります。ヴィタリ集合があります。あらゆる種類の実数の集合があります。

だからもし連続体仮説が偽なら、おそらくその集合はすでに見たことがあると思うかもしれません。ただそれが厳密に間にあることを証明する必要があります。しかし誰もが定義または選び出すまたは観察できたすべての実数の集合について、常にそれらが可算であり、したがって自然数と等数であるか、またはは有限であることがわかりました。あるいは実数直線全体と完全に等数でした。厳密に間ではありませんでした。

あなたはこの状況にいて、間にある候補となる何百、何千もの集合がありますが、すべてのケースで一方か他方にあり、厳密に間ではないことを証明できます。

レックス・フリードマン：カントールはこれに執着していました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そう思います。私は歴史家ではないので正確な歴史は知りません。

レックス・フリードマン：見たすべてから、彼を壊した問題のようです。仮説について自分の中で異なる意見と戦って…必死に証明しようとしていました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：彼にはそれを証明するプログラムがあり、それはある意味で肯定されています。もちろん、開集合については連続体仮説が成り立ちます。それは簡単にわかります。開区間があれば、これは実数直線全体と完全に等数です。任意の区間は全直線と等数です。なぜなら必要なのは、全実数直線を区間にマッピングするアークタンジェント関数のような関数だけだからです。それは一対一関数です。

だから開集合は、非自明な開集合はすべて実数直線全体と完全に等数であることがわかります。厳密に間ではありません。しかし驚くべきことに、カントールはそれを閉集合についても証明しました。それはカントール＝ベンディクソンの定理と呼ばれるものを使います。

それはかなり顕著な結果です。明らかではありません。そしてこの定理が実際に順序数の起源でした。カントールはカントール＝ベンディクソンのプロセスを理解するために順序数を発明しなければなりませんでした。

レックス・フリードマン：この文脈で開集合と閉集合を定義していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、もちろん。実数の集合は、含むすべての点がその点を囲む小さな区間で囲まれていれば開です。その小さな区間全体が含まれます。しかしその小さな区間はそれ自体で全直線と等数です。だからそれが開集合についてのその質問がある種簡単な理由です。

閉集合は開集合の補集合であり、さまざまなサイズの閉集合がたくさんあります。もちろん、任意の閉区間は閉集合ですが、それだけではありません。中央の3分の1を省略することで得られるカントール集合のようなものもあります。この構成を見たことがある人もいるかもしれません。あるいは小さな開区間をランダムにたくさん、直線全体にわたってとるようなものを想像できます。だからそれらは一緒になって開集合になり、その補集合が閉集合です。

ちょうどこれらの開区間を投げ落として、残ったものが閉集合だと想像できます。それらの集合はかなり複雑になり得ます。例えば孤立点を持つことがあります。2つの開区間がちょうど接していて、その間に1点だけを残す場合です。しかし点に収束する列も閉集合です。収束する列の収束する列なども閉集合です。

レックス・フリードマン：カントール集合は反復的に開区間、中央の3分の1を取り除くことで構成され、間に入るものができるかどうか見ようとしています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです。問題は中間のサイズ、中間の濃度を持つ集合を生成できるかどうかです。カントールは閉集合についてカントール＝ベンディクソンの定理で「いいえ、不可能です」と証明しました。すべての閉集合は可算であるか実数直線全体と等数です。

連続体仮説を解くためのカントールのプログラムは、一種の上向きの作業でした。開集合と閉集合についてやり、一種の上向きに進みます。おそらくボレル集合に行きたいでしょう。これは開集合と閉集合の一種の組み合わせです。ボレルの複雑さの広大な階層があります。連続体仮説はこの階層のボレル集合についても証明されていることがわかります。

しかし先に進みたいのです。より複雑な集合はどうでしょうか？実数の集合に対する複雑さのこの階層があります。カントールのアイデアは、以前のケースの理解に基づいて、ますます複雑な集合について連続体仮説がますます真であることを証明することで階層を上に進んでいくことでした。

それは顕著な程度まで実行されています。大きな基数の仮定が必要になることがわかりますが、射影的階層のレベルでさえ、より高いレベルに到達するためには。射影的階層は実数自体への量化子を使って定義できる集合です。だからボレル階層の上に射影的に定義可能な集合のこの階層があります。

十分な大きな基数があれば、射影的な集合も常に可算であるか実数直線全体と等数であることがわかります。そしてそれを超えて進むこともできます。

過去50年間のこれらの結果を、カントールが120年以上前に遡って持っていた、ますます多くのインスタンスを確立することで連続体仮説を証明するというアイデアを実現するものと見なしています。

しかしもちろん、今でさえ知っていることでは、完全には成功していませんし、成功することはできません。なぜなら複雑さの階層はすべての実数の集合を含んでいないからです。それらのいくつかはある意味でこの階層を完全に超越しています。だからプログラムは完全に成功することは決してできません。特に独立性の結果に照らして。

レックス・フリードマン：ネタバレですが、連続体仮説は数学のZFC公理から独立であることが示されましたね。独立性の結果について話していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい。ZFC公理はツェルメロによって1908年に最初に提唱されました。選択公理を使った整列定理の証明に関して。完全なZFCではありませんでした。当時はツェルメロ理論だけでした。ある種の欠けている公理、置換公理があり、基礎の公理は後に追加され、それがツェルメロ＝フレンケルの公理化を形成し、標準になりました。

もう1つの側面があります。ツェルメロの元の理論は元要素、これらの原子、集合ではないが集合論的宇宙を構築する数学的オブジェクトの存在を許容していました。一方、今日の集合論者は一般的に元要素をまったく使いません。

元要素を省略するよう導くのは本当に構造主義の哲学だと主張します。元要素付きのZFC公理、ZFCUまたはZFAと呼ばれるものを採用すると、その集合論的宇宙に存在する任意の構造、任意の数学的構造は原子をまったく使わない構造と同型であることがわかります。

構造主義者であれば原子は必要ありません。なぜなら構造について同型までしか気にしないからであり、理論は単に原子なしでより優雅で明確です。必要ないのです。だから今日集合論について話すとき、一般的に原子なしのバージョンについて話し、ZFCには元要素がありません。

さて、集合論のZFC公理を定式化します。これらは集合と集合の存在の性質についての主要な原理的アイデアを表現しています。カントールは19世紀後半に連続体仮説について尋ね、1938年まで完全に未解決のままでした。

レックス・フリードマン：申し訳ありませんが、これは世紀初頭に定式化されたヒルベルトの23の問題の中で1番目の問題でした。なぜ彼がそれを1番目にしたかコメントしていただけますか。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうですね。ヒルベルトは世紀の変わり目の有名な演説で、来るべき数学の世紀で考慮すべき重要な問題のリストを導入しました。人々は今そう話しますが、まったく…もちろんヒルベルトの代弁をすることはできませんが、非常に著名な数学者であれば、ヒルベルトが今私たちがそのリストを受け取る方法と同じ方法で彼のリストを考えていたとは少し信じがたいです。

世紀が展開するのを観察したので、その23の問題のリストが実際に研究プログラム全体を導いたことを知っており、非常に重要で影響力がありました。しかし当時、ヒルベルトはそれが真実になるとは思う理由がなく、彼は講演をしていて、非常に興味深く重要で基本的だと思った問題のリストを持っていただけです。

だから彼は単に非常に興味深く重要で基本的だと思った問題のリストを作っていただけで、この20世紀の研究を導くという重い負担なしにというのがより合理的だと思います。結局それがまさにそうなりましたが。

ヒルベルトの集合論の性質についての見解と基本的な性格、「誰も我々をカントールが創造した楽園から追い出すことはできない」という引用についてすでに議論しました。だからヒルベルトは数学の基礎にとっての連続体仮説の重要性と基本的な性格についてカントールに説得されたと思います。これは数学の統一にとって非常に重要な発展でした。

集合論が数学の基礎として出現する前は、数学にはさまざまな主題がありました。代数があり、解析、実解析があり、位相幾何学と幾何学などがあります。独自の公理、別々の公理を持つこれらすべての異なる主題があります。

時々、例えば代数学の基本定理を証明するとき、複素数が代数的閉体であること、任意の多項式方程式をその中で解けることを知っています。しかしその定理の証明方法は数学の他の部分から来ます。位相的な証明などがあります。

それはどう機能しますか？完全に異なる公理系を持っていて、しかし1つの主題の結果を別の主題で使っているなら、1つの基礎となる主題がない限りある意味で支離滅裂です。

数学の統一は集合論のような数学的基礎の存在によって提供されました。当時は集合論でした。だからすべての数学が起こる単一の理論を持つことは非常に重要であり、その種の転送と借用の現象を解決するためです。それは確実に起こっていました。

だからそれがヒルベルトの思考の一部だったに違いありません。統一的な基礎を持つ必要性について、そして集合論がその役割を果たしていて、連続体仮説はそのような核心的で基本的な質問なので、彼がそれをリストに載せたのはかなり自然に思えます。

しかし他の論理関連の問題もありました。ヒルベルトの第10問題も論理に関連しています。これはディオファントス方程式についての質問で、彼は与えられたディオファントス方程式が整数で解を持つかどうかを決定するアルゴリズムを提供するよう求めました。

ディオファントス方程式は、つまり簡単に理解できるものの派手な言い方で、多項式方程式ですが、1変数だけでなく多変数です。整数上の複数の変数の多項式があり、解けるかどうか知りたいのです。

問題は、ヒルベルトが述べたように、多項式方程式が整数で解を持つかどうかという問題に答えるアルゴリズムを提供することです。だから彼はある種アルゴリズムがあることを仮定していますが、それが何か知りたいのです。アルゴリズムは何ですか？

しかし問題はアルゴリズムがないことを証明することで解かれました。停止問題のような決定不可能な問題です。多項式方程式が整数で解を持つかどうかを正しく決定する計算可能な手順は存在しません。だからこれはかなり顕著な発展だと思います。リストには他にもいくつかの論理関連の問題がありました。

レックス・フリードマン：そして最終的に、連続体仮説は先ほど述べたようにZFC公理から独立であることが示されました。それでどう感じますか？独立性とは何で、それは何を意味しますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：しかし一度物語、歴史的な物語を語れば、本当にかなり劇的です。カントールが19世紀後半に問題を提起します。そして完全に未解決です。ヒルベルトが20世紀の変わり目にそれについて尋ねます。1938年まで答えが来ません。これは4十年後です。長い時間ですよね。

そしてゲーデル、クルト・ゲーデルがその半分を証明しました。彼が証明したのは、集合論の公理が無矛盾であれば、選択公理と連続体仮説の両方が真である集合論的世界があるということです。彼がしていることは、これを構成可能宇宙、ゲーデルのLと呼びます。これを解決しました。これは選択公理の安全性の問題にも答える同じ結果ですが、連続体仮説についてもです。同じ集合論的宇宙で真です。

だからZFが、選択公理なしで無矛盾であれば、ZFCプラス連続体仮説も無矛盾というのが結果です。1938年。本当に美しい議論です。信じられないと思います。なぜなら彼は代替的な数学的現実を構築しているからです。それが証明の構造です。任意の数学的現実があれば、任意の集合論的世界があれば、私たちは別のもの、別の多分異なるものを構築します。

私たちが始めた場所と同じかもしれません。彼が構築したものの中でスタートした場合、同じになります。しかし同じだと仮定する理由はありません。だから彼はこの代替的な集合論的現実、構成可能宇宙を構築するこの種のモデル構成方法を持っています。そして選択公理がそこで真であること、そして連続体仮説がそこで真であることを証明します。本当に素晴らしいです。本当に美しい議論です。

さて、独立性の他の部分については、それは半分に過ぎません。なぜならゲーデルは基本的に連続体仮説を反駁できないことを示していますが、それが真であることを証明することと同じではないからです。

集合論が無矛盾であれば…連続体仮説なしで、連続体仮説と無矛盾であることを示しました。だからそれは真であることを証明することと同じではありません。そしてそれは1963年まで来ませんでした。ポール・コーエンが強制法を発明しました。集合論のモデルがあれば、連続体仮説が偽である集合論のモデルがあることを証明しました。

だからコーエンも代替的な数学的現実を構築するための非常に強力なツールを与えてくれています。私はそう考えています。彼は任意の集合論的世界を取り、連続体仮説が偽である別の異なるものを構築する方法を説明しました。強制拡大です。

レックス・フリードマン：強制法というこのとても魅力的な技法、ツールです。おそらく擬人化しているかもしれませんが、1つの数学的宇宙から別のものへ脱出する方法、またはそれを拡張したり変更したりする方法のようです。数学的宇宙の間を旅します。強制法の技法を説明していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、まさに。それはそれらすべてです。とても素晴らしいです。つまり、まさにそう考えています。

レックス・フリードマン：ちなみに、これはより大きな絵を与える良い場所かもしれません。あなたの数学におけるより論争的なアイデアの1つは、論文『The Set-Theoretic Multiverse』で示されていますが、唯一の真の数学がないかもしれず、むしろ複数の数学的宇宙があり、強制法は1つから別のものへ行く技法の1つであると述べています…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：コーエンの結果やゲーデルの結果などの教訓、これらの代替的な集合論的宇宙を生成すること。連続体仮説は独立であり、選択公理は他の公理から独立していることを観察しましたが、それはそれら2つだけではありません。何千もの独立性の結果があります。

無限組合せ論の実質的にすべての非自明な命題はZFCから独立しています。つまり、これが事実です。普遍的に真ではありません。人々がZFCで物事を証明したいくつかの非常に困難な顕著な結果がありますが、大部分において、無限の濃度についての非自明な質問をすれば、ZFCから独立である可能性が非常に高いです。

それを確立するために使われる何千もの議論、これらの強制法の議論があります。それをどう受け止めるべきでしょうか？一方では、理論があってそれが興味のある質問のどれにも答えないなら…

それは何を意味しますか？私が宇宙観または一元論的観点と呼ぶものに従っているなら、「ZFCは弱い理論であり、そこに真の集合論的現実があり、現在の理論が質問に答えないので、より良い理論が必要だ。すべてが独立だ」と自然に言うかもしれません。

だからそれはかなり合理的なことに思えます。唯一の集合論的真理または唯一の事実の問題がある、すべての集合論的質問に明確な答えがあると考えているなら、これが宇宙観です。

レックス・フリードマン：ちなみに繰り返すと、独立とはこの公理系、この理論内で証明も反証もできないことを意味します。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです。独立とは証明できず、偽であることも証明できないことを意味します。反駁できません。

レックス・フリードマン：その文がこれほどトラウマ的または悲しいのは、あなたが言ったように、興味深いもののほとんどがZFCから独立であることが示されているからですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：しかしそれはそれについて考える興味深い方法だと思います。なぜなら私がバークレーの大学院生だったとき、C*代数か何か、解析または関数解析の一部で非論理の教授と一緒に働いていた別の大学院生がいたことを思い出させるからです。だから彼らは質問を見ていて、それはZFCから独立であることがわかりました。

この他の教授の態度は「ああ、間違った質問をしたようだ」でした。しかし私と集合論者全員の態度は、独立であることがわかる質問をすると、まさに正しい質問をしたということです。なぜなら、これは…自然の節理で分けているのです。これらの2つの領域を見つけています。真である世界と偽である世界を見つけています。これらの二分法の1つを見つけています。

だからその質問をするとき、それは祝うべきことです。証明も反駁もできない一種の暗いことではなく、それは災害だとかではなく。むしろ、現実において、数学的現実においてこの分裂を見つけたことを意味し、それが起こったときに知っておくのは良いことです。

レックス・フリードマン：自然の節理で分ける。ZFCから独立であることが示されたものについて何ができますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：不完全性定理のため、書き留めることができる任意の理論について、証明できない真のことがあることを知っています。だからそれらのものは独立になります。さらに、それらの理論のいくつかは無矛盾であることを証明することさえできません。自分自身の理論の無矛盾性のように。

だからそれは無矛盾性強度階層と呼ばれます。ゲーデルの第二不完全性定理の直接的な帰結として、書き留めることができる任意の理論について、その上にそびえ立つこの信じられないほど高い無矛盾性強度の塔があり、強度のある理論は別の公理を追加するだけでなく、無矛盾性さえ階層の以前の層で証明可能でなかった公理を追加しています。

だから私たちは大きな基数公理を見つけてこの増加する無矛盾性強度の特徴をまさに実現することがどれほど幸運なことか。この終わりのない非常に高い無矛盾性強度の公理の階層。それはゲーデルの定理がその種のことについて行う予測をまさに満たしています。

ただし、大きな基数階層の公理は、時々ゲーデル分析で生じる形式のメタ論理的自己言及的文ではなく、むしろ大きな無限の存在を主張しています。これらの大きな基数公理。だからこれは非常に歓迎される発展であり、それでも連続体仮説は既知のすべての大きな基数公理から独立であることが知られています。

だから大きな基数公理のどれも連続体仮説を解決できません。だから独立性現象は連続体仮説や私が言及した基数組合せ論のようなものについてまだそこにあります。

レックス・フリードマン：だからあなたはZFCより強力な公理系のこの信じられない階層を構築しています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ZFCより強力で、それより強力で、それより強力で、などです。永遠に続き、決して終わりません。

レックス・フリードマン：そして今日まで、連続体仮説は…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：どの大きな基数公理によっても解決されません。

レックス・フリードマン：わあ。それは何を意味しますか？どう感じますか？いつか解決されるでしょうか？

数学的多元宇宙観

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それは私の多元宇宙観の一部だと思います。私は宇宙観を説明していましたが、これはすべてのこれらの問題について事実の問題があり、宇宙観の人であれば—私はそうではありませんが、そうであれば—連続体仮説の問題に正しい答えがあり、大きな基数の問題にも正しい答えがあると考えます。私たちが目指すべきことはこの唯一の真の集合論を見つけ出すことです。

対照的に、私は過去半世紀以上の集合論の発展を、そのような唯一の集合論的現実が存在しないという証拠と見なしています。むしろ、私たちが何十年も行ってきたのは、基本的な真理が互いに異なるますます多くの代替的な集合論的宇宙を生成することです。

それが連続体仮説の問題への答えです。任意の集合論のモデルが与えられると、連続体仮説が真である強制拡大があり、偽である別のものがあります。スイッチのようにオンオフできます。それが連続体仮説の根本的な性質です。持つことも否定を持つこともできます。非常に密接に関連した集合論的世界の中で好きなように。

どこに住んでいても、CHが真である、連続体仮説が真である密接に関連したものがあり、偽であるものがあります。そしてそれ自体が一種の答えです。一元論的な答え、宇宙観の答えではありません。多元論的な答えです。

これは私の集合論の多元宇宙観と多元論的真理についての見方につながりました。すなわち、集合論的真理の根本的な性質は、基本的な用語に単一の意味がないという点でこの多元的性格を持っています。むしろ、異なる真理を持つ代替的な集合論的宇宙のこの選択があります。

レックス・フリードマン：数学の多元宇宙観は何をすることを可能にしますか？何を力づけ、限界は何ですか？分野として、知識の空間として数学について何を壊し、何を可能にしますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：まず第一に、多元宇宙観や宇宙観のような集合論の哲学で取り得る異なる哲学的立場について言うべきですが、私たちは数学について意見が違うことは決してありません。定理が何であるかについては皆同意しています。根底にある意味や文脈についての哲学的視点の問題であり、本当に数学の哲学は何のためにあるのかということです。

歴史を振り返ると、例えばニュートンとライプニッツの微積分の時代に遡ると、彼らは無限小の概念を使って微積分のアイデアを有名に発展させました。そしてそれらの基礎はバークレー司教などによって徹底的にあざけられました。彼は「これらの消え行く増分は何か、去りゆく量の幽霊と呼ぶべきではないか」と言いました。

しかし基礎は当時本当に完全に疑わしかったと思います。そして無限小微積分のその基礎は1950年代頃に非標準解析とロビンソンの仕事の発展によってようやく厳密になりました。

だから私が言おうとしている点は、永続的な洞察を数学で行うためには堅固で厳密な数学の基礎が必要ですか？そして答えは残念ながら明らかにそうではないようです。なぜなら微積分では、ニュートンとライプニッツが持っていた無限小のあのひどい、きしむ基礎でさえ、十分に理解されていなくても、彼らは微積分のすべての基本定理を証明し、あの初期の日々にすべての主要な洞察を持っていました。あの非常にひどい基礎で。

だからそれは、基礎についての見解の種類が数学の発展と進歩と洞察にとってどれほど重要かについて何かを示しています。なぜなら微積分におけるそれらの初期の数学的発展を、現代の視点からは基礎が良くなかったにもかかわらず、真に数学的で非常に重要で洞察に満ちたものと見なすからです。

だからむしろ…集合論の哲学と宇宙観と多元論の間の論争に関しては、私の見方は哲学的視点の選択は数学的発展と直接関係がまったくないということです。むしろ、「集合論はどこに行くべきか？どのような集合論を見るべきか？どのような質問をするべきか？」と教えてくれます。

宇宙観の精神を持っているなら、唯一の真の集合論的宇宙の性質を見つけて明確にしようとするよう押されるでしょう。その発言はヒュー・ウッドンによる発展で本当によく示されていると思います。彼は宇宙観を持つ最も著名な数学者・哲学者の1人であり、彼の究極的L理論などがあります。彼は本当に努力しています。

レックス・フリードマン：彼はあなたの指導教官でもありました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私の指導教官でもありました。私の大学院の指導教官でした。

レックス・フリードマン：個人的な話でもありますね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：この問題についての基本的な論争、ええ。彼は唯一の真の集合論的宇宙の性質を見つけようとする非常に強力で成功した研究プログラムを持っています。それが彼が尋ねている問題と追求している数学的プログラムを駆動しています。

一方、私のように多元論的見方を持っていれば、異なる集合論的宇宙の相互作用に関係する問題に導かれ、惹きつけられるでしょう。あるいは集合論のモデルがその強制拡大などとどのように関連しているかの性質を理解したいかもしれません。

これは私が集合論的ポテンシャリズムと呼ぶものにつながりました。そこでは集合論的宇宙をポテンシャリスト的な方法で考えます。直接的な意味での潜在的無限ではありません。なぜならこれらの宇宙のすべてがすでにその中に無限集合を持っているからです。しかしより多くの集合を持つことができるという意味でポテンシャリスト的です。宇宙は強制によって、または上方に拡張することによって、より広く、より高くなり得ます。

だから集合論的宇宙のこの領域の性質を理解したいのです。それはかなりエキサイティングな仕事です。ベネディクト・ローヴェと私は強制の様相論理と端拡大の下での集合論的ポテンシャリズムについていくつかの定理を証明しました。私はこのトピックでかなりの仕事をしました。

また、ギュンター・フックスと私の博士課程の学生の1人だったヨナス・リーツと一緒に、集合論的地質学のトピックを組み立てました。これは強制のメタファーを研究することです。強制では基底モデルと強制拡大があります。

ヨナスと最初に一緒に仕事をしたとき、彼は「強制を元に戻したい。後ろに行きたい」と言いました。私は最初「ヨナス、そういう風には動かないんだ。基底モデルから始めて外に出て、大きいモデルに行く。強制はそう機能するんだ」と言いました。

彼は「いいえ、後ろに行きたい」と言いました。だから彼はかなり粘り強かったです。最終的に私は「よし、やってみよう。真剣に考えよう」と言いました。そして座って強制によって宇宙を取り、それがどこから来たかを見ることの性質について、より正確に注意深く深く考え始めました。これは当時強制について考える新しい方法でした。

レックス・フリードマン：強制のリバースエンジニアリングのようなものですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、そのようなものです。強制は新しい宇宙を生成する方法です。だからどこかから始めてその新しい宇宙に行くこともできますし、自分がいる場所を見て「過去に強制でここに来たんだ」と言うこともできます。

私たちは岩盤モデルと基底のモデルを定義し、強制を元に戻すことを定義しました。本当にかなり実り多かったです。これは多元論的視点の一種だと見なしていますが、違いは集合論的地質学は宇宙観にも適用可能だということです。

だから仕事が多元宇宙観というこの哲学的見方からインスパイアされたにもかかわらず、地質学の中心的アイデアは今や宇宙観点の研究プログラムを持つ人々によって取り上げられています。集合論的地質学が、唯一の真の宇宙の性質がそのマントルとどのように関連するかを発見するのに役立っていることがわかったからです。

私が導入したこの集合論的マントルの概念があり、非常に興味深い方法で関連しています。だから歴史的にかなり面白いと思います。なぜなら多元論的観点から完全に成長した研究プログラムが、かなり重要な方法で宇宙観点の研究プログラムによって取り上げられたからです。

レックス・フリードマン：強制によって到達した世界で何かを証明し、その一部を基底モデルに持ち帰ることができますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、絶対に。それは実際には非常に強力な議論方法です。人々はよくそうしたいと思います。ある集合論的文脈にいると仮定しましょう。集合論的宇宙に住んでいると考えることができ、その宇宙でのみ何かを証明したいとします。

しかし1つのやり方は、まずこの強制拡大を構成し、この強制拡大についての特徴を使って、特定のことが基底モデルですでに真だったに違いないことを認識することです。そして強制拡大を捨てて…

レックス・フリードマン：おお、クールですね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ。だからこれは起こり得ます。より初等的な例を選ぶと、複素数を本当に理解する前の初期の人々の推論について考えると。彼らは解きたい代数方程式を持っていて、それをするためのツールと方法を持っていましたが、構成の過程で多項式にいろいろなことをし、因子を変えるなどして、他の多項式を生成し、それらを解くなどしなければなりませんでした。時々、解を生成することができました。

構成の途中で、例えば√-5のようなものに導かれ、それに意味がありませんでしたが、記号的にやっていました。そして最終的に、彼らが持っていた方法のため、組み合わせて相殺するなどして、複素数の部分がすべて相殺され、例えば3+√17のような実際の答えになりました。そして確認でき、うまくいきました。元の方程式の解でした。

彼らにとって当惑するものだったに違いありません。実数だけの質問、代数的質問から始めて、負の数の平方根を持つナンセンスの国を通って進み、正しいと確認できる再び実数の答えに到達したのですから。

私が説明していたこの種の強制の議論を同様の方法で見ています。集合論から始めて、強制拡大のナンセンスの国、この想像上の世界に行きます。議論して戻ってきます。基底モデルで帰結を作り、とても美しい議論の仕方です。

超現実数

レックス・フリードマン：ナンセンスの国といえば、超現実数について聞かなければなりませんが、まずもう一度バスルーム休憩が必要です。

さて戻りました。超現実数についての素晴らしいブログ記事がありますね。基本的にすべての数を構成できるかなり単純な超現実数生成プロセスがあります。超現実数とは何か、すべての数を生成できる方法とは何かを聞くのにこれは良い場所かもしれません。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：超現実数系は驚くほど美しい数学的システムで、ジョン・コンウェイによって導入されました。

レックス・フリードマン：安らかに眠れ、この地球上で最も偉大な数学者の1人でした。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい、絶対に。私は彼の数学的思考と数学での仕事のスタイルを本当に尊敬しており、超現実数系はこの良い例です。

超現実数系について考える方法は、他のすべての数系を統一する数系を提供しているということです。実数を拡張します。整数、自然数と整数と有理数と実数を拡張するだけでなく、順序数と無限小も拡張します。すべてが超現実数の中にあり、巨大な数のシステムです。集合でさえありません。すべての順序数を含むので真のクラスであることがわかります。

しかし無から単一の規則によって生成されます。規則は、段階的に、超限的な段階のシーケンスで数を生成することです。すべての段階で、これまでに持っている数を取り、すべての可能な方法でそれらを2つの集合、下の集合と上の集合、または左集合と右集合に分けます。

それらを2つの集合に分けて、左集合のすべてが右集合のすべてより小さいようにし、その瞬間に左と右の間のギャップに収まる新しい数を作成します。それだけです。それだけをします。

もう一度言います。規則は段階的に進み、任意の段階で、すべての可能な方法で持っている数を左集合と右集合の2つの集まりに分け、左集合のすべてが右集合のすべてより小さいようにします。そしてそのギャップに収まる新しい超現実数を作成します。

例えば、最初は数がありません。まだ何も作成していないので、何もなしを取り、2つの集合、空の下集合と空の上集合に分けることができます。つまり2つの空集合です。空集合のすべては空集合のすべてより小さいです。なぜならそれは空虚に真な命題だからです。

だから条件を満たし、新しい数を作成すべきだと言う数生成規則を適用します。これを私は数のビッグバン、超現実創世と呼びます。数ゼロが生まれるときです。ゼロは空集合のすべてより大きく空集合のすべてより小さい最初に生まれた数です。

しかし今この数ゼロを持っているので、新しいギャップを定義できます。ゼロを左集合に入れて空の右集合を持てば、ゼロより大きく空集合のすべてより小さい新しい数を作成すべきで、その数は数1と呼ばれます。

同様に、その同じ段階で、ゼロを右集合に入れることもできたので、それはゼロより小さい最初に生まれた数になり、マイナス1と呼ばれます。

今3つの数があります。マイナス1、ゼロ、1で、4つのギャップがあります。マイナス1より下、マイナス1とゼロの間、ゼロと1の間、1より上の数があり得るからです。だからそれら4つの新しい数を作成します。

1より上の最初の数は2と呼ばれます。ゼロと1の間の最初の数は1/2と呼ばれます。そして負の側にはマイナス1/2とマイナス2などがあります。今7つの数がありますか？だから8つのギャップがあります。次の誕生日、彼らが呼ぶ次の段階で、それらのギャップの間のすべての数が生まれ、それからその間、その間、などです。

日が進むにつれて、ますます多くの数を得ますが、それらは有限の誕生日に過ぎません。私が言ったように、超限的なプロセスだからです。オメガの日、最初の無限の日に、多くの新しい超現実数を作成します。

すべての実数がその段階で生まれます。なぜならすべての実数は先ほど話した以前に生まれた有理数の間のギャップを埋めるからです。すべての有理数ではありません。実際、有限段階で生まれる有理数は分母が2のべき乗である有理数だけであることがわかります。それらは二進有理数と呼ばれます。

実数はすべてオメガの日に生まれますが、他のいくつかの数もオメガの日に生まれます。すなわち、順序数オメガ自体がそれらの有限数すべてより大きい最初に生まれた数であり、マイナスオメガがそれらの有限数すべてより小さい最初に生まれた数です。

しかしまた、イプシロンという数があり、これはゼロより厳密に大きくすべての正の有理数より厳密に小さい最初に生まれた数です。だからそれはそのギャップの無限小数になり、などです。

オメガプラス1の日にはより多くの数を得、オメガプラス2など。数は永遠に来続けます。これが超現実数系を構築する方法です。

そして加法と乗法の算術演算をこの再帰的定義に関わる自然な方法で定義できることがわかります。超現実数に対するプラスとかけ算の一種の再帰的定義があります。

そしてそれらが超現実数を順序体と呼ばれるものにすることを証明できることがわかります。体の公理を満たし、加法と乗法の分配法則と交換法則があり、すべての非ゼロ数に逆元があります。数で割ることができます。だから加減乗除できます。

さらに、平方根を取ることができます。さらに、すべての奇数次多項式は根を持ち、これは実数で真です。なぜなら3次や5次の多項式について考えると、奇数次多項式なので2つの無限で反対の振る舞いをするから軸を横切ることを知っているからです。正の側では正の無限に向かい、負の側では負の無限に向かいます。だから横切らなければなりません。

実数ですべての奇数次多項式は根を持つことを知っています。それは超現実数でも真です。だからそれは実閉体と呼ばれるもの、とても良い数学的理論にします。超現実数の中にこれらすべての他の数系のコピーを見つけることができるのは本当にかなり興味深いです。

レックス・フリードマン：しかし超現実数は心配されているように基本的に不連続です。これの結果は何ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：超現実数は実体の非標準モデルを形成する性質を持っています。つまり、私が先ほど言及したロビンソンの非標準理論に基づいて微積分を発展させるために使える無限小性の概念を提供します。しかし部分集まりに対する最小上界の性質を持ちません。

超現実数の自明でない集合は最小上界を持たず、超現実数には収束する列がありません。だから極限と収束に基づく微積分の通常の使用では、その方法は超現実数ではまったく機能しません。

だからそれが超現実数が基本的に不連続であると言う意味です。基本的な不連続性があります。しかしそれでも微積分をすることができます。無限小があれば、微積分への無限小ベースの方法を使えばできます。人々はそうしています。

かつてニューヨークでカンファレンスを組織し、ジョン・コンウェイがそのカンファレンスのスピーカーでした。質問セッションがあり、誰かが聞きました。少し失礼だと思いますが、彼らは聞いて質問は「人生で最大の失望は何ですか？」でした。

非常に公の場でそのような質問をすることは決してしませんが、コンウェイは非常に優雅で、答えました。「超現実数…」数自体ではなく、超現実数の受け入れについてです。彼は超現実数が数学と科学全体で使われる基本的な数系になるという野心を持っていたからです。それは非標準解析ができ、微積分ができ、順序数を統一するなど。とても統一的で驚くべき構造で、周りに優雅な証明と洗練されたアイデアがある美しい構造です。

そして彼が望んだ統一的な地位を決して達成しなかったことに失望していました。これを彼の最大の失望として言及しました。

レックス・フリードマン：ドナルド・クヌースがそれを祝おうとしましたが、定着しませんでしたね。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：超現実数が広く研究されていないという印象を与えたくありません。なぜならそれを研究している何千人もの人々がいるからです。実際、超現実数の世界的な専門家の1人であるフィリップ・エーリッヒが一度私に言ったのは、コンウェイはまさにその問題に関して自分自身の最悪の敵だったということです。

コンウェイのスタイルでは、すべてがゲームです。彼は超現実数を一種の遊び道具、おもちゃとして扱い、それは人々にそれを真剣に受け止めさせないかもしれません。しかし私の見方は、それは非常に真剣で、有用で、深遠であり、Infinitely Moreの私のSubstackで超現実数についての一連のエッセイを書いてきました。そして主題全体を非常に魅力的で美しいと感じています。

確かにエンジニアリングに応用していません。それはこのコンウェイの野心の一部だったかもしれません。

レックス・フリードマン：忘れる前に言及したいのですが、コンウェイがすべてをゲームにしたこと。これは私があまり考えなかった魅力的な点です。ライフゲームは単にセル・オートマトンの探求の一例だと思います。セル・オートマトンは最も信じられない、複雑で、魅力的な…まだ十分に探求していない世界への開かれたドアのように感じます。

ライフゲームはその世界のとても美しいイラストですが、それをゲームと呼ぶこと、おそらく「ライフ」がバランスを取っています。それは強力な言葉ですから。しかしそれはまったくゲームではありません。信じられないほど複雑で魅力的な数学的世界への魅力的な招待状です。

セル・オートマトンを見るたびに、その世界を理解する数学的ツールをまだ持っていないという事実に畏敬の念を感じます。千年後について言えば、それは私たちが進歩を遂げるかもしれない世界のように感じます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ライフゲームは計算的に決定不可能な問題のための一種の遊び場です。なぜなら実際、与えられたセルがいつか生きるようになるかという問題は計算的に決定不可能であることを証明できるからです。

言い換えれば、構成が与えられて「この特定のセルは進化の中でいつか生きるようになるか？」と尋ねると、その質問は停止問題と同等であることを証明できます。計算的に決定不可能です。

生きるようになれば有限の段階でわかるという意味で半決定可能です。ライフゲームのアルゴリズムを実行して走らせればいいからです。生きるようになれば「ええ、生きていました」と言えます。しかし1000年走らせてまだ生きていなくても、振る舞いが非常に複雑だった場合、「いいえ、決して生きるようにならない」と言う根拠があるようには見えません。

振る舞いの進化を完全に理解していれば「いいえ」と言えますが、問題が停止問題と同等であるまさにその理由で、常にその理解を持つことはできないことを証明できます。

レックス・フリードマン：それでも、座って視覚化すると、小さなミニセル・オートマトン文明が生まれ、すぐに死に、いくつかは非常に予測可能で退屈ですが、いくつかはこの豊かで信じられない複雑さを持っています。

停止問題とランダムなプログラム

レックス・フリードマン：停止問題と決定可能性について尋ねたいことに触れたと思います。プログラムを深く理解すれば何か言えることがあると言及されました。統計的にどれだけのプログラムについて停止するかどうか何か知っているか、言えることはありますか？予測できるほどプログラムを深く理解するとはどういう意味ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私の見方での計算可能性理論の主な教訓は、プログラムを見てプログラムの振る舞いを徹底的に理解できる場合は決してないということ、そしてプログラムから学ぶ内容は、最も一般的なケースでは、常にそれを実行して振る舞いを見ることによってのみ得られるということです。

その証明にはライスの定理と呼ばれる定理があり、そのアイデアを完全に堅固にします。しかし、あなたが今言ったことをちょっと脱線して別の問題に向かいたいと思います。すなわち、ランダムなプログラムの振る舞いは何かという問題を尋ねることができます。

ある形式的計算言語があり、ある大きさのすべてのプログラムの集まりを見たいとします。有限個しかないかもしれません。ランダムに選ばれたものの振る舞いについて何か言えますか？ある確率でそれはある振る舞いをするとか？

答えは非常に興味深いことがわかります。何年も前にアレクセイ・ミャスニコフが私に質問をしました。彼はブラックホールを持つ決定問題という概念を持っていました。それが意味するのは、最悪のケースではおそらく困難だが、困難がブラックホールと呼ばれる非常に小さな領域に集中している決定問題です。そしてそのブラックホールの外では非常に簡単でした。

だから例えば、この種の問題は暗号化スキームの基礎として使うには恐ろしい問題です。なぜなら誰かが95%の確率で銀行を強盗できるなら、それは望ましくないからです。任意の非自明な割合でさえ危険すぎます。

だから暗号化の基礎としてほとんどすべてのケースが簡単に解ける問題は使いたくありません。アレクセイが私に尋ねたのは「停止問題にはブラックホールがありますか？」でした。

標準的なチューリングマシンのモデルを取ると、片方向無限テープに0と1があり、ヘッドが前後に動き、停止状態になると停止するなら、ブラックホールがあることを証明しました。

それが意味するのは、停止問題のほぼすべてのインスタンスを正しく決定するコンピュータ手順があるということです。停止問題は決定可能ではありませんが、ほぼすべてのインスタンスを決定できます。

より正確には、プログラムがその集まりにあるかどうかを簡単に決定できるチューリングマシンプログラムの集まりがあります。その集まりのプログラムについては、それらのプログラムに対する停止問題を簡単に決定できます。さらに、ほぼすべてのプログラムは状態の数が大きくなると集まりに入るという意味でその集まりにあります。だからプログラムの漸近密度は1です。

証明はかなり魅力的でした。なぜなら、定理は最初に言ったとき多くの人、計算可能性の専門家にとって本当に驚くべきものに聞こえるからです。停止問題のほぼすべてのインスタンスを解けると考えることは興味をそそるものです。

しかし証明を聞くと、それは完全な期待はずれです。残念ながら、証明の後は誰も定理を好きではなくなります。しかし証明はとても単純です。

チューリングマシンがどのように動作するか知っていれば、機械が0と1を書く無限の紙テープがあり、ヘッドが厳格な指示に従って前後に動きます。指示はすべて「機械がこの状態でテープのこの記号を読んでいるなら、このテープに記号を書き、この指定された新しい状態に変わり、左か右に指定されたとおりに動くべき」という形式です。プログラムはそのような指示からなります。

プログラムを見ると、状態の1つは停止状態で、それがプログラムが停止するときです。しかし停止状態に遷移する指示がないプログラムがいくつあるか計算できます。割合を計算できます。極限ではそれは1/e²になり、13.5%です。

極限を計算すると、決して停止しないプログラムの割合が13.5%です。なぜなら停止という指示がないからです。それらのプログラムは明らかに決して停止しません。なぜなら停止できないからです。停止という指示がありません。

レックス・フリードマン：だから13%のプログラムは停止しないと言えます。見ただけで理解できるからです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：停止状態がありません。停止状態に変わることはないので、停止できません。

レックス・フリードマン：それでも知っておくのは美しいです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：だからそれはプログラムが停止しない愚かな理由の一種です。私が最初にその観察をしたとき、「これが証明戦略だ」と思いました。なぜなら最初、目標は「それはプログラムが停止しない愚かな理由だ。できるだけ多くの愚かな理由を積み上げたい」だったからです。50%を超えるまで、そうすれば「ほとんど」と言えます。

レックス・フリードマン：それは素晴らしい。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それが私の目標でした。しかしそれについてもっと考え、100%に収束する1つの巨大な愚かな理由を見つけて大当たりしました。極限で。

プログラムが停止しない愚かな理由は、振る舞いについて考えると、ヘッドはそこにいます。テープの一番左のセルの最初にいます。開始状態にあり、ヘッドは指示に従っています。指示は「開始状態にいるとき」—そうです—「テープで何か読んでいるとき、何か書いて新しい状態に変わり、左か右に動くべき」と言います。

しかし半分は左に動きます。しかし左に動いてすでに端にいれば、ヘッドは落ちます。だから計算はヘッドがテープから落ちたので止まります。それはかなり愚かな理由です。

しかしそれですでに半分です。そしてそのうちの一部は右に行き、新しい状態に変わりました。そのうち、半分はその場所から左に行き、半分は右に行きます。そしてそれらのほとんどは新しい状態に変わっています。状態がたくさんあるとき、遷移する次の状態が新しい可能性が非常に高いです。

だからこのランダムウォークの振る舞いを得ます。各ステップで半分が左に行き半分が右に行きます。ポリヤの再帰定理と呼ばれるポリヤによる定理があり、ランダムウォーク、1次元ランダムウォークがあるとき、開始した場所に戻る可能性が非常に高いと言います。

それが私たちに起こると、その場所から半分が次のステップで落ちます。だからこの種の分析を使って、ランダムなチューリングマシンの確率1の振る舞いは、状態を繰り返す前にヘッドがテープから落ちることだと示すことができます。

それが停止問題を解く方法を示す愚かな証明です。それが起こると、停止問題に「いいえ、計算は機械がクラッシュしたので止まりました。停止したからではないので停止としてはカウントされません」と答えることができます。

あるいは、クラッシュを停止として定義したいなら…しかしいずれにせよ、形式主義をどう設定しても、ヘッドが落ちたときの機械の振る舞いについて問題に答えることができるでしょう。

レックス・フリードマン：だから統計的に、極限で停止問題を解きます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい、まさに。計算的に解きます。ええ。

レックス・フリードマン：そこから何を取り込みますか？なぜなら停止問題を解いたわけではないからです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：いいえ、すべてのケースで停止問題を完全に正しく解くことは不可能です。

レックス・フリードマン：かなりクールですね。つまり、わかりません。これは…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ほぼすべてのインスタンスを解く確率論的な方法です。計算的に。

これには複雑性理論の観点からおそらくより興味深く、実際に有用なバージョンがあります。P対NP問題全体があります。NP完全問題というジャンルがあり、それらは実行不可能な問題です。通常の方法で解くには指数時間がかかります。

多項式時間で解けることは知られていませんが、これらのケースでは多項式時間アルゴリズム、実行可能なアルゴリズムがあるかどうかは未解決の問題です。NP完全問題のほとんどについて、実行可能な時間内にほぼすべてのインスタンスを解く多項式時間近似があることを証明できます。

ナップサック問題、パッキング問題、その他の種類の問題、充足可能性問題など、形式主義をどう設定するかによりますが、ほぼすべてのNP完全問題、困難な問題について証明でき、私は多くのインスタンスを証明しましたが、それはおそらく広く知られています。困難な問題のほぼすべてにとって、そしてこれらは産業応用にとって重要な問題であり、これらは私たちが実際に解きたい問題です。それらのほぼすべてのインスタンスを解く実行可能なアルゴリズムを持つことができます。

偉大な数学者について

レックス・フリードマン：あなたが取り組んできた分野とトピックの量は本当に信じられないほどです。P対NPについて聞かなければなりません。これは複雑性理論の大きな未解決問題の1つです。知らない人のために言うと、計算時間と問題の複雑さの関係についてです。いつか解けると思いますか？PがNPに等しいという奇妙な直感に反することが真実である可能性はありますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それは興味深い問題です。時々人々はそれが独立であり得るかどうか尋ねます。それは論理学者にとって興味深い問題だと思います。もちろん、独立性のアイデアを考えているなら、どの理論に対してかを言わなければなりません。なぜならすべての命題は非常に弱い理論に対して独立になるからです。

P対NPについて考える方法は、もちろんこれらの問題の漸近的振る舞いについての理論的問題だということです。問題がPにあるということは、ある多項式で時間が制限された計算的決定手順があることを意味します。

しかしその多項式の係数は巨大かもしれず、次数は信じられないほど高いかもしれません。だから入力の小さな値では、私たちの生涯や人類文明の範囲内で与えるであろう問題入力の範囲に関して、この多項式時間の実行可能性について話すことは意味がありません。

漸近的性質なので、入力のサイズが無限に向かう極限でのみ、多項式やNPが関連するのです。だから次のことを心に留めておくことがおそらく重要です。

時々、P equals NPなら、これは人類文明にとって非常に重要だろうという過大な発言がなされることがあります。なぜならNPにあるこれらの信じられないほど重要な問題を解く実行可能なアルゴリズムがあることを意味するからです。

それは人間社会に莫大な富をもたらすでしょう。なぜなら、そうでなければ扱いにくい問題を解くことができ、それが新技術や産業などの基礎になるでしょう。人々はそのような発言をしますが、P equals NPまたはP not equals NPは、問題自体の漸近的性質のため、これらの実用的なことについてまったくないことでその発言を和らげる必要があります。

レックス・フリードマン：もちろん。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：しかしもう一方で、私たちはすでにアルゴリズムを持っているので使えます。ただし、これらすべての信じられない量のコーディングなどを含むので恐ろしいアルゴリズムです。

レックス・フリードマン：そして3つ目として、あなたが言ったように、私たちはすでに実用的な観点から人類文明の実際の本当のエンジニアリング問題を解く近似アルゴリズムを持っています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：SATソルバーは驚くほどよく機能します。多くのケースで。P not equal NPなら、多項式時間のSATソルバーはないだろうと期待していますが、実際のSATソルバー近似は本当にかなり驚くべきものです。

レックス・フリードマン：ばかげた質問をして申し訳ありませんが、史上最高の数学者は誰ですか？候補者は誰ですか？オイラー、ガウス、ニュートン、ラマヌジャン、ヒルベルト。ゲーデル、チューリングを入れるなら、と言及しました。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：これは答えるのが非常に難しい問題だと思います。個人的には、数学者を偉大さでランク付けするこのような考え方はしていません。

レックス・フリードマン：テイラー・スウィフトのポスターを寮の部屋に持っているような人がいますが、あなたは持っていない。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：誰かを選ぶことを強制されたら、おそらくアルキメデスでしょう。なぜなら彼はそのような初期の時代に信じられない業績を成し遂げ、その時代の他の人々の仕事を完全に超越したからです。

しかし私は、数学を学び、それを提供できる誰からでも、どこで見つけても数学的洞察を得たいという見方も持っています。これは常に偉大な人からだけ来るわけではありません。

時々偉大な人は最初であり、最良ではないことをしています。誰か他の人が簡単に最初になれたかもしれません。だから戻って業績を見ると、一種の運の側面があります。なぜなら数学の進歩の問題のために、つまり私たちは本当に今では以前よりはるかに物事をよく理解しています。

戻って成し遂げられた業績を見ると、「誰か他の人もその洞察を持つことができたかもしれない」と想像できるかもしれません。彼らはおそらくそうしたでしょう。異なる数学者が本質的に類似した結果をほぼ同じ時期に証明することはすでに知られた現象です。しかし、最初にやった人が功績を得ています。

レックス・フリードマン：それをどう解釈しますか？なぜなら数学者がそうすることを時々見ます。物理学や科学でもこれが当てはまり、完全に別々に、おそらく非常に近い時期に発見がなされます。それは何を意味しますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：比較的一般的です。ある種のアイデアが空中にあり、考えられているが完全には明確化されていない、というのが知識の成長の性質だと思います。

レックス・フリードマン：アイデアがどこから来るか理解していますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：本当にはわかりません。

レックス・フリードマン：あなた自身のプロセスは何ですか？問題について考えるとき？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、それも難しい問題です。私の数学のスタイル、数学者としての私のスタイルは、難しい数学が本当に好きではないということだと思います。

私が愛するのは、驚くべき結果を証明する単純で明確で理解しやすい議論です。それが私の好きな状況です。実際、それが新しい結果かどうかは私にとってはどうでもいいことです。

だからそれは偉大さについてのこの問題と関係があります。最初にやった人は誰でも。なぜなら例えば、悪い議論や複雑な議論で新しい結果を証明したら、それは素晴らしいです。なぜなら新しいことを証明したからです。しかし私はまだ美しい単純なものを見たいです。なぜならそれが私が理解できるものだからです。

また、私はどんな複雑な議論にも一種自然に懐疑的です。なぜなら間違っているかもしれないからです。そして本当にすべてのステップを一度に頭の中で完全に理解できなければ、間違っているかもしれないと心配します。

だからこれらの異なるスタイル、時々数学者は膨大な数の動く部分と異なる技術が一緒になるこれらの巨大な研究プロジェクトに関与します。数学的技術であり、物理的技術ではありません。

レックス・フリードマン：そして時々それは今やますますLeanプログラミング言語のようなものを含み、一部が自動化されるので、この巨大な…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、ええ、わかります。それは別の問題です。なぜなら、Leanによって検証されるとき、それらのものは懐疑心をあまり受けないかもしれません。しかし私は議論が非常に複雑で、だから正しいかどうか心配する場合について考えています。一方、単純なものが好きです。

だから他の人が取り組んでいることから少し外れた道のものに取り組むことが多かったと思います。

レックス・フリードマン：あなたの好奇心はシンプルさに向かいます。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ。理解できるもの、面白いものに取り組みたいです。幸運にも、他の人が気に入るような貢献をこのスタイルでできることがわかりました。だからその点で一種幸運でした。

しかし私のプロセスは常に、これは常に学生に勧めていますが、一種の遊び心のある好奇心です。アイデアやトピックがあるときはいつでも、それで遊び回ります。小さなことを変えたり、基本的なケースを理解してからより複雑にしたり、この側面で少し押したり、関連する私の好きな例にアイデアを適用したり、何が起こるか見たりします。

アイデアで遊び回るだけで、それがしばしば洞察につながり、より多くの方法やより多くにつながり、かなりすぐに問題で進歩しています。これが基本的に私の方法です。何か面白いものへの道が見えるまでアイデアでいじくり回します。そしてそれを証明し、それは私にとって非常にうまくいきました。その方法にかなり満足しています。

レックス・フリードマン：擬人化する思考実験が好きですか？言及されたように？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、ええ。これは基本的なツールです。常に使っています。集合論のモデル、ZFCのモデルを住んでいる場所のように想像し、強制によって遠い国に旅行するかもしれません。これは起こっていることのある種のメタファーです。

もちろん、実際の議論はそのようなものではまったくありません。なぜなら土地もなく、旅行していないし…

レックス・フリードマン：しかし心にそのようなことを視覚化させます。自然の現実世界で。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そしてそれは理解に役立ちます。特に議論の部分が互いに緊張しているとき、人々が戦っているか何かを想像できます。そのようなメタファー、またはゲーム理論的に勝とうとする2人のプレイヤーとして想像することができます。それは一種の緊張です。

そのような数学的問題を理解するメタファー的な方法は、「ああ、敵はこれをこのようにすることを選ぶだろう。なぜなら、より連続的にするか何かだから、そしてそれを相殺するためにこの他のことをすべきだ」と気づくのに非常に役立つことが多いです。

証明したい定理を見つけ証明するための数学的戦略を気づかせてくれます。その擬人化から出てくるアイデアのため。

レックス・フリードマン：アンドリュー・ワイルズのような人についてどう思いますか？彼は数学の歴史上最も難しい問題の1つに7年間粘り強く取り組みました。テレンス・タオのような、同様に素晴らしい人と少し対比するかもしれません。彼は基本的に壁にぶつかったら別の問題に切り替えて、また戻ってくるなどと言っています。

だからそこに到達する保証なしに何年も集中して粘り強く取り組むことが少ないです。アンドリュー・ワイルズが経験したこと。グリゴリー・ペレルマンも同じことをしたかもしれません。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ワイルズは驚くべき定理を証明しました。フェルマーの最終定理の結果は信じられないものです。しかしこれは孤立して作業するという私自身の実践とはまったく異なるスタイルです。

私にとって、数学はしばしば一種の社会的活動です。共著者、さまざまな論文での共著者が100人近くいます。誰かが私と話したいアイデアを持っていれば、興味があれば彼らと協力したいと思い、問題を解いて共同論文を持つかもしれません。

共同論文を持ちたいですか？やりましょう。

レックス・フリードマン：ええ、まさに。やりましょう。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：だから数学的進歩を遂げるための私のアプローチは、自分だけで作業するよりもむしろ他の人と多く一緒に作業する傾向があり、その側面をとても楽しんでいます。

私は個人的にワイルズがしたことを決してできないでしょう。おそらく見逃しています。寝室に閉じこもって何かに取り組んだら、解くかもしれません。しかし私の傾向は、MathOverflowにとても多く参加していて、MathOverflowの会話のやり取りから多くのアイデアと多くの論文が生まれたと思います。

誰かが質問を投稿し、私がその一部に答えを投稿し、誰か他の人がアイデアを持ってそれが完全な解決策になり、3者論文になりました。それは何度も起こりました。だから私にとって、この種の社会的側面を楽しんでいます。

そして社会的な部分だけではありません。むしろ、私が見ているように数学的調査の性質であり、数学的アイデアを他の人に提示し、彼らが学ぶのを助け、私が学ぶのを助ける方法で応答し、それは数学を行う非常に生産的な方法だと思います。

レックス・フリードマン：数学でソロで作業するとき、私の部外者の観点からは、恐ろしいほど孤独に見えます。特に単一の問題に固執するなら、特にその問題が過去に多くの素晴らしい数学者を壊してきたなら、本当にすべてのチップを賭けています。

その苦しみ、毎日のジェットコースター。希望のある突破口、ミニブレイクスルーの瞬間があり、それから時々いいえ、それは突破口ではなかったという認識に対処しなければならない、その失望があると想像します。

毎週、おそらく毎日壁にぶつかり、ブレインストーミングする他の人がおらず、追求する他の道がないという失望があります。わかりません。それを乗り越えるのに必要な精神的な強さは。

しかし誰もが違います。一部の人は隠遁者で、そのような孤独な粘り強さの中に慰めを見つけます。ペレルマンについて聞かなければなりません。フィールズ賞とミレニアム賞を辞退したことで有名です。

彼は述べました、「私はお金や名声に興味がありません。証明が正しければ、他の認識は必要ありません。」彼が賞を辞退したことについてどう思いますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私が思うのは、数学にはたくさんの異なる種類の人がいるということです。私の態度は、関係ありません。おそらく良い数学のアイデアを持っていて、だから彼らと話し、交流したいのです。

ペレルマンのケースは、彼はそのような素晴らしい頭脳であり、この非常に有名で困難な問題を解いた、そしてそれは巨大な業績だというインスタンスかもしれません。しかし彼は賞などについてのこれらの見方も持っていて、彼がなぜそれを辞退したのか本当に完全には理解していません。

レックス・フリードマン：オリンピック選手を観察して同じようなことを思います。多くの場合、彼らはあまり給料をもらっていませんが、それでも金メダルを追求するために全人生を捧げます。彼のケースは、最も偉大な数学者、最も偉大な科学者と人間の一部が、賞やお金やそのようなもののためではなく、それ自体への愛のために自分がすることをするということを思い出させるものだと思います。

今、あなたが言っているように、お金が来れば使えます。賞、名声などが来れば役立つかもしれません。しかし偉大な人が基本的にそれをする理由は芸術そのもののためです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：もちろん、完全に同意します。その見方を共有しています。私が数学者であるのは、問題が非常に説得力があると感じ、これらの問題について考えて全人生を費やしてきたからです。

しかし、賞を受賞したら…

レックス・フリードマン：ええ、素晴らしいです。素晴らしいです。あなたは富と権力のためにMathOverflowに貢献しているわけではないと確信しています。得られる。それは本物の好奇心です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：さて、史上最高の数学者は誰かと尋ねました。もちろん、本当に客観的になりたければ、一種の客観的基準が必要です。さまざまな数学者の相対的な強さと評判を評価するため。

もちろん、MathOverflowスコアを使うべきです。なぜなら…

レックス・フリードマン：あなたが決定的にそうです。つまり、誰も客観的に史上最高の数学者ではありません。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、その通りです。テニュアと昇進の決定もそれに基づくべきだと主張したこともあります。

レックス・フリードマン：MathOverflowに基づいて。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ。娘がボーイフレンドを紹介してくれて、ボーイフレンドがいると教えてくれました。私は…

レックス・フリードマン：彼のMathOverflowを聞きました…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：彼のチェスレーティングは何か、第二にMathOverflowスコアは何か知りたかったです。

レックス・フリードマン：ああ、それが人を判断する唯一の方法だと思います。客観的に正しいと思います。

ええ。チェスを持ち出したので、無限チェスについて聞かなければなりません。あなたは何百万ものことに取り組んできましたが、無限チェスはその1つです。MathOverflowで誰かがチェスの数学的定義について尋ねました。

レックス・フリードマン：チェスの数学と無限チェスの数学について話していただけますか？

無限チェス

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ああ、ええ、絶対に。無限チェスは素晴らしいです。チェスは通常この小さな小さなボードでプレイされます。8×8のボードです。通常のチェスをプレイするとき、8×8のボードです。しかし無限チェスをプレイしたいので、整数ボードでです。すべての四方向に無限ですが、チェスボードのパターンがあり、このボード上に駒があるかもしれません。無限に多くの駒を許可します。

しかし通常の有限チェスとの違いの1つは、無限チェスでは標準的な開始位置からプレイしません。むしろ、興味深い状況は、すでに複雑な方法でボード上にたくさんの駒がある位置を提示し、「この位置またはあの位置から始めたらどうなるか？」と言うことです。

興味深い特徴、つまり数学的に興味深い特徴を持つ位置を生成したいのです。だから例えば、おそらく多くの人がチェス問題の「2手詰め」のジャンルに馴染みがあるでしょう。チェス問題があり、白が2手で詰める。白が2手を指しますが、2手目がチェックメイトになります。あるいは3手詰め、5手詰め、何でも。

任意のNに対してN手詰めの位置を持つことができます。無限チェスでは、任意のNに対してN手詰めではないが、白が無限に多い手数で勝つ勝利戦略を持つ位置を作ることができます。

もう一度言います。無限チェスには白が確実に勝てる位置があります。無限に多くの手で、白はチェックメイトを達成します。しかし白がN手で勝つことを保証できる特定のNはありません。

レックス・フリードマン：Nがない？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：Nがありません。任意のNに対してN手詰めではありませんが、無限に多い白の勝ちです。考え方は、白が勝つが、黒がどれだけ時間がかかるかをコントロールします。しかし運命づけられています。黒は「勝つだろうけど、今回は少なくとも1000手かかる」と言えます。あるいは別のプレイ方法で、黒は「勝つだろうけど、今回は百万手かかる」と言えます。

任意の数に対して、黒はそう言えます。だから本当に興味深い位置です。私の最初の無限チェス論文に位置があります。この位置で黒が指す番で、黒がそこのルークを動かさなければ、白はかなり早くチェックメイトします。

レックス・フリードマン：ところで、無限チェスのルールを説明していただけますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい。無限チェスのルールは、普通の駒があり、それらがこの無限のボード上で動き、チェスボードですが、すべての方向に無限に拡張され、端がありません。境界がありません。

しかし駒は期待どおりに動きます。ナイトは同じように動き、ルークはランクとファイルで動き、ビショップは同じ色の対角線上を動きます。期待どおりですが、途中に邪魔な駒がなければ好きなだけ遠くまで動けます。

1つは、白のポーンは常に上に動き、黒のポーンは常に下に動きますが、取るときはポーンは対角線で取ります。駒の動きはかなり明確だと思います。

通常のチェスとのいくつかの違いに注意を払う必要があります。例えば、通常のチェスには3回繰り返しルールがありますが、無限チェスではこれを取り除きます。なぜなら、もちろん3回繰り返しは無限プレイの代わりに過ぎないからです。

本当のルールは3回繰り返しは引き分けではなく、無限プレイが引き分けです。それは実際のルールに対する便利な近似に過ぎません。私が見るところ、それは無限プレイが引き分けであるということです。

勝つ唯一の方法は有限の段階のプレイでチェックメイトを達成することです。無限にプレイしたら、それをしていないので引き分けです。

レックス・フリードマン：そしてポーンは変換できません…

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そして昇格はありません。端がないからです。まさに。そして私たちが話していたこの位置はゲーム値オメガを持つ位置です。つまり順序数の値を持つので、白が勝ちますが、黒はオメガからカウントダウンするようにプレイできます。

オメガからカウントダウンすることの性質は何でしょうか？黒でオメガからカウントダウンする必要があるなら、有限の数を言わなければなりません。そしてその後、それ以降カウントダウンする数は多くてもそれだけです。

オメガからカウントダウンする性質は、最初のカウントで巨大なステップを取り、その後は毎回1を引くことです。オメガから1を引くことはできません。なぜなら順序数ではないからです。

オメガからカウントダウンするなら、何か有限の数に行かなければならず、毎回1を引くだけなら、それがあと何手かです。だから黒は好きなだけ長くできるという意味です。なぜなら最初の数を好きなように選べるからです。

レックス・フリードマン：ところで、arXiv論文でMathOverflowの質問を引用していることに気づきました。それはかなりクールです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：そうです、ええ。無限チェスへの関心はMathOverflowで生まれました。誰かがこの質問をしたからです。

レックス・フリードマン：ノーム・エルキースがこの質問をしました。arXiv論文でMathOverflowの引用を見るのはとてもクールです。素晴らしい。

これを満たす位置をどうやって構成しますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：いいえ。これは数学的創造性の行為であり、考え出すために…共著者がいて、コーリー・エヴァンス。彼は米国のナショナルマスターのチェスプレイヤーです。非常に強いチェスプレイヤーです。法の哲学の教授でもあります。

レックス・フリードマン：あなたのコラボレーションは素晴らしいです。素晴らしい。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：当時ニューヨークで私がいたCUNYの大学院生だったので出会いました。また、息子がチェスを小学校で競技的にプレイしていたときの息子のチェスコーチでもありました。コーリーがコーチでした。だから彼をそのように知っていました。

それは私が無限チェスに興味を持ち始めた頃で、チェスに詳しいパートナーが必要だとわかっていました。コーリーは論文にとって非常に貴重でした。なぜなら無限チェスの証明は非常に細かいからです。

これらの位置を作りますが、議論の詳細はチェス推論の一種に関係しています。私のチェス推論は十分ではありませんでした。なぜなら位置を作りましたが、これは何世代もの後で、コーリーに修正されたからです。コーリーが来て「このポーンがハンギングで、議論を壊す」とか「このビショップが檻から漏れ出せる」とか言うからです。

だからプロセスは、私は順序数に関して位置で何を作る必要があるか一種知っていて、それをやろうと奮闘し、私が望む特徴を一種持つ何かを作り、それからコーリーに見せると彼は「これとあれのため機能しない」などと言いました。

この種のやり取りは私にとって非常に役立ち、最終的に正しい議論に収束しました。かなり興味深いです。

また、おそらく言うべきもう1つのことは、この論文のフォローアップ論文はコーリーと私と博士課程の学生ノーマン・パールムッターとの3者論文で、限界を改善しました。ますます高い順序数値を持つチェス位置を生成しようとしていました。

最初の位置は値オメガで、最初の論文でオメガの2乗とオメガの3乗を作り、この3者コラボレーションでオメガの4乗を作りました。

レックス・フリードマン：論文のタイトル：ゲーム値オメガの4乗を持つ無限チェスの位置。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：はい。当時これは最もよく知られた結果、ある種最先端でしたが、その時以来劇的に改善されています。実際、今ではすべての可算順序数が無限チェスの位置のゲーム値として生じることがわかっています。素晴らしい結果です。

AIと数学

レックス・フリードマン：忘れる前に、数学でどんどん良くなっているAIとLLMについてのあなたの見解を聞かせてください。共同作業者について話しましたが、多くの共同作業者がいます。AIは数学者としてのあなたにとって潜在的に素晴らしい共同作業者になると思いますか？そしてその種のAIシステムの将来の役割は何だと思いますか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：現在持っているものと将来の年に来るかもしれないものとの区別を引くと思います。私は遊んでみて実験を試みましたが、基本的にまったく役に立たないことがわかりました。本質的にゼロです。

さまざまなシステムなどを使いました。有料モデルなど。数学的質問でAIと対話する私の典型的な経験は、数学的に正しくないゴミのような答えを与えるということです。だから役に立たず、またフラストレーションを感じます。

人と対話していたら、フラストレーションを感じることは、彼らがあなたに与えた議論が正しいかどうかについて議論しなければならないとき、そしてあなたがエラーを正確に指摘し、AIは「ああ、まったく問題ありません」と言うときです。人とそのような経験をしていたら、その人とは二度と話すことを単純に拒否するでしょう。

しかしそのような欠陥を見過ごす必要があります。だから数学的推論に関する限り、現在のAIシステムの価値については一種懐疑的になる傾向があります。信頼できないようです。

しかし私が非常に尊敬している何人かの著名な数学者がそれを役に立つ方法で使っていると言っていることを事実として知っています。自分の経験がまったく反対なので、それを聞いて非常に驚くことが多いです。

だからおそらく私のプロセスは良くないのかもしれませんが、プログラミングや画像生成など他のことには使います。驚くほど強力で役立ちます。しかし数学的議論には役立たないと思いました。おそらく正しい方法で対話していないのかもしれません。

また、私はおそらくスキルを向上させる必要があります。しかしまた別の理由で懐疑的です。それは数学をするAIへの大規模言語モデルアプローチの性質のためです。AIが証明である議論ではなく、証明のように聞こえる議論を与えようとしていることを認識しています。動機がずれています。

だからこれは非常に危険なエラーの源だと心配しています。なぜなら数学でしばしば起こることは、例えばカルテックの学部生だった頃を思い返すと、最終的に数学専攻になり、当時LaTeXはかなり新しいもので、LaTeXを学んでいたので、宿題をLaTeXでタイプしていて、美しく見えました。

実際、今の基準からするとゴミのように見えたはずです。ひどかったに違いありません。当時は何も知りませんでした。学部生で、LaTeXは前代未聞でした。だから美しくタイプセットされた、問題セット、解答などを生成していました。

印刷して提出するなどして、成績が戻ってきて、ひどい成績でした。何が起こっているか気づきました。数学的にタイプセットされたコピーはとても美しかったのです。本で見つける種類の数学のように見えました。なぜなら基本的にその種の数学的タイプセットを見るのは専門的に出版された本だけだったからです。

そしてその本の数学はほとんど常に正しかったです。だから私はどうにか批判的でなくなり、証明でこれらのばかげた間違いをしていました。とても美しく、そのタイプセットを見慣れているのは議論が完全に正しいときだけだったので、十分に批判的ではなく、証明でこれらのばかげた間違いをしていました。

だからもちろん、これを修正しました。しかしこの種の効果は現代のLLMシステムで非常に現実的です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：だからチャットプログラムなどがこれらの議論を生成していて、それらは本当に見えます…それらは目指していることであり、設計されていることです。論理的に正しい議論を作るように設計されていません。論理的に正しい議論のように見えるものを作るように設計されています。

懐疑的でなければ騙されやすいです。だから人々が数学的議論にAIに頼るとき少し心配します。形式的証明検証システムなどでLeanと結びつけることは、まったく異なる運用方法です。

しかし座ってチャットを使って数学的議論を考え出す普通の人にとって、特にこのまさにその問題に敏感でなければ危険なエラーの源だと思います。

AIは数学的理解に基づいた何かではなく、むしろそれらの概念についての議論でページに言葉が現れる方法に基づいた、数学的理解に基づいたように見えるものを生成しようとしています。それらは同じことではまったくありません。

さらに、使用されている方法は、基礎となる数学的概念の理解に十分に基づいていないようですが、むしろそれらの概念についての議論でページに言葉が現れる方法に基づいています。同じではありません。

レックス・フリードマン：そこでいくつか言うべきことがあります。1つは、LLMシステムに良い共同作業者であるために十分な情報を提供することに本当のスキルがあると思います。本当に異なるものを扱っています。人間ではありません。

あなたの仕事の一部から、考え方から、本当に構造化された方法でできる限りのことをロードする必要があります。それは本当のスキルです。もう1つは、少なくとも私にとってプログラミングのようなものであれば、プログラミングで同様に感じる多くの同僚や友人がいるからです。

そして私にとって、できるだけ多くの情報を本当に構造化された方法でシステムに与えることがどんどん上手になりました。おそらく思考を表現する方法として自然言語が好きだからです。

そして利点は、多くのことを知り、異なる分野間、異なる概念間のつながりを作る能力によってシステムが提供できるインスピレーションから来ます。そしてその方法で、答えではなくインスピレーション、手を取り合うこと、答えにたどり着くのを助ける仲間意識を提供します。なぜなら私より多くのことを知っているからです。知っている、つまり知識です。

多くの情報を与えてより広い質問をすれば、いくつかの本当に美しいつながりを作ることができます。しかし、あなたが言ったように非常に忍耐強くなければならないことがわかります。「まったく理解していないんだね」と感じるばかげたことをする回数は、私たち人間にとって多くのフラストレーションの源です。

「この…待って、このことはまったく理解していない。」その忍耐力を持ってそれを見過ごすことができれば、提供できる素晴らしい小さな洞察があるかもしれません。少なくとも私にとってプログラミングの領域では。プログラミングには非常に多くのトレーニングデータがあると言うべきです。そこには非常に多くがあります。

少なくとも私は、それが良い共同作業者であることの有望な可能性のトンネルの終わりの光を見ています。本当に天才レベルの洞察を与えるものとは対照的に。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：おそらくそうです。また、数学のトレーニングデータに関する限り、MathOverflowの回答がトレーニングデータの一部だと仮定しなければなりません。

レックス・フリードマン：もちろんです。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：とても…

レックス・フリードマン：だから本質的に自分自身と話しています。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ええ、たぶん。

レックス・フリードマン：ばかげた大きな質問で申し訳ありませんが、数学であなたにとって最も美しいアイデアは何ですか？多くのことについて話しました。

超限順序数

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：数学で最も美しいアイデアは超限順序数です。これらはゲオルク・カントールによって発明された、無限を超えて数えることについての数系です。無限を超えて数えるというアイデアです。

普通の数、自然数を数えます：0、1、2、3、などです。しかし終わりではありません。なぜならその後にオメガが来て、オメガプラス1、オメガプラス2、などが来るからです。常に1を足すことができます。

それらのオメガプラスNの形のすべての数を数えた後、オメガプラスオメガ、それらすべての数の後に来る最初の数に到達します。そしてオメガプラスオメガプラス1などが来ます。常に1を足すことができます。

最終的にオメガ掛ける3、オメガ掛ける4などに到達します。そしてそれらの数の極限、それらすべての数の後に来る最初の数はオメガの2乗になります。これは最初の複合極限順序数です。極限順序数であり、オメガやオメガ掛ける2、オメガ掛ける3のような直接の先行者を持たない数の1つだからです。それらはすべてオメガの2乗に極限する極限順序数です。

そしてもちろん、オメガの2乗プラス1を形成し、オメガの2乗プラス2などを形成し、決して止まりません。絶対に美しく驚くべきことであり、さらに後に来た超限再帰的構成の基礎を形成します。

私が言及したカントール＝ベンディクソンの定理から始まります。そして構成可能宇宙のV階層とゲーデルの構成可能宇宙はこのように構築され、選択公理を使った整列可能定理のツェルメロの証明は超限再帰的構成です。

無限を超えて数えるというアイデアはとてもシンプルでエレガントで、非常に魅力的な数学につながりました。

レックス・フリードマン：ええ、無限は終わりではありません。哲学についてはどうですか？あなたにとって哲学で最も美しいアイデアは何ですか？

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：私は哲学と数学の両方の分野に足を踏み入れており、一部の文脈では数学者か哲学者かを選ぶ必要があるようです。私のトレーニングは数学です。学位はすべて数学です。

しかしどうにか何年もかけて自分を哲学者に変えました。数学的な仕事がこれらの哲学的問題と関わっていたからです。ニューヨークに行ったとき、最初は数学のみの任命でしたが、最終的に大学院センターの哲学部にも参加しました。

オックスフォードに初めて行ったとき、主な任命は哲学でした。ノートルダムでも今そうですが、数学の同時教授でもあります。まだ数学の博士課程学生もいて、哲学の博士課程学生もいます。

だから私が数学者か哲学者かを決める必要は本当にありません。私の仕事は数学と数学における哲学的問題と純粋な哲学に関わっており、これら2つの主題の間にこの豊かな領域があります。だから選ぶ必要はありません。

オックスフォードに初めて行ったとき、オックスフォードで哲学の教授になると娘に言った記憶があります。彼女は心配そうに私を見て「でもパパ、パパは哲学者じゃないでしょ」と言いました。彼女の心では、父親は数学者で母親は哲学者だったからです。妻のバーバラは哲学者です。今もノートルダムにいます。一緒にいます。

しかし幸運にも、本当にどちらかを選ぶ必要はありません。哲学で最も美しいアイデアについて尋ねますが、すでに議論した真理と証明の区別だと言わなければなりません。

非常に深遠で、多くの哲学的問題の核心に至ります。もちろんこれは数学または数理論理学で生まれた区別ですが、それはすでにある程度哲学的であり、根本的に哲学的な区別です。

真理は世界の本質とものの在り方についてです。客観的現実についてある意味で。一方、証明は世界についての私たちの理解と、世界について知っていることをどのように知るようになるかについてです。

だから証明に焦点を当てることは、客観的現実との相互作用に焦点を当てることです。そして、私は数学的現実について話していて物理的世界ではありません。なぜならプラトン的領域に住んでいて数学的現実と相互作用するからです。

証明は相互作用について、この数学的現実で真である事実をどのように知るようになるかについてです。一方、真理は私たちのそれについての知識とは別に本当はどうなのかについてです。これは世界と論理と推論の本質を理解する核心的な方法だと思います。

レックス・フリードマン：そして2つの間のギャップは魅力的な謎に満ちています。プラトン的領域でも、物理学の領域でも、人間心理学、社会学、政治、地政学、すべてにおいても。より広く証明について考えるなら、それは発見のプロセスであり、真理自体とは対照的です。

それがどの分野にいても私たちの旅です。私としては、あなたがどれほど素晴らしい哲学者、数学者、そして人間であるかに感謝しています。今日お話しできて本当に光栄です。

ジョエル・デイヴィッド・ハムキンス：ありがとうございます。ここにいることができてとても嬉しいです。招待していただきありがとうございます。

レックス・フリードマン：ジョエル・デイヴィッド・ハムキンスとの対談をお聴きいただきありがとうございました。このポッドキャストをサポートするには、説明欄でスポンサーをチェックしてください。そこには私への連絡方法、質問、フィードバックなども載っています。お聴きいただきありがとうございます。いつものように、新年あけましておめでとうございます。皆さんを愛しています。