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2年前、アインシュタイン・タイルが国際的な見出しを飾りました。これは表面を隙間なく覆うことができ、かつパターンが決して繰り返さない最初の形状です。ついに、あなたの無限の浴室をタイル張りする楽しい方法が見つかりました。さらに驚くべきことに、化学者のグループが現実世界でアインシュタイン・タイルを発見しました。まあ、ある意味では。詳しく見ていきましょう。
数学者、芸術家、そして科学者たちは何千年もの間、「タイリング」または「テセレーション」と呼ばれる、隙間なく平面を埋める模様に魅了されてきました。平面上でこれを実現できる正多角形は3つあります。三角形、正方形、そして六角形です。そして他にもたくさんの多角形の組み合わせが機能します。
しかしこれらのパターンには共通点があります。それらは繰り返すのです。これらは「周期的タイリング」と呼ばれています。
しかし繰り返さないタイリングもあります。決して繰り返さないのです。その中で最も単純なものはペンローズ・タイリングで、1970年代にロジャー・ペンローズが発見したものにちなんで名付けられました。それとも彼はそれを発明したのでしょうか？その議論には立ち入らないようにしましょう。
数学の本質がどうであれ、1982年に化学者のダン・シェヒトマンが「準結晶」を発見し、自然界でペンローズ・タイリングを実現しました。シェヒトマンの発見は当初、準結晶は存在し得ないと考えられていたため、大きな懐疑論に迎えられました。しかし彼は正しかったのです。それらは実在するのです！そしてそれだけでなく、準結晶には耐久性のある表面保護、非粘着コーティング、断熱材など、非常に有用であることが判明した多くの特性があります。2011年、シェヒトマンはこの功績により化学のノーベル賞を受賞しました。
アインシュタイン・タイルは2023年にコンピュータ科学者のデビッド・スミスによって発見、あるいは発明されました。この名前は、アインシュタインのドイツ語の意味である「一つの石」に由来する言葉遊びです。これは最初の非周期的「モノタイル」であり、この一つのタイルだけで平面全体を、決して繰り返すことなく埋めることができます。
これが可能かどうかという問題は60年以上も数学者たちを悩ませてきましたが、今ではアインシュタイン・タイルのパズルを購入することができます。
ただし、アインシュタイン・タイルが機能するためには、タイルを時には裏返さなければなりません。これがどのように機能するかざっくりと理解するには、非常に役立つこのカラー画像を見てください。タイルがどのようにしてより大きな三角形の形状に集まるか見てください。これらのより大きな形状は完全には合いません。それらを合わせるためには、常にずらして、その間のスペースを埋める必要があります。これがパターンが繰り返さない理由です。
アインシュタイン・タイルの発表からわずか1か月後、スミスのグループは別の論文を発表し、裏返す必要のない別の形状が平面を非周期的にタイル張りできる可能性があることを示しました。
準結晶としての自然な形でペンローズ・タイリングがどれほど有用であることが判明したかを考えると、モノタイルも実世界に現れないかと問うのは当然です。そしてこれが今、実現しました。
スイスの研究者グループは、分子が自発的に集合して非周期的な表面カバーを形成し、アインシュタイン・タイルに非常によく似た形になることを報告したばかりです。分子自体がアインシュタイン・タイルのように見えるわけではなく、同様の振る舞いをするのです。
これはかなり大きな分子で、中央に星型の炭化水素があり、3つの分子スパイラルアームがあります。これらのアームは2つの方向にスパイラル状になることができます。つまり、これはキラル分子です。アインシュタイン・タイルのように2つの「側面」があるわけではなく、これらのスパイラルの向きによって2つの異なるバージョンがあります。科学者たちは、銀の表面に堆積させると、分子が三角形のドメインに自己組織化することに気づきました。
しかし、分子の2つのキラリティの組み合わせは決して繰り返しません。それらはただ、ますます複雑なパターンを形成するだけです。その理由は、これらのスパイラルアームのキラリティがどの規則的な組み合わせにも良く合わないからです。代わりに、研究者たちが三角形のオフセットと呼ぶものを作り出します。これはアインシュタイン・タイルでの仕組みと非常によく似ています。
また、組み立てプロセスがランダム性によって駆動されるという点で、物理学の観点からも興味深いです。分子がしばらく動き回ることができる場合にのみ、この非周期的でありながら最適な配置を見つけます。ある意味では、分子の動きのエントロピーがこの複雑な秩序を生み出しています。
一方では、エントロピー、秩序、複雑性の魅力的な組み合わせであり、もう一方では物理学、数学、化学の連携です。2年前にアインシュタイン・タイルが話題にならなければ、彼らは自分たちが見ているものに気づいていただろうかと思います。
ただし、注意点を付け加えたいと思います。彼らは実際にパターンが決して繰り返さないことを証明していません。無限の平面を合成できるわけではありませんからね。しかし、アインシュタイン・タイルの特性に非常によく似ています。
そして準結晶が材料設計にとって非常に有用になる可能性があるように、この化学的な「モノタイル」は新しい電子的、光学的、あるいは機械的特性を持つ可能性があります。おそらく、これについても別のノーベル賞が授与されるかもしれません。どの航空会社が隙間なく飛行機を埋める方法を知りたくないでしょうか？
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