光がなぜ存在するのかという根本的な問いに対し、物理学者たちは「ゲージ対称性」という概念を通じて驚くほど明快な答えを持っている。電子のような電荷を持つ粒子が存在するとき、その量子的な「位相」という性質に任意性が生じる。この任意性を物理的な観測量が依存しないようにするには、位相を補正する追加の場が必要となり、その場こそが電磁場——つまり光——の正体であることが導かれる。本動画では、最小限の数学を用いながら、電荷と光の間に潜む深い繋がりをわかりやすく解説する。
なぜ光は存在するのか？
なぜ光は存在するのか？この問いに対して、物理学者たちはちゃんとした答えを持っています。私はいつも、物理学者が説明できないことについてあれこれ文句を言ってばかりいるので、彼らがいくつかの問いを実際に解明できていることがどれほど驚くべきことかを、すっかり伝え忘れていました。
光が存在するのは、電荷が存在するからです。この二つの間のつながりは、過去100年の物理学の中で生まれた直観の中で、おそらく最も過小評価されているものでしょう。これを「ゲージ対称性」と呼びます。今日は、できるだけ数学を使わずにその仕組みを説明してみたいと思います。人生には目標が必要ですからね。
電子の波と「位相」
光がどこから来るのかを理解するには、まず電子の話をしなければなりません。電子は粒子ですが、量子的な粒子です。つまり、波でもあります。ということは、波長と振幅があり、それが上下に変化します。ところが、波には波長と振幅だけでなく、「位相」と呼ばれるものもあります。位相とは、波のどの部分が空間のどの点に対応しているかを示すものです。
たとえば、この場合は最小値が x = 0 の位置にあると言えるかもしれません。あるいは、最小値が x = 1 にあると言うこともできます。この二つは同じ振幅を持つ同じ波ですが、位相がずれています。数学的には、位相のずれとは、サイン関数やコサイン関数の引数に定数を加えるだけのことです。
これらの位相について重要なのは、それが「相対的なもの」だということです。位相の差は測定できますが、絶対的な値は測定できません。絶対値には意味がないのです。慣習として「この位置のこの瞬間に位相をゼロとする」と決めることで解決しますが、これは数学的に便利なだけであって、物理的には意味がありません。
ゲージ対称性の発想——アインシュタインとの共通点
ここで考えてみてください。量子粒子の絶対的な位相が単なる慣習であり、物理に影響しないはずだという考え方は、「絶対速度は測定できないから意味がない」というアインシュタインの直観とよく似ています。そして、それはアインシュタインにとってうまくいきましたよね？ゲージ対称性も、まったく同じ発想に基づいています。
任意の慣習が物理に影響しないようにする、ということです。難しいのは、相対的な位相は測定できるという点です。つまり、絶対的な位相には物理的な意味がなく、単なる慣習であり、好きに選んでかまいません。しかしその選択が、測定可能な相対的な位相に影響してしまってはいけません。
正直なところ、ここまでは至って当たり前の話に聞こえます。絶対的な位相は自分で選べて、相対的な位相は測定できる。それで何が問題なのか、と思うかもしれません。
ゲージの問題——任意の選択が物理を左右してしまう
問題は、電子が存在するとなると、この話が電子の動き方を規定してしまう点にあります。これを理解するために、空間全体が電子で満たされていて、電子が動けると想像してみてください——物理は何も動けなければかなり退屈になってしまいますからね。
二点にある電子の位相を比べるとします。一点に電子を置き、別の一点にも置きます。それらを並べて比較すれば、位相の差が読み取れます。両方の点で絶対的な位相を同じように動かしてから比較しても、結果は同じです。つまり、絶対的な位相の選び方には何も依存しない——ここまでは問題ありません。
しかし、位相はどんな値でもいいと言いました。慣習ですから。ということは、ある点では別の位相を、別の点では違う位相を選べるはずです。そうすると、二つを並べて比較したとき、その結果が自分の任意の選択に依存してしまいます。これはまずいことです。なぜなら、測定できるはずの相対的な位相が、両方の点での自分の任意の選択に左右されてしまうからです。
物理学者はこの任意の選択を「ゲージ」と呼びます。そのゲージは物理に影響してはいけません。なぜなら、あなたが私と違うゲージを選んだら、二人は何も合意できなくなってしまうからです。ドイツ人とアメリカ人で丁寧さの基準が違うようなものです。
ゲージ場の導入——問題を解決する仕組み
さて、ここで素粒子物理学を機能させてきた大きな直観が登場します。電子を一点から別の点へ動かすとき、位相をどのように調整するかを知っていなければならない、ということです。そのためにするのは、二点の間にある各点に情報を追加して、位相をどのようにずらすべきかを教えることです。こうすれば、任意の選択が影響しなくなります。その方法は、この中間的な情報もまた任意のゲージに依存するよう設定することです。そして電子とこの追加の情報を合わせると、任意性が消えます。
空間と時間のあらゆる点で値を持つものを、物理学者は「場」と呼びます。ですから、この追加する情報こそが「ゲージ場」と呼ばれるものです。
ゲージ、位相、場、動く電子……少し混乱してきたかもしれませんね。例を使って説明しましょう。
てんびんのアナロジー
古典的なてんびんを思い浮かべてみてください。両側の腕の長さが同じで、同じ重さがあれば、つり合います。ここで、重さを加えることが位相を任意の量だけ動かすことだと考えてください。両側に同じ重さを加えれば、何も変わりません。つまり、両方の点で同じように変えた場合、物理は不変のままです。
しかし、一方の側に多く重さを加えると、つり合いが崩れます。これが、ある点とは別の点で異なる位相を設定することに相当します——これがゲージです。そうなると物理がこの任意の選択に依存してしまう。まずいですね。
だから何をするかというと、重さを加えるたびに、てんびんの腕のサポートも調整するのです。これがゲージ場のすることです。両方を一緒に変えれば、常につり合いが保たれます——ゲージは関係なくなります。ゲージ対称性の仕組みとは、基本的にこういうことです。二つの変化を結びつけて、結果がキャンセルされるようにします。それをするのは、物理的に測定できる量が任意の慣習に依存してはいけないからです。
少し数学的に言うと、電子を一点から別の点へ動かすために必要なのは微分です。波があるとして、たとえば引数が空間と時間に依存するサインを考えます。ここに任意の位相を加えると——これがゲージです——微分を取ったときに余分な項が生まれます。この余分な項があるせいで、二点の電子を比較するときにゲージが影響してしまいます。そうなってはいけない。だから数学的には、微分をするたびに新しい項を加えて、その項がこのゲージによる余分な微分をちょうど打ち消すように変化する、と定めます。これがゲージ場です。
はい、今日の数学はこれだけです、本当に。では、これが何を意味するのか話しましょう。
ゲージ場とは、つまり「光」のこと
最初に浮かぶ疑問は、でも、これが光とどう関係するの？という点でしょう。光と関係があると言いましたよね、と。そうなんです。
ゲージ場を導入すると、それは独自の意志を持つようになります。電子の位相を正しく揃えるために存在しているのですが、電子が何もない場所でも何かをすることができます。特に、波紋のようなものが伝わることができます。そしてそれが光子——電磁場の量子——です。光はそこから成り立っています。
これもアインシュタインの理論によく似ています。質量の周りで空間が曲がりますが、質量がなくても空間は波紋のように振動することができます。アインシュタインの理論では、それが重力波です。電子の場合、それが電磁波です。
だから光が存在するのは、電荷が存在するからなのです。もう一つ学べることがあります。電子は電場なしには存在できない、ということです。これはすでに知っていたかもしれませんが、少し過小評価されている点だと思います。なぜなら、これは素粒子の標準模型の図にある「この電子」は実際には存在しないことを意味するからです。私たちはそれを見たことがありません。実際に観測している電子には、常に周囲に光子の雲が伴っています。
ゲージ対称性が支える物理学の全体像
このアイデアはゲージ対称性と呼ばれます。19世紀末のHermann Weylにさかのぼり、光だけを説明するものではありません。素粒子物理学の標準模型全体がこの上に成り立っています。物理は任意の慣習に依存してはならない、という原理です。
ゲージ対称性がアインシュタインの重力理論の根底にある考え方に非常によく似ているのは、偶然でしょうか？もしかしたら。しかし多くの物理学者は、両方が同じ起源——共通の「万物の理論」——を持っていることを意味するのではないかと考えています。もっとも、アインシュタインの一般相対性理論は素粒子物理学に似ている面もありますが、大きく異なる面もあります——でもそれはまた別の機会に話す話です。
電荷はなぜ存在するのか
というわけで、電荷があるから光があります。では、なぜ電荷があるのか？と聞きたくなるかもしれません。物理学者にはこれに対するもっともらしい説明がありません。統一理論や万物の理論でさまざまな試みはなされてきましたが、これまでのところうまくいったものはありません。
個人的には、電子が存在する理由は、それが想像できる中で最もシンプルな粒子だからだと思っています。数学全体の中で最もシンプルな対称性——ただの位相——から導かれます。実際、電子と光を得ることは比較的簡単な部分です。難しいのは、標準模型のその他すべての性質を説明することです。しかしどう見ても、ゲージ対称性は自然が働く仕組みです。そして、それこそが光が存在する理由です。
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