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こんにちは皆さん、今日は波がどのようにして粒子に変わるかをお見せしたいと思います。この動画は私がこれまで作った中で最も手の込んだものであり、そのため長めになっています。最も興味深い部分は実はこの動画の最後にあります。
もし時間があまりない場合は、少なくとも波を捕まえて粒子に変える部分だけでもチェックしてみることをお勧めします。残りの視聴者の方々には、これがどのように機能するかを真に理解するために必要な基本的な背景から説明していきます。まず、閉じ込められたエネルギーの慣性について説明します。続いて媒質における非線形弾性と真空が媒質であることの意味について説明します。
休憩後、真空が非線形的に振る舞い始める状況について簡単に説明します。その後、簡略化された2Dモデルを作成し、シミュレーションを行い、波が自らを閉じ込め、効果的に粒子に変わる状況を作り出します。では始めましょう。
まず、Manuel Golingという視聴者が指摘してくれた2000年の「光は重い」という論文について説明したいと思います。これはMartin van der MarkとGerard ‘t Hooftによる論文で、やや知名度の低い雑誌に掲載されたものです。しかしすぐに私の注目を集めました。私がフィリップス研究所にいた時にMartinを知っていただけでなく、彼の共著者は1999年のノーベル物理学賞受賞者のGerard ‘t Hooftだったからです。
当然、この論文の内容に興味を持ちました。これは光が粒子のような静止質量を持たなくても、慣性と重さを持つことができる理由を説明した素晴らしい論文です。それはエネルギーと運動量を表しているからです。そしてこの論文の視点は私がこの動画のために考えていた導入とよく合っていたので、光の慣性質量を説明するためにその筋書きを使うことにしました。Martin、Gerard、そして当然ながらManuelに大きな感謝を捧げます。
質量mを持つこの孤立した物質のブロックが宇宙の真空中で自由に浮いているとします。この物体を加速させて運動量を増やすためには、力を加える必要があります。これが物体が質量を持つ慣性的側面の本質です：同じ運動状態を維持しようとする持続性、あるいは言い換えれば外力の影響下での加速に対する抵抗です。
もちろん、より質量の大きい物体は加速に対してより高い抵抗を持ちます。この物体が例えば地球のような、かなり慣性の大きい別の物体の重力場に置かれた場合、二つの物体は互いに向かって加速し始めます。実際、両方の物体への重力の引力は等しく、方向は反対です。
しかし地球はその物体よりもはるかに重いため、その加速は比例して小さくなり、無視できます。今、これらの物体は両方とも加速していますが、現在どちらの物体にも外力は加えられていないことに注意してください。そして私たちがこれら2つの物体が互いに近づくのを止めるためにできることは、引力の方向と反対方向にいずれかまたは両方の物体に力を加えることです。
実際、これをロケットを使って行うか、テーブルで2つを分離するかは本当に重要ではありません。引力に対して反対方向の力で補償する限り、それらが近づくのを防ぐことができます。質量を持つ物体の観点から見ると、重力場での静止状態と自由空間での加速状態は完全に等価であり、これはアルバート・アインシュタインに等価原理を定式化するよう促しました。
そのため、慣性質量と重力質量は基本的に同じものです。
さて、単一の質量を持つ物体の状況は比較的想像しやすいです。次のステップに進みましょう：再び自由空間の真空にいます。しかし今度は非常に軽い素材でできたこの容器があります。
実際、この容器の質量は中に入れるものに比べて非常に小さく、無視できます。そして今度は、空間を自由に動く個々の分子からなるガスを挿入します。各分子は微量の物質なので、これらの分子すべてを合わせると特定の量の質量を表します。この容器に対して静止している私たち観測者にとって、個々の分子が基本的に高速で動いているにもかかわらず、ガスの合計正味運動量は現在ゼロです。
彼らは容器の壁に衝突し、平均的にあらゆる方向に等しい圧力を壁に加えます。個々の分子は空間を自由に動いているように見えますが、もちろんその動きは閉じ込めによって制限されています。したがって、この容器を加速させるには力が必要です。
なぜこれが当てはまるかを見る最も簡単な方法は、反対側の壁に衝突するところだった2つの個々の分子を考えることです：容器の加速中、一方の側の分子は平均してより高い速度で容器の壁に衝突し、より多くの運動量を転送します。他方の側では、類似した分子は箱が加速されていなかった場合よりも少ない運動量を転送します。そして多くの分子が存在するため、分子全体として、二つの壁の間に生じる圧力差のために加速に抵抗します。
同様の理由付けが重力場にあるガス分子にも当てはまります。そして基本的に、これが私たちの大気に圧力勾配がある理由です。最終的には、すべてのガス中の個々の原子または分子が地球の重力場によって加速または減速されるかどうかにかかっています。
最後のステップは、それ自体がほとんどまたは全く慣性質量を持たないこの同じ容器を取り、その壁を内側で100％反射するようにすることです。この容器は再び自由空間の暗闇に置かれます。ガスを充填する代わりに、容器内に電磁放射線、基本的には光を挿入します。そこで私の質問は、この箱が内部の光のために慣性質量を得たかどうかです。多くの人の最初の反応はおそらくそうではないということでしょう。それは、分子や物質とは対照的に、光には静止質量がないからです。
しかし、容器に光を入れることで、追加の慣性質量が加わることがわかります。その理由は、光がエネルギーと運動量の量を表し、実際に壁に圧力をかけるからです。光が圧力をかけるというのは奇妙に聞こえるかもしれませんが、それは「太陽風」とも呼ばれる物理学の背後にあります。これは、巨大な反射セールを使用して、太陽のような明るい光源から離れて宇宙船を加速するために原理的に使用できる光によって加えられる力です。
この圧力がどこから来るのかを簡単に要約しましょう。実際、壁との量子化された相互作用の数として光を考えるか、各相互作用が特定の量のエネルギーと運動量を表すか、または光を強度を持つ古典的な波として考えるかは重要ではありません。変化として、今回は光の量子描写を使って説明しましょう：量子によって転送される運動量は、その周波数に依存します。そして加速中に壁の間にドップラーシフトが導入され、一方の側では周波数が高くなり、もう一方の側では低くなります。そして多くの量子があると、加速により運動量の転送に正味の差が生じ、これは圧力の差に相当します。
この効果は、壁に当たる分子の場合と非常に似ています：そのため、光も加速に抵抗し、結果として慣性質量を持ちます。
つまり、結論として：箱に光を入れると、それは慣性質量と重力質量を持ちます。そのため、光は重いと言えます。ただし、それほど重くはありませんが。100ジュールの放射線を閉じ込められた空間に放出すると、その慣性質量は100 / c²= 1.1×10⁻¹⁵kg、つまり約1ピコグラムに相当し、それはそれほど多くありません。しかし、もちろん、それはゼロではありません。そして窒素分子などの分子からなるガスと同等のものを見ると、100Jの光と同じ慣性質量を持つ容器は、依然として240億個のN₂原子を含んでいる必要があります。
しかしおそらくこれらすべての最も奇妙な部分は、無重力の箱に光を閉じ込めることによって、その箱をもはや光速まで加速できなくなるということです。内部の光は光速でしか移動できないにもかかわらずです。その根本的な理由は、もちろんこのシステムが慣性質量を持っているからです。その方向にさらに深く掘り下げるつもりはありません。代わりに、電子と陽電子のペアをこの容器に充填した場合に何が起こるかについて、その論文からの素敵な思考実験を考えてみましょう。これら2種類の粒子は出会うと消滅することがあり、それによりガンマ線放射、つまり非常に短い波長を持つ電磁放射が生成されます。
もちろん、これはやや理論的な思考実験です。なぜなら実際にはそれを行うことは非常に困難または不可能だからです。しかし観察されるのは、この変換プロセス中にこのシステムの慣性質量が同一のままであるということです。それは慣性が本質的には質量についてではなく、エネルギーについてだからです。そしてそのエネルギーが粒子の形であるか放射線の形であるかは重要ではありません。
質量を持つ粒子と電磁放射が同一の慣性を持ち、さらに一方の状態から他方の状態に変換できることを考えると、すべての物質は何らかの形で空間的に閉じ込められた放射線に過ぎないのではないかと疑問に思うかもしれません。言い換えれば、粒子は単に自己閉じ込め型の光のようなものかもしれません。もちろん、波エネルギーの自己閉じ込めは本当に簡単な概念ではなく、例えば電子のような基本粒子の周りには、かなり高い内部エネルギーを含む小さな箱のようなものはありません。文字通り存在するのは空虚な空間または「真空」だけです。
ですから、次に調べるのはそれです：真空に自己閉じ込めにつながる性質を割り当てることができるかどうかを見てみましょう。ここで真剣な科学をしているように見せるために、これが私たちの小さな理論であると述べます：粒子は空間的に閉じ込められた、あるいは捕らえられた光です。
この理論の基礎として、いくつかの仮定または前提を立てます。これらは、これがどのように可能かについての説明を提供できます。心配しないでください、これらの仮定について詳細に説明します。次に、モデルを作成して実験を行います。この場合はシミュレーションです。そして、得られる結果が理論を支持することを願っています。
2つの仮定の意味を理解することが不可欠です：真空が弾性非線形媒質であるとはどういう意味ですか？そして光と物質がどのように真空の摂動となりうるのでしょうか？そこで次の数分間、ここでハイライトされた概念を一つずつ説明していきます。
まず「弾性」という言葉から始め、表面に跳ね返るボールの例を使います。このプロセスが完全に弾性的である場合、衝突の前と後のボールと表面の総エネルギーは同じです。衝突中、ボールは変形し、同時に減速します。その間、運動エネルギーは弾性変形に蓄えられます。次にボールは元の形に戻ろうとし、そのプロセスでエネルギーをボールに運動エネルギーとして戻します。そしてこのプロセスが完全に弾性的であれば、元のエネルギーが変形中に何らかの形で捕捉されたり、側道に逸れたりすることはなく、弾性変形として蓄えられたすべてのエネルギーがボールに返却されることを意味します。
しかし、非弾性変形の場合、エネルギーの一部が変形中に熱に変換されることがあります。その結果、最終的にはエネルギーの一部が熱としてプロセス中に失われます。しかし、真に弾性的なシステムでは、そのようなことは起こらず、変形によるエネルギー貯蔵は完全に可逆的です。
次に、弾性に関連する非線形性に焦点を当てましょう：この例では弾性ゴムバンドを伸ばしています。弾性バンドをゆっくりと短い距離で伸ばすと、変形は材料に加えられる力または圧力と線形の関係に従います。便宜上、力または圧力を加えることを「応力」を加えると呼びます。そこで、これは次の式にまとめられます：変形（D）は応力（ε）を材料の硬さまたは弾性率（E）で割ったものです。
線形弾性材料では、応力に関係なく、モジュールEは一定の値を持ちます。これはこれらのグラフで示されています：応力の関数としてモジュールの一定値が観測され、これにより変形と応力の間に線形関係が生じます。
ゴムバンドを伸ばし続けると、さらに伸ばすことが次第に難しくなる領域に入ります。そこで起こることは、モジュールが一定ではなく、応力の関数になるということです。これも2つのグラフで示されています。左のグラフでは、モジュールが一定ではなく、応力の絶対値とともに増加することが観察されます。右のグラフでは、これが応力の関数としての変形に何を意味するかが観察されます。低応力レベルでは、関係は主に線形です。
しかし、応力が増加するにつれて、変形の大きさは純粋に弾性的な挙動に比べて遅れています。この種の関係を説明するには、モジュールが応力の関数であることを指定する必要があります。そのためには、例えばこのような方程式を使用できます：ここで弾性率はゼロ応力時のモジュールに、この係数に対する応力の効果を修正する係数を掛けたものに等しくなります。
この特定の式では、線形挙動からの逸脱の性質を記述するために2つの別々のパラメータを使用できます：まず、非線形性の大きさを記述する非線形係数αがあり、さらに非線形挙動で見られる曲率を決定する指数nがあります。この式を使用して、αとnの値を変えることで、多くの異なるタイプの非線形性を記述できます。
αとnの値が非線形性にどのように影響するかを説明するために、αとnの異なる値に対するモジュールと変形の関係の例をいくつか示します。
非線形性と弾性は根本的に2つの異なるものであることを強調させてください：弾性はシステム内の特定のタイプのエネルギーの保存に関するものであり、非線形性はこの場合、応力と剛性の関係に関するものであり、本質的にはエネルギーがどのように蓄えられるかについてです。したがって、システムは非線形に振る舞いながらも、完全に弾性的である可能性があります。
最後に説明したいのは、真空が媒質であり、光と物質が真空の摂動であることの意味です。そして概念的には、これは説明するのが最も難しい考えです。放射線や粒子がない場合、真空は少なくとも私たちが観察できるエネルギーを持たない空虚な空間です。
しかし実際には、空間に関わるすべての主要な理論は、何らかの形で真空が基底レベルのエネルギーを含まなければならないと仮定しています。そしてこの基底レベルは「真空エネルギー」と呼ばれています。例えば宇宙論的スケールでの真空エネルギーを見ると、それは10⁻⁹J/m³と推定されています。そしてこの値は、宇宙の私たちの部分が重力に抗して拡大しているという観察から導かれます。
しかし、基本的な相互作用に関わる理論を見ると、真空エネルギーにはやや控えめではない値を仮定する必要があることがわかります。そしてこの信じられないほど高い値は、量子相互作用を説明するために必要な真空から現れたり消えたりする仮想光子や粒子を説明するために必要です。
したがって、真空のエネルギー含有量については理論間にかなり大きな不一致があります。ここで述べられた正確な値に関係なく、私は疑問に思います：真空エネルギーは異なるスケールで異なる可能性がありますか？そして答えは：原則としてはい、です。
エネルギー自体の概念は実際にかなり複雑です。それは私たちが多くの異なるタイプのエネルギーを区別しているからにほかなりません：例えばそれ自体が多くの形のフィールドで現れる可能性のある位置エネルギー。または運動エネルギー、化学エネルギー、核エネルギー、放射エネルギー、熱エネルギーなどです。しかし、これらすべてのタイプのエネルギーに共通するのは、それらが「仕事」をすることができるということです。そして、これが実際にシステム内のエネルギーの定義です：「仕事をする能力」。同意します、これは蒸気機関時代の定義のように聞こえますが、それでも私たちが認識するエネルギーの本質です。
しかし、小さな落とし穴があります：システムが仕事を行うためには、常に何らかの違いや勾配が「エネルギー」密度と呼ぶものに必要です。例えば熱エネルギーを取ります：温度に勾配がある場合、つまり空間のエネルギー含有量に勾配がある場合にのみ、蒸気機関が私たちのために仕事をすることができます。
そして、同一で均一な熱エネルギーの環境に置くと、エネルギー含有量がどれほど高くても仕事を行うことはできません。または、同一で均一なレベルのストレスを含む環境で圧縮されたバネに仕事をさせたい場合も同様です。そしてこの側面は時々少し混乱することがあります：一方で私たちはエネルギーを空間で密度を持つ特性として話し、他方でエネルギーを仕事をする能力として説明しますが、そのためにはその特性の変動が必要です。これは「エネルギー」という言葉の意味が使用される文脈によって変わることを示しています。
スケールの関数としての真空エネルギーの巨大な違いに戻りましょう：非常に小さなスケールで空間のエネルギー密度に大きな変動があると仮定すると、これらは電子や原子核などの基本粒子に多くの仕事を行うことができます。例えば、核崩壊を促進します。
そして、これらすべての高周波変動が一緒になって、効果的に膨大な宇宙のエネルギー密度になります。しかし、例えばこれら2つの領域の間のように、やや大きなスケールで仕事をする能力を考えると、それは寸法とともに急速に減少します。それは2つの領域間のエネルギー密度差が大幅に重要でなくなったからです。
さらにズームアウトすると、例えば人間のスケールでは、エネルギー密度の変動は重要ではなくなり、私たちには仕事をしてくれない均一な媒質が観察されます。しかし宇宙規模では、エネルギー密度の変動は再び重力に対抗し、宇宙を拡大するのに必要な仕事を行うのに十分に重要かもしれません。
つまり、結論：宇宙の真空を非常に高周波のエネルギーまたは応力変動を含む弾性媒質と考えることはそれほど奇妙ではなく、これらは均一に分布しています。そして放射線と物質は、私たちが観察可能なこの基本レベルに重ねられたエネルギー変動です。そして、おそらく空間の弾性に非線形特性を割り当てることで、波エネルギーが局所的に閉じ込められるときに粒子がどのように形成されるかを実証することができます。
ここで、しばらくビデオを一時停止するのが良いでしょう。画面から目を離して、少し立ち上がり、動き回り、飲み物を取るかもしれません。そして次に来ることに備えてください。私自身も少し飲み物を取りましょう。すべての話で非常に喉が渇いたので。
さて、続けましょう。休憩前に取り上げなかった重要な点が一つあります。それは真空がそもそもなぜ非線形特性を持つのかということです：例えば可視光を使ったすべての実験は、真空が線形媒質であることを示しています。例えば、現在のレーザー技術では真空中で2つの光ビームを相互作用させることはできません。ここに線形媒質で出会う2つの波の模式的な2Dシミュレーションがあります。一方の波は連続的で、もう一方はパルス状です。そして観察されるのは、波が局所的に干渉しても依然として完全に変化せずに独自の方向に進むということです。
これは光でも見られることです：干渉を観察することはできますが、例えば波の間の運動量の交換のような物理的相互作用を観察することはできません。実際、光を非線形に振る舞わせることはできますが、そのためには特殊な結晶内に非常に高い場を作る必要があります。しかし、そのような現象は真空では決して起こらないようです。
理論的には、真空も非線形に振る舞い始める場の値の限界があり、この値はシュウィンガー限界と呼ばれています。この限界は理論物理学者のジュリアン・シュウィンガーにちなんで名付けられ、その値は約1.3×10¹⁸ボルト/mで、これは膨大です。最も強力なレーザーを使っても、現在でもそれに到達するには1桁以上の差があります。シュウィンガー限界は近似値であることに注意してください。それは「非線形挙動」という用語の定義が曖昧だからです。
それは本当に、挙動に対する効果の大きさがどれくらいであれば「非線形」と呼ぶかによって異なります。そして単位から明らかなように、シュウィンガー限界は電場の値、つまり単位距離あたりの電位差です。
特定の場を超えた空間が非線形に振る舞うという背後にある一般的な推論は、エネルギーが放射線と質量を持つ粒子の間で移行できるという実験的観察に基づいています。動画の前半で、電子と陽電子のペアの消滅について説明しました。これによりガンマ線放射が発生します。しかしこのプロセスは、局所的に放射場に十分なエネルギーがある場合、逆方向にも進行することができます。
これら2つの粒子を作成するために必要なエネルギー量は計算でき、2倍の電子質量に光速の2乗を掛けたものです。そして放射線からこの量のエネルギーを生成するためには、非常に高い特定の最小周波数が必要であり、それは可視光の周波数よりも約50万倍高いです。量子力学の観点から見ると、この変換は単に放射線の周波数と生成された総質量が一致しなければならないエネルギーバランスです。
しかし今見たように、シュウィンガー限界は場の値であり、その導出方法はコンプトン波長の寸法内で仕事をする電場の能力に基づいています。そしてこのエネルギーは電子の電荷に場の値を掛け、コンプトン波長を掛けたものに等しくなります。ここではコンプトン波長の意味について詳しく説明しませんが、この主題についての非常に良い動画を参照してください。
この特定の変換に必要な最小または臨界場を見て、ここに述べられているエネルギーバランスを書き換えると、最小場の値として2.7×10¹⁸ V/mを見つけます。そして注意深く聞いていた人のために：この値は実際にシュウィンガー限界として先に言及した値の2倍です。しかしそれはここでは非線形挙動が2つの粒子の生成をもたらし、単一のものではなかったからです。
私の以前の動画を見たことがある人は、私が2D波シミュレーションを行うのが好きだということを知っているでしょう。これらは波現象を視覚化し理解するのに非常に役立つからです。もちろん、これらのシミュレーションは非常に単純化された表現であることを常に念頭に置いておくべきです。
次に、非線形挙動を含むいくつかのシミュレーションを行います。シミュレーションの基礎として、@DiffractionLimitedから提供されたPythonスクリプトを使用しています。これに対して、シミュレーションの実現を含め非常に感謝しています。あなたがこのタイプのシミュレーションを自分で試したい場合は、ビデオの説明でさらに情報とダウンロードリンクを参照してください。
ソフトウェアの仕組みについて深く掘り下げるつもりはなく、代わりにモデルを全体的に説明します。シミュレーションでは、各ピクセルはセルまたは要素を表します。各要素には、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの値や、媒質の局所的な弾性特性に関するデータなどの特定のデータが含まれています。セルは弾性によって隣接するセルに接続されており、これはこの画像ではばねのセットとして表されています。
また、モデル内の要素間の減衰またはエネルギー損失を指定することもでき、この場合、これらの小さなダンパーまたはショックアブソーバーとして概略的に表されています。しかし、媒質を完全に弾性的にしたいので、シミュレーション領域では減衰を使用せず、端の部分でのみ使用します。ここで減衰は単に波が壁から反射してシミュレーションに戻るのを避けるためのものです。
これは基本的にモデルの表現であり、このモデルの数値的等価物により、波がポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの組み合わせとして媒質を通ってどのように伝播するかを見ることができます。
私は元のPythonスクリプトを少し修正しました。私のバージョンのシミュレーションの仕組みは、シミュレーション空間の主要な側面を記述するRGB画像をインポートすることです。画像の緑の値には、開始時のポテンシャルエネルギー分布が含まれています。媒質の弾性率は赤チャンネルでエンコードされており、現在のシミュレーションでは、この特性は初期条件では空間内で均一な値を持っています。青チャンネルに実装されているのは減衰で、反射を避けるために境界のピクセルにのみ存在します。
これら3つの側面が単一の画像に結合され、シミュレーションの初期条件を定義します。
説明が必要なのは、ポテンシャルエネルギー分布は基本的に媒質にエンコードされた弾性応力だということです。しかし、値自体をこの3次元プロットで見ると、これらは実際には場の値ではないと結論付けなければなりません。なぜなら、場の値は先ほど述べたように、単位距離あたりの電位差だからです。したがって、ポテンシャルから場の値に移行するには、ポテンシャルエネルギー分布の変化または導関数を計算する必要があります。
そしてここにそれがどのように見えるかがあります：場の強さの変動は、元の波パターンの2倍の空間周波数を持っています。なぜなら、各波サイクルには2つの傾斜があるからです。空間は場の値に関して非線形に振る舞うはずなので、これらの場の値を非線形性方程式に挿入して、位置の関数として弾性率を計算します。そしてその分布を媒質に使用します。
次に、この媒質内で波エネルギーを1タイムステップ伝播させ、これにより新しいポテンシャルと運動エネルギーの分布が得られ、これらのデータをステップ1に戻します。そして、もちろん、この手順を多数のシミュレーションサイクルで繰り返します。
弾性媒質に対するそのようなシミュレーションがどのように見えるかを簡単に見てみましょう：この画像には初期波条件のデータが含まれています。この画像の緑チャンネルの内容は、ポテンシャルエネルギーを含む変形の正と負の振幅に変換されます。そして、負と正のポテンシャル値は青と赤の色で示されています。ここで、このポテンシャルエネルギー分布をリラックスさせ、そのエネルギーを媒質に分配させます。波エネルギーが外側と内側の両方にどのように伝播するかを観察してください。
内側に移動する波エネルギーの部分は、パターンの中心を通過し、その後再び離れていきます。ここまでは順調です。次に行うのは、線形媒質ではなく非線形媒質をシミュレーションすることです。そして今できることは、パラメータαとnを使って媒質の非線形性を調整することです。目標は、もちろん、何らかの形で自らを含む波を作ることができるかどうかを確認することです。
そしてここで物事は本当にイライラすることになりました。正確にどこを探せばいいのかわからなかったので、最初はαとnにほぼランダムな値を入力しました。しかし基本的に、これはまったくうまくいきませんでした。
しかし、いくつかの問題に遭遇しました。その一つはシミュレーションフィールド内の総エネルギーに関するもので、この例で説明されています。シミュレーションのある時点で、振幅が明らかな理由もなく突然増加します。これはもちろん計算の非線形性の結果ですが、シミュレーションで有限のタイムステップを取るからでもあります。
説明しましょう：長さδxだけ伸ばす弾性バネを考えると、バネに蓄えられる余分なエネルギーδEは0.5×バネ定数×変形の2乗になります。しかし、シミュレーションが離散的な時間ステップで動作する場合、kの初期値に基づいてδxの値を計算します。次に、δxに関連する新しい応力レベルに対して非線形関係を使用してkの値を修正します。
そしてこの修正により、バネに含まれる総エネルギーも増加する可能性があります。もちろん、この余分なエネルギーには物理的な起源はありません。したがって、それは明らかに計算自体のアーティファクトであり、間違いなく望ましくありません。今、できることは、シミュレーション中に同一のままになるように、各ステップの間にフィールド内の総波エネルギーを正規化することです。これは確かに役立ちます。
しかし、これが他のタイプのアーティファクトや不安定性につながる可能性があることがわかりました。また、パターンの奇妙な対角線上の対称性も非常に明らかなアーティファクトであり、これも計算方法の結果です。8つの隣接するセルとのセルの弾性相互作用の計算はラプラス変換マトリックスに基づいています。
しかし、このマトリックスを使用することによる数値的な制限のため、この方法では結果に奇妙な対角線上の対称性が生じる可能性があります。特に非常に高い場の値と高い空間周波数の場合、これは避けられないことがわかりました。したがって、残念ながら、以下のすべてのシミュレーションでこの対角線上の対称性が観察され、それを避けることはできません。
しかし、この対称性の側面は少なくとも完全に無視するよう努めるべきです。なぜなら、計算方法の数値的な制限がなければ、パターンは常に円形対称であるはずだからです。
多くの試行の後、自己閉じ込め状態に似たものを生成するようにシミュレーションを設定することができませんでした。そして絶望的な行為で、あるいは天才的と呼ぶべきかもしれませんが、非線形性方程式の指数（n）を負にすることにしました。
そして、これは非常に興味深いシミュレーション結果をもたらしました：このシミュレーションでは、含まれる総エネルギーが急増し、シミュレーション中にかなり増加します。しかし、負と正の振幅が空間の別々の領域に閉じ込められる様子を見てください。この場合、赤は正のポテンシャル、青は負のポテンシャルです。振幅がシミュレーション空間の特定の領域に閉じ込められることが観察されます。
これを初めて見たとき、何が起こっているのかまったく分からず、非線形性関数をプロットした後にのみ意味をなしました。ここでは、負の指数が応力の関数としての弾性率に何を意味するかがわかります：効果的に応力値が分母に入ります。つまり、ゼロ応力付近では、弾性率は無限大に向かいます。
おそらく、この特定の場合に起こることを説明する最も簡単な方法は、バネを使用して説明することです：バネの変形がゼロ応力のどちらかの側にある場合、弾性率がゼロ変形で無限大であるため、決して反対側に行くことはできません。そのため、正から負に移行するには無限のエネルギーが必要になります。そしてそれが振幅が閉じ込められる理由です。
もちろん、これは私が探していたものではありませんでしたが、次に何を探すべきかについてのアイデアを与えてくれました。
私が達成したかったことは非常に似ていましたが、ゼロ応力レベルではなく高い応力レベルでの空間でのエネルギートラッピングでした。これを達成する方法は、指数値nに高い値を使用し、弾性係数αに比較的低い値を使用することです。結果はこれらのプロットに示されています。
ゼロ応力から始まると、低い応力レベルでは弾性率がほぼ一定であり、ある時点で指数の高い値のために急激に増加します。変形を見ると、最初は主に線形の振る舞いの領域にいることがわかります。しかしある時点で非線形性が優勢になり、最大変形をもたらします。
さらに応力を増加させると、媒質が収縮する方がエネルギー的に有利になることがわかります。媒質とエネルギーが入る状態のためのバネの等価物を想像するのは難しいです。基本的に起こることは、応力レベルが増加すると媒質が収縮するということです。
そしてここには真の物理的境界がないため、結果としてエネルギーは可能な限り最小の次元に自らを閉じ込めようとします。しかし、このプロセスのもう一方の側には、応力とともに強く増加する弾性率があります。そしてこれは収縮の下限を設定します。結果として、システムは追加のエネルギーを供給しない限り線形領域に戻ることができない状態に入りました。
そして基本的に応力は立ち往生し、それと一緒にこの変形に入ったエネルギーも立ち往生しました。
今言ったことが理解できなかったとしても、責めません。幸いなことに、いくつかの側面を視覚的に説明するためのシミュレーションがあります。最初に、初期条件として比較的低い空間周波数の2つから始めます。これはここに示されています。
これらを先ほど説明したαとnのプロパティを持つ非線形媒質に放出すると、エネルギー閉じ込めに似たものは何も観察されません。どちらの場合も、線形媒質内の波のように振る舞います。それは、まだ線形挙動が支配的な場の範囲にいるからです。
ここにやや高い周波数のパターンがあります。この場合、2つのグラフを表示します。左側には崩壊する波パターン、右側には媒質の弾性率の表現があります。さあ、始めましょう。気づいたかどうかわかりませんが、パターンの中心で実際に媒質の非線形挙動が発動するのを観察できました。しかし、それは十分に安定しておらず、非常に迅速に再び消失しました。
さて、さらに高い周波数の初期条件を使用して、波を限界を超えて押してみましょう。シミュレーションの中心で、媒質が非線形挙動の領域に入ることが観察できます。
ここで起こることは、この媒質の「シュウィンガー限界」と呼べるものを超えることです。そして波エネルギーの一部が媒質に閉じ込められ、小さな粒子が形成されるのを観察できます。ここでは少し拡大されています。左側に場があり、右側に媒質の弾性率を追加しました。観察されるのは、閉じ込められたエネルギーが最初は対角線上の対称性を持つということです。
もちろん、これは非常に高い場の値と組み合わせたラプラス変換マトリックスの制限に関連しています。しかし、ある時点で、シミュレーションは他の数値的エラーにより不安定になり、粒子は放射線を放出しながら蒸発し続けます。右側では、媒質が粒子内のエネルギーを閉じ込めておくために適応しようとしているのがわかります。
残念ながら無駄でした：シミュレーションの数値的エラーにより、場が局所的にシュウィンガー限界を下回ることができるようになります。その結果、エネルギーは再び移動可能になり、波エネルギーとして媒質に逃げることができます。そのため、この粒子は本当に安定していませんが、少なくとも一時的にエネルギーを非線形弾性応力に蓄えることができることを示していると思います。
次の疑問は当然：これらの不安定性を避けることはできますか？そして汚いトリックでそれが可能であることがわかります。先ほど示した最後のシミュレーションでは、先に説明したエネルギーの「爆発」は、シミュレーションに存在する総エネルギーを制限することによって実際に人工的に抑制されていました。
しかし、このエネルギー抑制メカニズムを取り除くと、より多くの内部エネルギーを獲得し続けていても、はるかに安定した粒子を作ることができます。理由は、シミュレーション内の応力または場がゆっくりと成長することを許可することで、粒子の崩壊につながる可能性のある数値的不安定性を克服できるからです。そして、これはそのような安定した粒子です。
振幅の増加のため、その内部構造を見るのは難しいです。しかし、私にとって最も驚くべき部分は、内容が空間内でほぼ静的であるように見えることです。個人的に予想していたような周波数を持つ振動する定常波ではなく、静的な応力です。基本的に、波エネルギーは純粋な弾性ポテンシャルエネルギーに変換され、それは戻すことができず、したがって媒質に閉じ込められました。
最初、これが本物であると信じるのに苦労しました。しかし、すぐに説明するように、それは徐々に多くの意味を持つようになりました。しかし、まず媒質の弾性率におけるこのクレイジーな効果を指摘したいと思います。ここでは、非線形性を使用して、粒子内部で成長する場の振幅に非常に効果的に抵抗しています。
弾性率のこのグラフィカルな表現では、媒質が常にその特性を適応させていることが観察されます。グレースケールは、特定の範囲内の媒質の局所的な弾性率の変化を示しています。パターンの外側では、変動が観察するには低すぎ、粒子内では実際に高すぎます。しかし、この境界では、媒質が粒子内でゆっくりと蓄積される成長するエネルギー圧力を閉じ込める方法を観察できます。
これが私の意見では、非線形弾性閉じ込めが原理的に数値的不安定性がない場合、非常に安定していて回復力があることを示しています。
私たちの小さな理論に戻ると、シミュレーションは媒質に非線形特性を割り当てることで理論的に波エネルギーを局所的に閉じ込めることができるという仮定を支持していると感じます。もちろん、このモデルは3D空間における光のシミュレーションではなく、実際の粒子がどのように作成されるかのシミュレーションでもありません。それは多くのアーティファクトを含む非常に粗い2Dモデルに過ぎません。しかし、その背後にある概念、つまり空間が非線形媒質であるという考えは非常に魅力的だと思います。
では、この小さな理論からどこに行くべきでしょうか？現在の非線形方程式はパラメータとして場のストレスのみを持ち、これはすべてのシミュレーションが最大ストレスレベルを目指すことにつながります。シミュレーションでは、これは個々のピクセル間の場の値の最大化につながります。したがって、実際にズームインすることはできません。次のステップは、より良い非線形方程式、つまりエネルギー保存と空間内のエネルギー密度も考慮する方程式を見つけることです。
最後の注として、静的応力として蓄えられたエネルギーが当初予想していたよりも理にかなっている理由についていくつかの追加の洞察を提供しましょう。
私が発見したのは、粒子のエネルギーに関与する応力は決して真に局在化していないということです。3D表現を見ると、ほとんどのエネルギーが高い空間周波数の応力として蓄えられていることがわかります。しかし、この「コア」の外側でも空間に広がっています。ここに対角線と水平軸に沿って取った2つの断面があり、これらは蓄えられた場の応力を示しています。
したがって、粒子内のエネルギーのほとんどがコア内に局所的に閉じ込められていても、粒子全体の存在は空間に広がっています。そして、移動または加速する粒子は、空間に拡張する部分を通じてその存在を宇宙の残りの部分に伝えると思います。
また、粒子がコアの外側で場のストレスに特定の符号を持つように、ポテンシャルエネルギー値を凍結できることもわかりました。上の画像ではこの符号が色として示されており、赤と青が再び使われています。下には3Dプロットがあります。そして先ほど見たように、この符号は空間に広がっています。しかし、おそらく最も説明的なのは、この符号が最も明らかな粒子の断面を見ることです。
もちろん、反対の符号の応力値は互いに打ち消し合うことができます。したがって、反対の応力符号を持つ粒子がお互いの近くにあることはエネルギー的に有利になります。これは効果的に、反対の応力不均衡を持つ粒子が引力に似たものを経験することを意味します。そして、粒子内の凍結された振幅のこの正味の不均衡は、一般的に電荷と関連付けるものと非常に似ています。
つまり、電磁場は加速する電荷の結果です。しかしこれは、電荷自体が空間に凍結された電磁場の非対称性である可能性が非常に高いことを示しています。
モデルで提案された非線形性は、応力の符号に関して完全に対称です。粒子内の固化したエネルギーをこの簡略化された静的応力パターンとして概略的に表すと、なぜすべての粒子が逆応力を含み、逆符号を持ち、同時に同一量のエネルギーを保持する等価な反粒子を持たなければならないかを簡単に理解できます。
最後に言及したいのは次のことです：この粒子があり、そのエネルギーが実際に空間に凍結された場の振幅として蓄えられていると仮定します。その粒子自体は当然静止している必要はありません。なぜなら、このエネルギーが動き回ることができない基本的な制限はないからです。しかし、閉じ込められたエネルギーのために慣性を持つでしょう。
さて、粒子内の波をこのラインで測定したいとします。これが機能するためには、粒子が動いている必要があります。ゆっくりと動く場合、長い波長を持つと測定されます。その運動量を速度を変えることで増加させると、より高い周波数、つまりより短い波長が測定されます。
そしてこの粒子は、その動きに関連する架空の波を持っています。そしてそれが実際にあるすべてかもしれません。
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