量子コンピューターの仕組みの核心である量子ゲートの役割について解説している。情報処理の基本となるゲートのうち、アダマールゲートは単一の量子ビットに作用して重ね合わせの状態を作り出す。さらにCNOTゲートを組み合わせることで、2つの量子ビットが連動する量子もつれを発生させ、ベル状態を生成する手順を線形代数を用いて数学的に証明している。しかし、これらのクリフォード群に属するゲートだけでは古典コンピューターでもシミュレーションが可能である。そこに位相を変化させるTゲートを加えることで計算コストが指数関数的に増大し、古典の限界を超えた量子計算の普遍性が獲得されることを明らかにしている。
量子コンピューターの仕組みとゲートの役割
私の仕事の中で最もよく答えている質問はおそらく、量子コンピューターは実際にどのように動いているのかというものです。これは非常に奥深い質問であり、もっともな疑問でもあります。人々が驚くことの一つは、古典コンピューターと量子コンピューターの両方が情報処理にゲートを使用しているということです。古典であれ量子であれ、すべてのプログラムはゲートを構成要素として使用しています。そしてゲートとは単純に、情報の状態を変化させる命令のことです。古典ゲートはビットを変化させます。一方で量子ゲートは量子ビットを変化させます。たとえば古典コンピューティングのCNOTゲートは0を1に、1を0に変えます。シンプルですよね。しかし量子ゲートは少し異なり、今日はいくつかの重要なゲートに焦点を当てていきます。これらが組み合わさることで、量子コンピューティングを特別なものにする要素が生み出されるのです。
重ね合わせとアダマールゲート
まず初めにアダマールゲートと呼ばれるものについてお話しします。アダマールゲートは重ね合わせと呼ばれる量子現象に関連しています。重ね合わせとは、量子ビットが観測されるまで同時に複数の状態で存在できることを意味します。量子力学ではディラック記法と呼ばれるものを使用します。古典的な状態をこの言語で書くと次のようになります。∣0⟩。そして ∣1⟩ です。これら2つの状態の均等な重ね合わせは次のようになります。21(∣0⟩+∣1⟩)。そしてこの係数は非常に重要です。これを二乗すると 21 になります。それを分配すると、0が50%、1が50%となり、両方を測定する確率がそれぞれ50%で、合計すると1になることを意味します。
線形代数による数学的表現
では、これを線形代数に結びつけてみましょう。線形代数の言語では、0は次のように表されます。そして1は次のようになります。これらはベクトルです。状態がベクトルであるならば、ゲートは行列でなければなりません。そして先ほども言ったように、最も重要な単一量子ビットゲートはアダマールゲートです。アダマールゲートは次のような形をしています。21(111−1)。それでは、この数学を実際に解いてみて、2つのベクトルのうちの1つにアダマールゲートを適用したときに、本当に重ね合わせが得られるかを確認してみましょう。0を選びましょう。状態0にアダマールゲートを適用してみます。それは次のようになります。21(111−1)。これに1と0を掛けます。ベクトルと行列の掛け算をやったことがなくても、とても簡単です。単にここの列を見て、ここの行と掛け合わせるだけで、一番上に入る成分が得られます。つまりここでは1になります。単なる内積です。下も同様に、再び1になります。そして係数である 21 も忘れてはいけません。これが、ゼロ状態にアダマールゲートを作用させたときに得られるものです。そしてそれをディラック記法で書き直すと、21(∣0⟩+∣1⟩) となります。これはまさに、冒頭でお見せした均等な重み付けの重ね合わせそのものです。つまりたった1つのアダマールゲートだけで、私たちは重ね合わせを作り出すことができるのです。そしてこれが第一の量子現象です。
量子もつれとCNOTゲート
次に第二の量子現象についてお話ししましょう。それは量子もつれと呼ばれています。量子もつれとは、2つの量子ビットが1つの統合された状態を共有していることを意味します。1つを測定すれば、距離に関係なく、もう1つの状態が瞬時にわかります。このもつれを作り出すゲートはCNOTゲートと呼ばれています。思い出してください、これは行列であり、次のような形をしています。最初に気づくのは、アダマールゲートとは異なり、CNOTゲートは4行4列の行列であるということです。つまりアダマールゲートが1つの量子ビットにしか作用しなかったのに対し、CNOTゲートは2つの量子ビットに同時に作用します。そしてCNOTゲートは、制御量子ビット、つまり最初の量子ビットが状態1のときのみ、ターゲット量子ビットを反転させると言えます。
CNOTゲートによるベル状態の生成
それでは数学を解いて、CNOTゲートがどのようにもつれを作り出すかを実際に見てみましょう。まず実際にやらなければならないのは、再び重ね合わせ状態を作り出すことです。つまり今回は2つの量子ビットにアダマールゲートを作用させ、両方が重ね合わせの状態で、かつ基底状態にあることを確認する必要があります。そこで両方が基底状態にあるところから始め、アダマールゲートを4行4列の行列になるように拡張します。その方法は次のようになります。お気づきのように、先ほどのアダマールゲートはそのまま左上と右下のブロックに存在し、それ以外の場所にはすべてゼロを入れます。これにより、最初の量子ビットに重ね合わせを作りつつ、もう1つの量子ビットはそのままにしておくことが保証されます。数学を解いていくとわかるように、4行4列の言語で書かれた00状態は次のようになり、これを掛け合わせることができます。繰り返しますが、行列の掛け算をやったことがなくても、この列を取ってこれら4つのベクトルのそれぞれと掛け合わせるだけで、対応する数字が得られます。これを計算すると、21 になり、1、1となります。しかしこれで終わりではありません。まだCNOTゲートを適用する必要があります。そこで、今ここで作成した状態にCNOTゲートを掛けます。CNOT行列を書きます。2 を忘れてはいけません。再びそのすべての計算を行うと、これら4つの行をそれぞれこのベクトルと掛け合わせることで、最終的にある方程式に行き着くことがわかります。
ベルの定理と量子力学の性質
これは実は非常に有名な方程式で、物理学全体の中で最も有名なものの1つです。これはベル状態と呼ばれています。ジョン・ベルにちなんで名付けられ、彼は驚くべきことを証明しました。彼は、もし量子力学が正しいとすれば、宇宙は局所的実在論に従うことはできないと示しました。つまり、見ているか見ていないかに関わらず物事は確定した性質を持っているということ、そして物事は光の速度を超えて移動することはできないということの、どちらかが成り立たないということです。量子力学では、その2つのうちの1つは絶対に真でありえません。私たちは通常、光の速度を一定に保つものとして扱います。しかし量子力学において、状態は測定するまで確定した性質を持っていません。これは非常に驚くべきことです。そしてもう一つ驚くべきことは、私たちがこのベル状態を作り出したということです。私たちはたった2つのゲートで重ね合わせと量子もつれを作り出したのです。
クリフォード群と古典的シミュレーションの限界
しかしここで最後の展開があります。アダマールゲートとCNOTゲートはどちらもクリフォード群と呼ばれるものに属しています。これらは重ね合わせや量子もつれを作り出しており、深く量子的であるように感じますよね。しかし、クリフォード群のゲートだけでは、古典コンピューターでもシミュレートできてしまうものしか作れません。これはゴットズマン＝ニル定理として知られています。クリフォード回路のみで構成されるものは実は古典的に計算可能である、という定理です。では、ここに欠けているものは何でしょうか。
位相とTゲートによる普遍性の獲得
答えは位相であり、具体的にはTゲートです。Tゲートは非常に小さく、正直に言えばかなり取るに足らないものに見えます。このような形をしています。これがやっていることは単に状態1を eiπ/4 の位相で回転させることだけであり、他のことは何も変えません。確率も変えませんし、直接的な測定結果も変えません。位相を変えるだけなのです。しかしその小さな位相が、どういうわけかすべてを変えてしまいます。Tゲートを使うと、重ね合わせの状態であっても0と1の状態に新たな次元が追加されるため、状態の圧縮がより困難になります。その結果シミュレーションのコストは指数関数的に爆発し、物事はもはや古典的には計算可能ではなくなります。クリフォードゲートにTゲートを加えることで普遍性が生まれ、これらのゲートを使って自然界で生み出されるあらゆる量子的進化を近似できるようになります。この小さな位相の回転こそが、まさに古典世界の壁に空いた穴なのです。つまり位相によって、私たちは普遍性を解き放つのです。私たちは自然が許すすべてのものを解き放ちます。そして結局のところ、宇宙は単なるゼロとイチ以上の存在だということがわかるのです。
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