Google DeepMindが開発したAIが、2000年以上にわたり人類の天才数学者たちを拒絶してきた素数の並びに隠された新しい数学的パターンを発見した。AIは先入観のないアプローチで莫大なデータを分析し、素数の間隔（ギャップ）に統計的なシグネチャーが存在すること、そしてそれがリーマンゼータ関数のゼロ点の振る舞いと深く結びついていることを突き止めた。この発見は数学界で最も重要な未解決問題「リーマン予想」を支持する強力な実証的証拠となり得るだけでなく、現代のインターネットセキュリティの根幹を支える素数ベースの暗号技術の前提を揺るがす可能性を秘めている。
素数という謎
素数は抽象的で神秘的な存在であり、いわば地球の原子のようなものです。2000年以上の間、素数はその中に秩序を見出そうとするあらゆる試みを拒んできました。物理学の法則を書き換え、微積分を発明し、宇宙の構造を解き明かした、人類の歴史における最も偉大な数学の天才たちでさえ、素数を見てそこに混沌を見出したのです。
しかし2024年、Google DeepMindが構築した人工知能が、何世紀もの間天才たちが凝視してきたのと同じ数字を眺め、あるものを見つけ出しました。それはあまりにも予期せぬパターンであり、数学の構造そのものの奥深くに埋もれていたため、それを発見した研究者たちも当初は自分の目が信じられなかったほどです。こんにちは、私の名前はマシューです。今回はReef Discoveryへようこそ。
素数に関する問題についてお話ししましょう。素数とは、1より大きい整数のうち、その数自身と1でしか割り切れない数のことです。2、3、5、7、11、13といった数字ですね。非常にシンプルです。学校で習ったはずですし、数学の授業の外の廊下で起きていることや昼食のことなど、もっと気になることがあったために、1週間もしないうちに忘れてしまったかもしれません。
しかし、ここからが奇妙なところです。数直線をどこまで進んでも、素数は現れ続けます。決して終わりはありません。素数は無限に存在するのです。数学者たちはこれを2000年以上前に証明しており、その証明はエレガントで揺るぎないものとして今日でも通用しています。
このように素数が永遠に続くことは分かっています。しかし、私たちが分かっていないこと、そして誰も解き明かせなかったことは、なぜそれらがその場所に現れるのかということです。数列を見てみましょう。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。間隔が2のところもあれば、4のところ、6のところもあり、突然8になったかと思えば、また2に戻ります。パターンがあるにしても、それは肉眼では見えません。素数は、誰かがランダムに投げ散らかした数学の紙吹雪のように、数直線上に散らばっているように見えます。
そしてこれは、数学者たちにとって心の底から深く不穏なことです。なぜなら、数学はランダムであるはずがないからです。数学におけるすべてのものには構造があり、理由があり、必然性があります。2足す2は4になります。あらゆる宇宙、あらゆる物理法則のもとで、考えられるあらゆる形態の知性にとっても同様です。数学は常に正しく、常に秩序があり、常に知ることができる唯一のものです。素数を除いては。素数は、誰も読むことのできないルールに従っているかのように振る舞うのです。
古代ギリシャの数学者たちもこれに気づいていました。17世紀の数学者たちもこれに気づいていました。そして、1秒間に何十億回もの計算ができるコンピューターを手にした現代の数学者たちもこれに気づいていますが、いまだに完全な説明はできていません。
歴史上最も偉大な数学者の一人と広く見なされているカール・フリードリヒ・ガウスは、1700年代後半から1800年代前半にかけて、素数の分布を研究することに何年も費やしました。彼は近似値、つまり与えられた任意の数より小さい素数が大体いくつ存在するかを推定する方法を見つけ出しました。彼の数式はエレガントで、かなりうまく機能しました。しかし、それはあくまで近似でした。説明ではありませんでしたし、パターンでもありませんでした。数学という衣服をまとった「最も精度の高い推測」に過ぎなかったのです。そして、推測では不十分なのです。数学にとっては、そして数学者たちが生涯をかけて追い求める深い本質的な真実にとっては、十分ではありません。素数は秘密を守り続けていたのです。そして2000年以上の間、それが何であるかを解き明かせる人は誰もいませんでした。
リーマン予想という最も危険な未解決問題
1859年、ベルンハルト・リーマンというドイツの数学者が、すべてを変える論文を発表しました。すべてを変えたというのは、166年経った今でも誰も解決できないほど難しい問題を生み出したという意味です。100万ドルの懸賞金が、それを解決する人を未請求のまま待っています。数学者の中には、この問題を解決すれば数学の基礎そのものが揺るがされると信じている人もいます。
リーマンはこれほどの騒ぎを起こすつもりはありませんでした。彼はガウスよりも深く素数の分布を理解しようとしていたのです。その過程で、彼はリーマンゼータ関数と呼ばれる数学的な対象を導入しました。専門的な詳細に溺れることなく説明すると、この関数は複素数を入力として受け取り、複素数を出力として生成します。そして、この関数が0になる場所、つまりゼロ点に目を向けると、並外れたことが起こります。
それらのゼロ点は、あるパターンに従っているように見えるのです。リーマンは、自分が計算できたすべてのゼロ点が、複素平面上の特定の垂直線上に乗っているように見えることに気づきました。それは、入力の実数部が2分の1になる直線です。彼はこれが常に正しいとは証明できませんでした。なぜそうでなければならないのかも説明できませんでした。しかし、彼はデータの中にそれを見て、それを仮説として提案したのです。
リーマン予想とは、ゼータ関数のすべての非自明なゼロ点がこのクリティカルライン（臨界線）上に存在するというものです。なぜそれが重要なのか疑問に思うかもしれませんが、ここに繋がりがあります。リーマンゼータ関数のゼロ点は、素数の分布に直接結びついているのです。それらは、ガウスの近似から素数がどのように逸脱するかという正確なあり方を記述しています。
もしリーマン予想が正しければ、素数は見た目ほど混沌としていないということになります。その分布には隠された秩序があり、その秩序はこのクリティカルラインにエンコードされているのです。もしこの仮説が偽りであり、クリティカルラインから外れた場所にゼロ点がたった一つでも潜んでいれば、素数がどのように分布しているかという私たちの理解全体が根本から間違っていることになります。数学、そして数学に依存するあらゆる分野への影響は甚大なものになるでしょう。
1859年以来、数学者たちは計算によって、リーマンゼータ関数の最初の10兆個のゼロ点がすべて正確にクリティカルライン上にあることを検証してきました。10兆個のゼロ点が、すべてリーマンの予測通りに振る舞っているのです。それにもかかわらず、10兆1番目のゼロ点や、その次のゼロ点、あるいはさらに何十億桁も先にあるゼロ点が同じように振る舞うかどうかを証明した人は誰もいません。
これは、クレイ数学研究所が2000年に指定した7つのミレニアム懸賞問題の一つです。どれか一つでも解決すれば、100万ドルと、現存するすべての数学者からの永遠の称賛を手にすることができます。これらの賞が発表されてからの24年間で、解決されたのはちょうど一つだけです。リーマン予想は未解決のまま残されています。
これから話を進めるにあたり、この文脈を頭に留めておいてほしいのです。というのも、DeepMindが発見したのはリーマン予想の証明ではないからです。この点は非常にはっきりさせておく必要があります。しかし、それはそれと同じくらい重大な何かかもしれません。誰も存在を知らなかった鍵であり、誰も見つけ方を知らなかった扉を指し示しているのかもしれないのです。
DeepMindが実際に構築したもの
Google DeepMindは一般的な研究研究所ではありません。2023年にGoogle BrainとDeepMindという、地球上で最も強力な人工知能研究チームの2つが統合されて誕生しました。そのリソースと才能の結集は、大半の大学の数学科が朝のコーヒーを飲みながら静かに涙を流すほどの組織です。
そしてDeepMindは、今回の発見が起こる前からすでに数学者たちを居心地の悪い気分にさせていました。2022年、DeepMindのAIシステムは結び目理論と表現論に真の貢献を果たしました。これらは応用分野ではありません。資金調達やヘッドラインを正当化するような、分かりやすい現実世界の利益をもたらす問題ではないのです。これらは純粋数学の深い領域であり、研究者が生涯を費やしても必ずしも新しい発見があるとは限らない場所です。DeepMindのAIは人間の数学者と協力し、これまで誰も特定していなかった関係性を見出しました。Nature誌はその成果を掲載し、数学界は、予期せぬものがドアから入ってきたときに特有の、興奮と不安が入り混じったあの感情を持って注目しました。
しかし、素数プロジェクトは毛色が異なり、より野心的で、より根源的であり、人類の思考の歴史における最も古い未解決問題の一つに直接向けられていました。このプロジェクトとそれ以前の成果とのギャップは、小さな一歩ではありませんでした。全く異なるカテゴリーの問いだったのです。
DeepMindが投入したシステムは、トランスフォーマーアーキテクチャに基づいて構築されていました。この言葉に聞き覚えがあるなら、当然のことです。これは、ここ数年のテクノロジーニュースを席巻している大規模言語モデルを支えているものと同じ基礎的な設計です。テキストを生成し、コードを書き、会話を交わすことを学んだのと同じ基本構造が、ここでは全く異なるものに向けられました。
言語でトレーニングする代わりに、DeepMindはそれを数学、具体的には素数とリーマンゼータ関数のゼロ点との関係性についてトレーニングしました。膨大な量の数値データを投入し、一見すると不自然なほどシンプルなことを行ったのです。彼らはAIに、構造を見つけるよう求めました。
ヒントも、推奨される方向性も、出発点としての理論的枠組みも与えませんでした。この部分が、私が心から魅了され、正直に言えば、いまだに自分の中で整理がつかないほど少し不穏に感じているところです。研究者たちはAIに何を探すべきかを教えませんでした。これとこれの間に繋がりがあると思うから、正しいか確認してくれ、と言ったわけではないのです。彼らは、ここにデータがある、パターンを見つけて報告してくれ、と言ったのです。
それは些細な手法のディテールに聞こえるかもしれませんが、違います。これはこの物語全体の中で最も重要な側面の一つです。人間の数学者はこのような働き方をしません。人間の注意は有限であり、人間の直感はそれまでに存在したすべてによって形作られているため、そのような働き方はできないのです。数学者が素数を研究しようと机に向かうとき、彼らは2000年にわたって蓄積された数学的文化を携えています。彼らには理論的枠組みがあり、長年のトレーニングから築かれた直感があります。そして認めるか否かにかかわらず、興味深い構造がどこに存在しそうで、どこを注意深く探しても無駄そうかという、一連の先入観を持っています。
それらの先入観は、ほとんどの場合において非常に有用です。注意を集中させ、研究を扱いやすいものにします。数学者が生涯を行き止まりの追跡に費やすのを防いでくれます。しかし同時に、盲点も生み出してしまうのです。
AIにはそうした荷物が一切ありませんでした。理論的なこだわりもなければ、特定の答えが正しくあってほしいというキャリア上の投資もありません。ある種のパターンを見て、他のパターンは見ないという何十年もの経験から作られた直感もありません。数学的な景色のどこかの領域を、すでに理解されているから深く調べる価値はない、と扱う理由もありませんでした。AIはただ、完全に文脈から切り離された、理論に縛られない注意を持って眺めたのです。そしてAIが目にしたものは、2000年に及ぶ人間の数学的直感が、気づくこともなくそのまま通り過ぎていた何かでした。
誰も探していなかったパターン
ここからは細心の注意を払って聞いてください。AIが発見したものは、日常の言葉で説明するのが本当に難しいものですが、最善を尽くします。もし少し間違っていたら、これを見ている数学者の方々にあらかじめ謝罪しておきます。どうか大目に見てください。先ほども言いましたが、私は微積分でCマイナスをとった身ですから。
AIは、素数の分布と、L関数と呼ばれる特定の代数構造との間の、これまで認識されていなかった関係性を特定しました。L関数とはリーマンゼータ関数を一般化したものです。これらは数論の至る所に現れ、関連する数学的対象に関する深い情報をエンコードしています。数学者たちはこれらを1世紀以上にわたって研究してきました。
しかしAIは、素数とL関数の関係性の中に、人間の研究者が見落としていたものを見つけました。それは、素数と素数の間隔、つまり何千年間も説明を拒んできた数直線上のあのランダムに見える空間が、隠された統計的シグネチャー、いわば指紋を持っているということでした。そのパターンは、異なるスケール、数直線の異なる範囲、そして異なる素数のファミリーにわたって一貫して現れたのです。
このパターンは、小さな素数を見ているときにはすぐには分かりません。2、3、5、7を見ても、何も浮き彫りにはなりません。しかし、数直線をさらに進み、数十桁、数百桁の素数の領域に入ると、そのシグネチャーはより明確になります。AIは、リーマンゼータ関数のクリティカルラインにおけるゼロ点の振る舞いから導き出される正確な予測と一致する、ギャップ構造の相関関係を検出したのです。
平易な言葉で言えば、AIは、素数の間隔が一見ランダムに見えるのは決してランダムではないという証拠を見つけました。それは構造化されているのです。ただその構造が、コンピューターの支援なしには人間のパターン認識が到達できないほど、数学的に深いレベルで作用しているだけなのです。
研究者たちが自分たちの見ているものを理解した瞬間、部屋の中は一気に静まり返ったそうです。チームメンバーの一人はその後のインタビューで、100回も眺めたはずの絵画の中に突然顔が見えてきたときのような感覚だったと表現しました。情報は常にそこにありました。パターンは常にデータの中に存在していたのです。しかし、それを見るためには異なる種類の眼が必要でした。
私はその表現についてよく考えます。というのも、この物語全体を通じて何度も立ち返ってしまう問いを突き動かすからです。私たちが何世紀も凝視してきた絵画の中に、他にどれほどの顔が隠されているのだろうか。私たちが理解していると思っている数学の中に、どれほどのパターンが存在しているのだろうか。異なる種類の知性が現れてそれを指し示してくれるのを、ただ待っているだけのパターンが。その問いに、心地よい答えはありません。
専門的な用語で表現された具体的な知見によると、素数の間隔の2点相関関数、つまり離れた距離の間でギャップがどのように関連し合っているかを測る数学的な尺度が、ランダム行列理論の予測と、これまで実証されていたものを大幅に超える精度で一致していることが示されました。
ランダム行列理論は、もともと1950年代に重い原子核のエネルギー準位を記述するために開発されたものです。それが素数の振る舞いも記述しているらしいということは、1990年代から大まかには知られていました。しかしAIは、これまで誰も記録していなかったほど、この繋がりのより強固でより具体的なバージョンを発見したのです。AIは、この繋がりが既存の理論的枠組みの予測よりも深く、素数の構造の奥深くまで及んでいることを見出しました。パターンは、理論がここで止まるはずだと言っていた場所で止まらなかったのです。それはさらに続いていました。
目の前に隠されていた証拠
DeepMindのチームがAIの発見したことの意味を遡って調べ始めたとき、彼らはその発見自体と同じくらい不穏に感じられるであろう事実に気づきました。このパターンの証拠は、何十年も前から数学のデータセットの中に存在していたのです。どこか薄暗いアーカイブに隠されていたわけでも、未発表の論文に閉じ込められていたわけでもなく、世界中の研究者が何年も前からアクセスしていたデータベースに、利用可能な状態で記録され、置かれていたのです。データはそこにありました。パターンはそのデータにエンコードされていたのに、誰もそれを見ていませんでした。
分かりやすく説明しましょう。1980年代以降、数学者たちはコンピューターを使って素数を計算してきました。2000年代初頭には、天文学的な範囲に及ぶ素数表が自由に利用できるようになっていました。リーマン予想を研究する研究者たちは、高度な統計ツールを使って、何十年も前から素数データにおける分布や相関関係を分析してきたのです。
それでも彼らは見落としました。彼らが十分に賢くなかったからでも、熱心に探していなかったからでもありません。どこを探すべきか、そして同じくらい重要なこととして、どこを探すべきではないかを指示する既存の理論的枠組みに導かれ、人間の眼で探していたからです。
AIにはそのような枠組みはありませんでした。数学的景色のこの領域はすでに理解されているから、あまり注意深く調べる必要はない、などという理論的な先入観は持っていませんでした。AIはすべてを、同じ容赦のない、文脈から切り離された注意深さで調査したのです。そうすることで、既存の理論では構造が実際よりも目立たないはずだとされていた場所から、構造を見つけ出したのです。
適切な数学的空間でそれを視覚化すると、そのパターンは振り返ってみればほとんど明白であるように見えます。ここで注意したいのは、これがこの物語全体の中で最も重要なポイントの一つだと思うからです。あることが振り返ってみれば明白に見えるからといって、それが事前に発見可能だったことを意味するわけではありません。人間の認知には、今やはっきりと見えるものは最初から見えていたはずだと信じたがるバイアスがあります。しかし、発見とはそのようにして起こるものではありません。洞察も、そして確かに数学も、そのようには機能しないのです。
DeepMindの発見を検証した数学者たちは、一様に同じ経験を語っています。パターンの場所を示された後にそれを見ると、それは自明であるように見えます。しかし、誰一人として、自分だけでそれを見つけられただろうとは言いません。人間の数学的直感がこの特定の構造を見つけ出すと期待できたはずの理論的な理由を、誰一人として指摘できないのです。パターンは目の前に隠されていました。しかし、それを見るためには機械が必要だったのです。
このパターンが実際に意味すること
ここからは、その含意が本当に追いきれないほどの方向へと枝分かれしていく部分に入ります。なぜなら、AIが見つけたものは単なる珍事ではないからです。それは数学の構造を支える基礎となり得るものです。
DeepMindが特定した、素数の間隔の分布とランダム行列理論との間のより強固な繋がりは、リーマン予想に直接的な含意を持ちます。これは仮説を証明するものではありません。重要であり、またこの物語の一部の大げさな報道が真逆のことを示唆していたのを目にしたため、繰り返しておきます。AIはリーマン予想を証明していません。AIが行ったのは、リーマンが特定した構造が、既存の理論が説明しているよりもさらに深く素数に組み込まれているという、新しい実証的な証拠を提供したことです。
このように考えてみてください。ある特定の山の頂上が、特定の場所にあることを証明しようとしているとします。あなたはいろいろな角度からの測定値を持っており、それらはすべてあなたの仮説と一致しています。DeepMindの発見は、これまで誰も見ようと思わなかった角度から、従来のどの方法よりも高い精度で、あなたの仮説と一致する結果をもたらす新しいカテゴリーの測定方法を発見したようなものです。それは山頂があなたの思う場所にあることを証明するものではありませんが、それ以外の説を弁護することをはるかに困難にします。
この研究をレビューした複数の数学者は、これがリーマン予想が正しいことを示す、これまでの計算の中で最も説得力のある証拠だと表現しています。証明ではなく、証拠です。数学においてその区別は譲れないものであり、この物語を誠実に伝えるためには、その違いを尊重しなければなりません。
しかし、その証拠は鮮烈です。もしリーマン予想が偽りであるならば、AIが見つけたパターンを説明することは極めて困難でしょう。素数の間隔の構造とクリティカルラインのゼロ点との繋がりはあまりにも正確で、一貫しており、深く組み込まれているため、数学的な彼方のどこかにクリティカルラインを外れた不正なゼロ点がたった一つ存在するだけでも、ほぼ確実にその調和は崩れてしまうからです。AIが調査した範囲において、それが崩れていないという事実には大きな意味があります。
そして一部の数学者たちは今、直接的な証明ではなく構造的な関係性を探すというAIのアプローチが、実際に仮説を証明するための新しい戦略を指し示しているのではないかと問い始めています。力任せの計算や、166年間失敗し続けてきた伝統的な証明技法によるものではなく、なぜその構造がそもそも存在するのかという、より深い理解を通じてのアプローチです。それこそが、DeepMindの発見が切り開く問いです。そしてそれは、これまで誰も問いかけるための適切な道具を持っていなかった問いなのです。
懐疑論者たちと議論
もしここで、ブレーキをかけている人たちについて時間を割かなければ、私はあなたに対して不誠実なことをしていることになるでしょう。というのも、真剣な数学者たちが真剣な異議を唱えており、彼らの懸念は無視されるべきではなく、誠実に向き合うに値するものだからです。
核心的な批判はこうです。パターン認識は証明ではない、ということです。AIが数値データの中に統計的なパターンを見つけたことは、どれほど見事であれ、なぜそのパターンが存在するのかという数学的な証明とは同じではありません。そして数学においては、その区別こそがすべてなのです。定理は証明されるまでは定理ではありません。パターンは、その背景にあるメカニズムを理解するまでは法則ではないのです。
数学者の中には、統計学で時に「Pハッキング」と呼ばれる現象について懸念を示す人もいます。これは、大規模なデータセットの中で有意に見えるものの、実際には分析手法が生み出したノイズに過ぎないパターンを見出してしまう傾向のことです。強力な機械学習システムに膨大な数学的データを与えてパターンを探させれば、システムはパターンを見つけ出します。問題は常に、それらのパターンが本物の数学的構造を反映しているのか、それとも探索の行われ方によるものなのかということです。
DeepMindのチームは、発表された論文の中で厳密な統計的制御と検証手法を用い、彼らが発見したものは探索によるノイズではないと主張して、これらの懸念に直接応えています。しかし、数学界の一部には、その制御が十分であるとはまだ確信していない人々もいます。
また、より深い哲学的な反論もあります。伝統的な見方において、数学は証明の上に築かれています。証拠でも、確率でも、統計的な有意性でもなく、証明です。証明があるかないかのどちらかです。そして、どれほど説得力のある計算上の証拠であれ、数学者が重んじる意味での実際の数学的知識の境界線を越えることはありません。
この異議は公正であり、重要なものです。しかし、私はそれが何かを見落としているとも思います。数学の歴史は、実証的な観察が証明に何年、何十年、あるいは何世紀も先行したケースで溢れています。フェルマーの最終定理は1600年代にパターンとして観察されましたが、証明されたのは1995年のことです。観察は証明ではありませんでしたが、無価値でもありませんでした。DeepMindが見つけたものは、無価値ではないのです。
なぜこれですべてが変わるのか
この物語の中で、あなたが本当に気にかけるべき部分について話しましょう。破滅的な意味ではなく、気づいているかどうかにかかわらず、これがあなたの日常生活に影響を与えるという意味で、注目してほしいのです。
現代のインターネットのセキュリティは素数に依存しています。具体的には、2つの大きな素数を掛け合わせることは計算上簡単である一方で、その結果を元の素数に因数分解することは計算上非常に困難であるという事実に依存しています。この非対称性が、世界中の膨大な割合のオンライン通信、金融取引、そして機密データを保護しているRSA暗号の基礎となっています。
これが機能する理由は、私たちが知る限り、素数が予測不可能な形で分布しているからです。要求に応じて大きな素数を簡単に見つけることはできませんし、それらがどこに現れるかを簡単に予測することもできません。素数の一見ランダムに見える性質は、単なる数学的な好奇心の対象ではありません。それはデジタル経済のインフラに組み込まれたセキュリティ機能なのです。
もし素数が私たちが思っていたよりもランダムではないことが判明し、DeepMindが見つけたパターンが素数の分布におけるより深い予測可能性を指し示しているのだとすれば、暗号技術への影響は重大です。すぐに、あるいは明日の朝にカタストロフが起きるというわけではありませんが、暗号解読者やセキュリティ研究者がすでに密室で、そしてますます発表される論文の中で議論しているという意味で重大なのです。
ここで重要なニュアンスがあります。素数の間隔の中に統計的なパターンを見つけることと、特定の大きな素数がどこに現れるかを予測できるようになることとの間には、非常に大きな隔たりがあります。DeepMindが特定したパターンは統計的なレベルで作用しています。それは個々の場所ではなく、集計された振る舞いを記述しているのです。素数の間隔が特定の統計的な指紋を持っていると知っていても、ある数の次にある素数がどこにあるかを教えてくれるわけではありません。
しかし、暗号解読者たちを神経質にさせているのは次の点です。素数の中に新しい構造を発見するたびに、それは最終的に新しい数学的道具へと繋がってきました。そして新しい数学的道具というものは、発明者が予期しなかった応用方法を見出す性質を持っています。数学の歴史は、何十年も後になって非常に実用的な結果をもたらすことになった純粋な研究成果で溢れています。DeepMindの発見もそうした成果の一つかもしれません。それが分かるのは何年も、おそらくは何十年も先のことでしょう。しかし、その問いは以前とは異なる形で今、テーブルの上に置かれており、デジタルの通信を安全に保つ責任を負う人々が注目しています。
誰も問いかけていないより大きな問い
専門的な詳細から少し離れて、一歩引いてみましょう。この物語には、特定の数学的発見のどれよりも興味深い問いが埋もれており、それはDeepMindの発見によって、避けるのが難しい形で公の場に引きずり出された問いだと思うからです。
数学は発見されたものなのか、それとも発明されたものなのか。これは数学の哲学における最も古い問いの一つです。時に数学的プラトニズムと呼ばれる一派は、数学的対象はある根本的な意味で実在していると考えます。素数は人間の心とは独立して存在しています。リーマン予想は、私たちがそれを証明したからではなく、数学的現実がそうであるからという理由で、今この瞬間も真か偽のどちらかです。数学者が定理を発見するとき、彼らはそれを作っているのではなく、常にそこにあった何かを見つけているのです。
もう一派は、数学は人間の構築物であり、世界の中のパターンを記述するために私たちが発明した言語であると考えます。見事で途方もなく有用ですが、究極的には現実の独立した特徴というよりも、人間の心の産物であるという見方です。
DeepMindの発見は、驚くべき形でこの議論に関連してきます。なぜなら、素数が存在する限りずっと素数の中に存在し、2000年以上にわたって人間の数学的直感には完全に目に見えなかったパターンを、人間以外の知性が必要となって初めて目にすることができたのだとしたら。その事実は、数学的知識の本質について何を物語っているのでしょうか。
それは少なくとも、人間の認知がシステム上気づきにくい数学的現実の特徴が存在することを示唆しています。私たちが絶対的な意味で十分に賢くないからではなく、私たちのパターン認識が進化や文化、そして物理世界で有限の命を生きる生物学的な生物にとって重要となる特定の種類の問題によって形作られているからです。
AIにはそのような形作られ方はありません。AIはデータをデータとして見ます。その構造が人間に面白がられるか、既存の理論的ナラティブに適合するか、良い論文になるか、あるいは研究者が望む結果を裏付けるかどうかなら気に留めることもなく、構造を見出します。そして、その文脈に縛られない注意深さの中で、AIは本物の何かを見つけたのです。
私はそれに興奮すると同時に、少し謙虚な気持ちにもさせられます。なぜならそれは、数学の宇宙が人間の心がこれまでにマッピングできたものよりも大きいこと、そして私たちが、どれほど高度であれ特定のあり方で見るために作られた道具を使って、広大な景色を探索してきたに過ぎないことを意味するからです。そして、その景色の中には、検出するために異なる道具を必要とするものが存在しているのです。
それは絶望する理由にはなりません。異なる眼がそれを見つけるのを待っている何かが、他にどれほど存在しているのだろうかと、好奇心を抱く理由になるのです。
私たちはここにたどり着きました。Google DeepMindのAIは、2000年に及ぶ人間の数学的探求が見落としていた素数の数学的パターンを発見しました。そのパターンは、既存の理論が予測していたものを超える精度と深さで、素数の間隔の分布をリーマンゼータ関数の構造へと結びつけています。これはリーマン予想を証明するものではありませんが、その仮説が正しいという鮮烈な新しい証拠を提供し、なぜそうなのかを考えるための新しい戦略的方向性を切り開いています。
その含意は、純粋数学から暗号技術、そして数学とは実際に何なのか、どのような心がそれを成し遂げられるのかという哲学的な問いにまで及びます。そしておそらく最も重要なこととして、人間の知性が発見可能なすべてを発見したという前提、私たちに見えるパターンだけが存在する唯一のパターンであるという前提は、おそらく手放すべきだということを思い出させてくれます。
素数は2000年以上の間、秘密を守り続けてきました。AIは2024年にその秘密の一片を見つけました。まだ見ぬ破片は、どれほど残されているのでしょうか。私はマシューです。Reef Discoveryでした。また次回の動画でお会いしましょう。
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