ポーランドの数学者が、加減乗除から三角関数まで、あらゆる数学的操作を単一の関数EML(指数マイナス対数)で表現できると主張する論文を発表した。この関数はe^x – log(y)という形式で、組み合わせることで指数関数や対数はもちろん、四則演算や複素数、三角関数までも導出可能である。コンピュータ論理におけるNAND演算が全ての論理ゲートを構築できるように、EMLは科学計算における同等の役割を果たす可能性がある。実用的には、機械が数式を探索する際の統一的な言語として記号回帰に応用できるかもしれない。数学の複雑さが実は見かけほどではないことを示す一方で、何を「単純」とするかは主観的であるという哲学的問いも投げかける論文である。
全ての数学的操作を一つの関数で表現する試み
足し算、引き算、xかけるy、xのy乗、サインやコサイン。数学というのは数に対して実行する複雑な操作で満ちています。そして今、野心的な新しい論文が登場し、実はこれら全てを単一の操作だけで実行できると主張しています。かなり大胆な主張ですよね。
もしかしたらこれで、アメリカ人が数学を単数形で扱う一方、イギリス人が複数形で扱う理由がついに説明できるかもしれません。実際に論文を読んでみました。この新しい論文は数週間前にアーカイブに掲載されたプレプリントで、ポーランドの数学者によるものです。彼が言うには、全てを提供できる唯一の操作というのは、ある数xの指数関数を計算して、そこから別の数yの対数を引くというものです。彼はこれをEMLと呼んでいます。指数マイナス対数の略ですね。
例えば、EML関数にxと1を代入すると、eのx乗マイナスlog1になります。log1はゼロです。したがって、単純に指数関数が得られるわけです。対数そのものも導き出せます。それには、まずEMLの1とxを計算します。これでeマイナスlog xが得られます。
次にこれを別の1と一緒に最初のスロットに戻します。つまりEML(EML(1,x),1)となり、これはeのeのマイナスlogx乗になります。そしてこれをまた1を最初のスロットに入れてEMLの2番目のスロットに戻します。代数的な手順を実行すると、余分な部分が全て相殺されて、log xだけが残ります。つまり、同じ関数が間接的に指数と対数の両方を提供してくれるわけです。
標準的な演算の導出方法
では、加算、減算、乗算といった標準的な演算はどうやって得られるのでしょうか。実は全部そこに含まれているんです。引き算を例に取りましょう。先ほど見たように、EML操作を通じて指数関数と対数を表現できます。それらをML関数に戻すと何が得られるでしょうか。XマイナスYが得られます。マイナスYを入れるだけで足し算も簡単に得られます。そして今度は、2つの対数の和を指数関数の指数部分に入れることができるとわかります。
これで掛け算が得られます。そして掛け算があれば、累乗を定義できますし、そこからどんどん続いていきます。三角関数を得たい場合は、まず虚数が必要になります。虚数は負の数の対数から得ることができますが、これには分岐切断が伴います。
些細な間違いのように聞こえるかもしれませんが、単に負の数に対する対数を定義するだけなんです。これを得れば、複素数が得られ、サイン、コサイン、さらには円周率πまで得られます。私の知る限り得られないのは、無限の極限を考慮しない場合、ゼロと1から出発して全ての実数を得ることです。しかし著者はこれを明示的には主張していません。
著者が主張しているのは、全ての数学的操作が得られるということです。この論文はまだ査読を受けていませんが、私はかなり確信を持って正しいと考えています。オンラインで多くの人が対数の恣意的な分岐切断について心配しているのを見ましたが、それは関係ないと思います。
確かに、別の選び方をして複素数の異なる定義を得ることもできますが、それでも機能するはずです。さて、皆さんはこれが実際に役に立つのかどうか疑問に思うかもしれません。答えは、普通の人にとってはおそらくノーです。誰も通常の電卓を、15個の異なる操作をネストしてコサインを再構築するよう求める不条理な単一ボタンを持つ電卓に置き換えたりしないでしょう。興味深いのは構造的な部分です。
実用的な応用の可能性
コンピュータの論理において、NANDと呼ばれる論理演算があります。これ単独でコンピュータ内の通常の論理ゲート全てを構築するのに十分です。この論文は、通常の連続数学におけるその類似物を見つけようとしています。主張としては、EMLは科学計算機のための一種のNANDゲートであり、実用的な側面の可能性があるということです。
通常の公式が全て、繰り返される構成要素で構成されたツリーとして書き直せるなら、これはコンピュータで公式を探索する非常に統一的な方法を提供します。著者は、これが記号回帰、つまりデータセットの背後にある方程式を推測しようとする作業に役立つ可能性があると示唆しています。
したがって、これは人間が数学をするのを助けるというより、機械に方程式を探索するためのより単純な言語を提供することに関わっているのかもしれません。それは良いことです。なぜなら、もし機械が科学を引き継ぐなら、少なくとも整然とした方法でやってくれるでしょうから。私はこの論文に、くだらなさメーターで10点満点中ゼロを与えます。素敵な論文です。この点は誰にとってもそれほど驚くべきことではないと思いますが、これまで誰も考えつかなかったというのは驚きです。
複雑さと単純さの主観性
この結果を解釈する方法は2つあります。1つは、数学が実際よりも複雑に見えるということです。もう1つの解釈は、私たちが複雑だと考えることは非常に主観的だということです。10種類ほどの異なる操作を使う方が、単一の操作を20回もその内部にネストするよりも単純かもしれないと正当に主張できるでしょう。結局のところ、単純さをどう定量化するかに依存します。
これは物理学の基礎も悩ませている問題です。なぜなら、単純さの測り方について合意できていないのに、単純な説明の方が優れていると言うとき、私たちは本当に何を意味しているのでしょうか。あるいは、単に数学者が時間を持て余しているだけという意味かもしれません。
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