素数は算術の原子であり、数学における最も基本的な対象でありながら、依然として多くの謎に包まれている。双子素数予想やリーマン予想といった最も基本的な問いでさえ、何百年、何千年もの間、数学史上最高の頭脳によって研究されてきたにもかかわらず未解決のままである。フィールズ賞受賞者であるJames Maynardは、素数の分布に関する研究を通じて、これらの難問に部分的な進展をもたらしてきた。本動画では、素数とは何か、なぜそれが重要なのか、そしてリーマン予想のような大きな未解決問題に対して現代数学がどのようにアプローチしているのかが語られる。さらに、AI時代における数学研究の未来と、人間の創造性の本質についても考察が示される。
素数とは何か、そしてなぜ重要なのか
素数というのは、こう、抽象的で神秘的なものなんですよね。算術の原子とでも言いましょうか。素数に関する最も基本的な問いの多くが、今日でも未解決のままなんです。何百年、何千年にもわたって数学史上最高の頭脳によって研究されてきたというのにね。もし皆が同じ方法で問題について考えて、標準的な手法が全て行き詰まってしまったら、何か違うことをする必要があるんです。
Jamesさん、今日はお話を聞かせていただき本当にありがとうございます。いえいえ、こちらこそ嬉しいです。まず最初に、あなたが誰で、ここで何をされているのか、簡単に自己紹介していただけますか。
私はJames Maynardです。オックスフォード大学で数学と整数論の教授をしています。純粋数学、特に整数論の問題に取り組んでいます。具体的には整数に関する問題で、私の専門分野は素数の分布です。
素数という奇妙なものは、一体何なんでしょうか。
素数というのは、それ自身と1以外の2つのより小さな数で割り切れない整数のことです。例えば4は素数ではありません。2×2と書けますからね。でも3は素数です。3を2つの整数の積として書くと1×3か3×1しかないですから。
素数が数学者にとって重要なのは、算術の原子だからです。全ての整数は、素数の積として一意に表すことができるんです。つまり、整数に関する複雑な問いを、素数に関するより単純な問いに分解できることがよくあるということです。化学者が化合物を理解するために構成原子を理解しようとするのと同じように、純粋数学者は整数を理解するために構成素数を理解しようとするわけです。
素数と自然界、そして音楽
でももう一つ、素数が数学における基本的な対象であるがゆえに、素数は自然界の様々な側面や音楽の作曲の様々な側面に現れることが分かっているんです。2と4のようにお互いを割り切る数があると、物事はきちんと収まります。でも5や7のような素数があると、非常に長い期間、同期がずれたままになることが多いんです。
ある種のセミの休眠サイクルが素数年続くのは、捕食者と同期をずらすためだと示唆されていますし、特定の音楽家が不協和な音楽効果を出したいときには、意図的に異なる素数拍子を使って、物事を最大限長く同期させないようにします。
つまり、純粋数学におけるこれらの非常に抽象的な対象が、自然界や音楽、芸術の中に現れ始めるわけです。なぜなら、物事が同期しているか、あるいは同期していないかといった基本的な考え方と根本的なつながりがあるからなんです。
素数の魅力的なところは、整数の基本的な構成要素であるにもかかわらず、純粋数学者にとっては非常に神秘的なままだということです。素数に関する最も基本的な問いの多くが、今日でも未解決のままなんです。何百年、何千年にもわたって数学史上最高の頭脳によって研究されてきたというのにね。
双子素数予想への挑戦
あなたはいくつかの問題を解決されていて、成功も収めていらっしゃいますね。キャリアの初期における成果の一つが双子素数予想です。双子素数予想とは何か、そしてなぜそれが人々がこれほど興味を持ち続けている問題なのか、説明していただけますか。
ええ、もちろんです。双子素数予想というのは、ちょうど2だけ差のある素数のペアが無限に存在するという主張です。例えば3と5は両方とも素数で、差が2です。5と7もそうですね。コンピューターで調べると、たくさんたくさん見つかるんです。
だから自然な推測としては、無限に存在するはずだということになります。この問題は非常に悪名高い問題です。素数の分布に興味があるなら尋ねられる最も基本的な問いの一つかもしれません。素数はどれくらい近づくことができるのか。整数ですから、差は整数になりますよね。そして2が唯一の偶数素数なので、ちょうど1だけ差がある素数のペアは2と3だけです。
2というのは、2と3の間のギャップ以外では、素数間の最小のギャップなんです。そして、この最小のギャップが無限回起こるという主張なんです。これは非常にシンプルに言える問題ですが、素数の分布に関する根本的な問題であることが分かります。そして、この路線に沿った問いは、純粋数学の他の分野や暗号理論で出てくる重要な問いと非常に密接に関連しているんです。
だからより広い応用もあるわけです。素数の分布に関する我々の理解不足を象徴するようなもので、それゆえに注目度の高い、魅力的な問題の一つなんです。
2013年にYitang Zhangによる大きなブレークスルーがありました。彼は初めて、7000万という数が存在して、7000万以下しか離れていない素数のペアが無限に存在することを示したんです。
数直線を進んでいくと、通常、素数間のギャップはどんどん大きくなっていきます。これは分かっています。でも双子素数予想が問うているのは、異常に近くに来るこれらの特殊な素数のペアについてなんです。Zhangの大きなブレークスルーは、双子素数予想そのものの証明ではありませんでしたが、異常に近くに来る素数が確かに存在することを証明できる、この弱いバージョンを証明できたということです。
素数のギャップが数直線を進むにつれて避けられず大きくなっていくだけではないということです。彼の研究のすぐ後、私はこの問題を研究する別の方法を考え出しました。これも、素数が近くに来ることの別の証明だったんですが、さらに素数の塊が近くに来ることも示したんです。
そしてその後、素数間のギャップを最適化する共同プロジェクトで、現在の世界記録は、246以下しか離れていない素数のペアが無限に存在するというものだと思います。246はまだ2よりもかなり大きいですけどね。でも、異常に近くに来るこれらの素数が存在することを示しているわけです。
そのギャップは常に縮小しているわけですが、素数のペア間でね。予想が主張する2にどれくらい近づいているんでしょうか。
まだかなり遠いですね。246でもう10年ほど立ち往生しています。もう少し改善できる余地はあるかもしれませんが、100を下回るのは標準的な手法の範囲外のようです。でも、これを証明するために使われた方法全体の最も楽観的なバージョンを取ったとしても、2まで到達するには大きな障壁があるんです。
私たちはこの方法全体とこの素数ギャップを研究する方法全体に投入される最も楽観的な入力を仮定すれば、6以下しか離れていない素数のペアが無限に存在することを示せるが、2は得られないという結果も出しました。だから双子素数予想そのものに到達するには、大きな新しいアイデアが必要なんです。
でも、少なくとも100年以上前からある素数に関する有名な未解決問題があって、数学史上最高の頭脳の何人かによって研究されてきたにもかかわらず、現代数学はまだこれらのいくつかに進展をもたらすことができるという原理の証明にはなっています。たとえ部分的な進展だけだとしても。
フィールズ賞受賞の瞬間
何か正しいことをされているに違いありませんね。4年前、あなたは数学の偉大な栄誉であるフィールズ賞を受賞されました。40歳未満の数学者のノーベル賞のようなものですよね。2022年に受賞されましたが、きっとキャリアと人生における大きな瞬間だったと思います。ニュースを聞いたときのことや、どこにいたか、どんな会話をしたか、まだ覚えていらっしゃいますか。
ええ。私たちは最近家を買ったばかりで、家を改装していたんです。実はその時、梯子に登ってペンキを塗っていたんですよ。水を飲みに降りてきたか何かで、携帯電話を見たら国際数学連合(IMU)会長からのメールがあることに気づいたんです。Zoomで話がしたいと。
そこで初めて、もしかしたらフィールズ賞を受賞したかもしれないという強い予感がしました。必死に自分に言い聞かせようとしていたんです。彼は私を何か委員会に入れたいだけで、これは何か退屈なことなんだろうって。でもそこからワクワクし始めました。他にほとんど選択肢がなかったですからね。
そこで本質的に初めてニュースを受け取ったわけです。そして彼とZoomで話して、幸運なことに彼はとても親切で、すぐ本題に入って、IMUが私にフィールズ賞を授与したいと言ってくれました。素晴らしい経験でした。
心臓がドキドキしていたのを覚えています。以前の受賞者Perelmanが賞を辞退したという状況があったので、彼は「この賞を受け入れますか」と尋ねてきたんです。それで、人生で最も超現実的な経験の一つだったのを覚えています。「はい、フィールズ賞を受け入れます」と言ったんです。
心臓がドキドキしていたので、その瞬間、なぜかすごく妄想的になっていて、うっかり「いいえ、フィールズ賞が欲しいです」とか言ってしまわないかと心配だったんです。だからゆっくりと言ったのを覚えています。「はい、フィールズ賞を受け入れます」って。そのフレーズは長い間私の中に残るでしょうが、完全に超現実的な経験でした。
きっと間違えて「いいえ」と言ったとしても受け入れてくれたと思いますよ。取り消せますからね。フィールズ賞受賞者の歴史を振り返ると、本当に名誉ある名前が並んでいますよね。Terence Tao、Timothy Gowers、Edward Wittenなど、いくつか挙げるだけでも。
そうした名前の中に自分が属していると感じられるようになりましたか。時間が経って、自分もそうした人々の一人だと感じられるようになりましたか。
そういうことを言うのはとても難しいですね。日常生活では、自分がフィールズ賞受賞者だと感じることはありません。ただの普通の数学者だと感じています。だから、歴史上の驚くほど有名な数学者たちのリストに自分の名前が載っているのを見ると、確かに少し奇妙に感じます。私が非常に尊敬してきた人たちですからね。
だから正直に答えるなら、いいえです。必ずしも自分をトップクラスに分類はしないでしょう。でも同時に、それは日常的に考えていることでもありません。フィールズ賞を受賞したことを非常に誇りに思っていますが、私の本当の誇りは自分の研究成果にあります。定理こそが数学の基本なんです。
だから私の原動力は常により多くの定理を証明することであり、自分が証明してきた定理にとても満足しています。リストにいる他の人たちと自分を比較することにあまり時間を費やしていません。
研究数学者の日常
自分を普通の数学者だとおっしゃいましたが、多くの人が数学者について考えるとき、外国語のような記号や予想や理論で埋め尽くされた黒板を想像すると思うんです。普通の数学者が何をしているのか、そのイメージを掴むのはかなり難しいですよね。こうした方程式などを見たときに、一般の人々が感じるのと同じくらい混乱していると感じますか、それとも現役の数学者としての自分の役割をどう見ていますか。
面白い研究をするという点での全体のポイントは、これまで理解されたことのないものを理解しようとしているということです。だから私は一日のほぼ全てを、自分にとって完全に混乱していて、本当に理解できない対象について考えようとすることに費やしています。
時々、少し理解を得られる小さな洞察の瞬間があります。でも、大部分の時間、本当に何が起こっているのか全く理解していないということです。だから数学者になりたいなら、その不確実性と知識の欠如を受け入れなければならないと思います。
もう一つ、研究数学者であることの現実と、子供の頃の数学者がどんな感じかという私の認識との間で最も違うと感じるのは、研究数学には膨大な量の創造性があるということです。本当に新しいアイデアを思いつく必要があって、それが科目の核心なんですが、同時に、これまで考えられたことのない新しいものを理解しようとする非常に実験的な側面もあるんです。
人々はしばしば数学を、実験室ベースの科学、つまり湿式科学と区別します。実験室科学や湿式科学では常に実験をしていて、データを見て、フィードバックを得て、これらの実験から徐々に理解を構築していきます。でも実際、数学もしばしば似ているんです。私はしばしば数学的対象をいじり回していて、本質的に数学的実験をしているんです。理論的かもしれませんが、一つの単純なケースを見て、その単純なケースで明示的に起こっていることを理解しようとして、そこからパターンを推測し、物事に気づいて、何が本当に起こっているのかという直感を構築しようとします。そうすれば、これらの神秘的な対象の真実をどう扱うかについての良い説明を思いつくための創造性が生まれるわけです。
研究に近づけば近づくほど、実際には多くの科学がどんどん似ていくんです。離れていくのではなく。
あなたが、白日夢を見ることや潜在意識をバックグラウンドで働かせることが数学的に本当に役立つと話されているのも見たことがあります。その状態を引き出すために何をされているか、少し説明していただけますか。窓の外をじっと見つめて脳をさまよわせるようなことをされるんでしょうか。数学のために脳をバックグラウンドで働かせることの役割をどう見ていらっしゃいますか。
白日夢と潜在意識の力
何かを理解するための正しい心構えに自分を置くには、問題に没頭する必要があると感じています。だから本当に、その問題について考えている数日間が連続して必要なんです。その問題を生き、呼吸する必要があるんです。朝シャワーを浴びるとき、トイレに行くとき、夜寝るとき、問題が頭の中にあって、まだ少しそれについて考えているんです。
潜在意識に物事について考えさせようとするとき、私がよくやることの一つは、散歩に出かけることです。どういうわけか歩くという行為が、私の活動的な脳を十分に気を散らせて、活動的な脳を少し落ち着かせ、潜在意識を働かせるんです。
本当によくあることなんですが、ある日仕事に行って、研究で何か小さな結果を証明したいと本当に思うとします。一生懸命働けば絶対にできるはずだと確信しているんです。大きな概念的な飛躍が必要なわけではありません。そして一日中本当に一生懸命頑張るんですが、全く進展しません。
だから帰り道、本当にイライラした気持ちで歩くんです。本当にやりたいことは、その日はこの問題について考えるのをやめて、新鮮な目で見られるようにすることです。でもほぼ必ず、家への帰り道で、全てがどう解決するか分かるんです。なぜなら、どういうわけか、ただ非常に積極的かつ懸命に考えているだけでは得られない親しみと直感を構築するからです。
だから同僚には奇妙に見えるかもしれませんが、私がここの数学研究所で周回しているのをよく見かけるでしょう。ただ歩き回って、建物の周りを何周かして、ただ水を飲んだりしているんです。これが積極的な思考から一歩引いて、頭の中で熟考してきたことをただ吸収しようとする良い方法だと分かっているんです。
同僚の何人かは、あなたが広場を歩いているのを見たら、Jamesを邪魔してはいけない、何か非常に重要なことを考えているんだと分かっているんでしょうね。
ええ。時々、目の上に少しぼんやりとした表情が浮かんでいるんです。だから時々、同僚の一人が私に挨拶しても、全く気づかずにそのまま通り過ぎてしまうこともあります。申し訳なく思っています。失礼にしようとしているわけではないんです。思考に没頭しているからなんです。
多くの人が、そうした思考がどんなものなのか、数学をしているときにあなたの頭の中がどんな感じなのか、本当に興味があると思います。問題について考えているとき、頭の中で実際に何が起こっているんでしょうか。
積極的な思考の側面があります。問題があって、私は本当に、問題の核心に迫っているかどうかという直感を徐々に構築していく感覚をしばしば持ちます。通常、直面している問題がどんなものであれ、どう解決すればいいか全く分からないんですが、常にその問題のより簡単なバージョンがあるはずで、それも私には解けません。
だから通常、最初の本能は、問題の困難さのいくつかを分離している、同じ問題のより単純なバージョンを見つけようとすることです。この問題を関連する問題に変換するための標準的な手法があって、それらを見ながら、これらの変換された問題が、何が起こっているのかの核心に近づいているのか、遠ざかっているのか、徐々に感覚を得るんです。
だから直感に大いに導かれているんですが、常に困難さを蒸留して、元の問題で起こっている困難さのいくつかを本物に代表している、可能な限り最もシンプルなバージョンの問題を思いつこうとしています。これは非常に積極的で意識的なことです。知っている技法を使って探索し、困難さを蒸留しようとしているんです。
それから、主要な問題の困難さの核心に迫っていると思われる良いモデル問題を得たら、たとえそれが大幅に簡略化されたケースであっても、それが本当に考える必要があるものです。標準的な技法を全て試してみて、うまくいかないかもしれません。つまり、それが面白い部分なんです。楽しい部分です。何か新しいことをしなければならないときです。
だからそこから、対象を本当に理解していないけれど、実験したりいじり回したりして感覚を得て直感を構築しようとする長いプロセスを経ているんです。
しばしば、直感を構築している積極的な部分は、明示的なケースを計算し、紙とペンで、あるいはコンピューターで実験をしているんですが、この直感を構築する重労働の多くは潜在意識から来ていると感じています。これがどう起こるのかを知るのは非常に難しいんですが、初めておもちゃで遊んでいる子供のような感じがとてもします。
最初はどう動くのか全く分からないので、それを見て、いろんな角度から見ようとして、一体このおもちゃはどう組み合わさっているのか、どうやって遊ぶことになっているのかを理解しようとします。時間をかけて徐々に、遊び方のアイデアを得始めるんです。でも最初は非常に不器用で、ぎこちない方法で遊び始めるかもしれません。そして突然気づくんです。ああ、逆さまにした方がずっと良い、そうすればもっとシンプルに動くって。
常にシンプルさを求めています。一度にあまりにも多くの複雑なアイデアを頭の中に保持できないと思うんです。だから常に何かについての最もシンプルな説明や、物事について考える最もシンプルな方法を思いつこうとしています。そうすることで、本当の困難さがどこにあるのか、どこに新しいアイデアが必要なのか、どんな種類のアイデアが良いアイデアかもしれないか、どれが間違った方向に導いているかに非常に集中できると思います。
問題が解けないとき、本当にイライラしたり欲求不満になったりしますか。何かを解こうとしていて、どうしても考え続けてしまって、なぜこれが理解できないんだろうと思うような時を覚えていらっしゃいますか。
私の一日の多くは問題を解けないことに費やされています。それには全くイライラしません。常に、考えたい問題のリスト全体があって、そのほとんどで完全に行き詰まっていて、そのほとんどは決して解けないでしょう。だから研究数学者として、考えたい問題や興味深い問題のほとんどは解けないという事実を受け入れることが非常に重要だと思います。
唯一イライラするのは、絶対に解けるはずだと確信している問題があるときです。それほど難しくないはずなのに、どういうわけか正しい方法でやっていないだけなんです。面白いアイデアを必要とする問題があるとき、それが楽しい問題で、楽しい部分なんですが、おそらく解けないだろうということは完全に受け入れています。
リーマン予想という究極の難問
あなたが言及された、非常に古いけれども素数研究における最大の問題の一つがリーマン予想ですね。これは、誰かがそれを偽か正しいかを証明できれば、ミレニアム懸賞問題というこの偉大な数学競技の賞の一環として100万ドルを獲得できるという仮説です。世紀の変わり目に設定された賞ですね。
リーマン予想とは何か、そしてなぜ数学者の注目の大きな焦点になっているのか、少し説明していただけますか。
リーマン予想は時々、数学における最も有名で最も重要な問題と呼ばれています。素数の分布を記述しているんです。ある大きな数以下に素数がいくつあるかについて考えています。これはおそらく、興味のある数列の大規模な分布について尋ねられる最も基本的な問いです。
Gaussという非常に有名な数学者が16歳のとき、素数の数値表、ただの数値表をたくさん研究していました。そして統計的な推測をしたんです。ある大きな数x以下にある素数の数は、理解しやすい非常にシンプルな解析関数に非常に近いはずだと。
そしてこれを数値的にテストできるんですが、Gaussの推測は驚くほど良いんです。可能な限り良いと言ってもいいでしょう。x以下の素数の数の正確な公式を与えているわけではありません。でも、x以下の素数の数に関するこの非常に複雑な問いは、非常に算術的なんですが、非常にシンプルなものに非常に近いと言っているんです。
そして必然的に非常に複雑で、全ての算術が入っている残りの補正項があるでしょう。そしてこの複雑な補正項は、リーマンゼータ関数というこの神秘的な関数のいわゆる零点の観点から理解できることが分かっています。
複素解析関数があって、その零点が素数の振る舞いを支配しているんです。ある意味で、それらは双対なんです。リーマンゼータ関数の全ての零点について全てを知っていれば、素数の分布について全てを知ることになります。
でもリーマン予想の重要なポイントは、零点の分布について少し、特にその実部について知っていれば、素数の分布について膨大な量を理解することになるということです。特に、これはx以下の素数の数に対するGaussの推測が真実に対してなぜそれほど良い近似なのかという本当に良い説明を与えるでしょう。
だからリーマン予想は、このリーマンゼータ関数の全ての自明でない零点が実部1/2に等しいという主張です。だから全て、複素平面における実部1/2のこの魔法の線上にあるんです。そしてこれは素数の分布における非常に微妙な隠れた構造を示しています。素数の数はこれらの定数、リーマン関数の零点によって支配されていて、それらは実部1/2の線上にあるというこの魔法のような対称性を持つべきだということです。
リーマン予想が間違っていることを証明しようとする多くの計算努力を見てきました。零点がどこにあるかを計算するもので、今や何か膨大な数に達しています。素朴な見方からすると、リーマン関数の多くを計算して、非常に大きな数に対してさえ保持されているように見えることが分かったと言えそうです。
なぜそれを十分だと言えないんでしょうか。今や何兆もの零点に達しています。なぜリーマン予想が言っていることをしているとただ言えないんでしょうか。なぜそれを証明しなければならないんでしょうか。
それには、あなたの視点によって様々な理由があります。数学者として、私は本当に「なぜ」に魅了されています。なぜGaussの推測はそれほど良いのか。そしてなぜ零点は実部1/2の線上にあるのか。ある意味で、もし今朝誰かがリーマン予想を証明したと教えてくれたら、私は明らかに超興奮するでしょう。でもリーマン予想が真だから興奮するわけではないんです。
それが明らかに真になることは分かっています。リーマン予想を非常に強く信じています。私が興奮する理由は、リーマン予想のどんな証明も、リーマン予想を証明するだけよりもはるかに多くのことができる新しいツール全てを開発するだろうということです。確実に、素数を見るための全く新しい技法のセットと全く新しいツールのセットを私たちに与えるでしょう。
だからこれは私たちの機械における巨大な前進になるでしょう。そしてリーマン予想を証明するのと同様に、素数を調査する新しい分野を間違いなく開くでしょうし、素数の構造への深い洞察を明らかにするでしょう。だからそれが本当に私をワクワクさせることです。
リーマン予想は、零点が全てこの特別な線上にあるのは偶然ではないという非常に良い理由のために真だと感じています。そして私が本当に知りたいのは、それらが線上にあることではなく、なぜ線上にあるのかということです。そしてこれ全てを支配している背後にある構造は何なのか。それが純粋数学者としての私の視点です。
計算的証拠をどこまで取るかについても少し注意が必要です。Gaussの推測とx以下の素数の数との差が常に特定の符号を持つという有名な予想がありました。そしてこれはコンピューターでテストできる全ての数に対して真でした。
でも本当に大きな数、つまり1の後に300個のゼロがあるような数に到達するとすぐに、実際にはこれは偽であることが示されたんです。そしてGaussの推測と真実との差の符号は無限回反転します。
時には、ある文脈では計算領域をはるかに超えているように見えるこれらの理論的なものが、数学の多くの異なる他の場所に現れるんです。だからある文脈では天文学的に巨大に見える定数でさえ、関連する問題ではずっと顕著な効果を持つことがあります。
だから私たちが真だと信じているものと実際に真であるものとの違いを知ることは非常に重要です。それが数学の全てなんです。私たちは証明を愛しています。
なぜリーマン予想はどちらかを証明するのがそれほど難しいんでしょうか。なぜミレニアム懸賞問題の焦点になっていて、なぜ何百年もの間、数学の最高の頭脳が解決に苦労してきたんでしょうか。
問題がなぜ難しいかを言うのは難しいんですが、確かに素数の分布に関する非常に微妙な真実を示しています。素数に幾分似ている他の数列を見ると、例えば双子素数の分布を見ると、やはりほぼ規則的な分布を持つことが期待されるでしょう。でも変動とともに。でも変動はかなり異なって見え、ランダムノイズのように見えるでしょう。
素数における変動がランダムノイズのように見えない理由は、リーマン関数の零点によって引き起こされるこの非常に異例な隠れた構造があるからです。だからこれは素数についての基本的な真実を示しているんですが、非常に微妙なものです。そしてこの微妙さ、ランダムノイズとほんの小さな違いしかないということが、おそらく難しいことの一つだと思います。でも主な理由は、現時点でリーマン予想がなぜ真なのかについて本当に良いアイデアがないということです。
リーマン予想への新たなアプローチ
あなたがそれを解いたわけではないことは分かっていますが、おそらく基礎を少しずつ削っているような仕事をされていますよね。2年ほど前に数学者Larry Guthと非常に注目すべき結果を出されました。リーマン予想への反例をいくらか制限していて、Larry Guthとされていた仕事が何だったのか、そしてそれが全体的に解決にどれくらい近づけるのか、説明していただけますか。
ええ。私たちはリーマン予想を真だと証明する方法を知りません。つまり、潜在的な反例があるかもしれないということです。この魔法の線から外れた零点がある可能性を排除できません。でも素数の分布に関する多くの問いについて、この線から外れた零点がたった一つあっても、あまりにも多くの零点がなければ問題にならないことが分かるんです。
だからリーマン予想の回避策として、素数の分布に関する多くの問いについては、リーマン予想が偽かもしれないとしても、リーマン予想への反例があまりにも多くはあり得ないと言えば十分なんです。こうした結果の多くの技術的な名前は零点密度推定で、それが私がLarry Guthと証明したものです。
私たちの零点密度推定を改善しました。だから私たちの仕事は、リーマン予想を証明できなくても、仮説への反例がそれほど多くないことを示せるということで、反例の数がいかに少ないかのより良い定量化をしました。
これは私にとって非常に満足のいくものでした。なぜなら、この整数論の分野は非常に長い間行き詰まっていたからです。素数の分布に関する多くの問いが、実部3/4の零点がたくさんある可能性で行き詰まっていました。
明らかに、実部3/4の零点は存在しないはずだと思っていました。それはリーマン予想から従うでしょうが、実部3/4の零点がたくさんあるというこの奇妙な潜在的陰謀があって、素数の分布に関する多くの異なる問いの進展を制限していたんです。
Larryとの私の仕事は、実部3/4の可能な反例がそれほど多くはあり得ないことを示すことに成功しました。これにより、素数の分布に関する多くの異なる問いについて改善を得ることができたんです。
明らかにリーマン予想はこの巨大な目標で、おそらく異なる数学者にとって生涯あるいは複数の生涯の仕事になるでしょう。あなたの仕事は針をどれくらい動かすか、あるいはどれくらい近づけると思いますか。
私たちの仕事は、リーマン予想そのものを証明するには何となく間違った方向なんです。リーマン予想の回避策なんです。リーマン予想は、私たちが登り方を知らない大きな山のようなもので、もし登れたら反対側の肥沃な土地全てに到達できます。
Larryとの私の仕事は、もっと回避策で、山の側面を少し回り込んで、頂上を越えなくても肥沃な土地のいくつかに到達できるということです。
ええ、もしリーマン予想を証明することだけを気にしているなら、Larryとの私の仕事は進むべき正しい方向ではないと思います。どういうわけか、リーマン予想で本当に何が起こっているのかの核心に到達していません。前に述べたように、何が問題の本質なのかという感覚を構築できるんです。Larryとの私の仕事は素数の分布について重要なことを言っていますが、リーマン予説そのものの本質には本当に到達していません。
だから私はそれをリーマン予想の回避策として見ています。リーマン予想を改善する方法を知らないとしても、それが必ずしも素数そのものを理解する私たちの進展を妨げるわけではないということです。
以前、リーマン予想にはおそらく何か大きな新しいアイデアが必要で、新しいつながりを明らかにする必要があると言われていましたね。そのアイデアがどこから来るかについて、何か感覚や直感はありますか。完全に予想外で、誰も見たことのないような異質な数学になると思いますか、それともそれが何かについて何か感覚はありますか。それが文字通り100万ドルの質問だと思いますが。
ええ、全く良い感覚はありません。確かに、私が知っていて愛している全ての技法は、リーマン予想に本当に完全には取り組んでいないと感じています。だから、ただ座ってリーマン予想そのものを証明したいだけなら、どこから始めればいいかという感覚は全くありません。
他のいくつかの設定で、リーマン予想やリーマン予想の類似物を証明することはできました。だから人々は、おそらくそれらのアイデアを適応させてリーマン予想を証明できるかもしれないと期待してきました。
でも私の理解では、これまでのところそのようなことをする全ての試みは失敗していて、私の感覚では、やはりリーマン予想そのものを扱うには何か根本的に新しい入力と新しい洞察が必要だということです。
だから、リーマン予想について私が非常に難しいと思うことの一つは、リーマン予想の証明につながるかもしれない飛び石の妥当な道筋さえ本当に持っていないということです。だからおそらく何か深い洞察が必要になるでしょうが、おそらくまだ開発されてさえいないかもしれない少し異なるか予想外の分野から来る、より深い洞察でしょう。
リーマン予想が解けたら世界はどう変わるか
明日、リーマン予想を証明したと主張する論文がオンラインにアップロードされて、この問題は解決されたと考えられると想像してみましょう。世界はどう違って見えるでしょうか。私たちの理解と数学間のこれらのつながりについて話してきましたが、もしこの問題は解決されたと言えたら、何が変わるでしょうか。
リーマン予想を条件とする数学における膨大な数の命題があります。なぜなら人々はリーマン予想を信じていて、リーマン予想の反対側には肥沃な土地がたくさんあることを知っているからです。
数学者が証明する多くの定理があって、もしリーマン予想が真だったら、素数についてのこの本当に良い結果が得られるだろうと言っています。でも素数からかなり離れているように見えることについてもそうなんです。
これは非常に抽象的な問題に見えますが、非常に純粋数学の領域にありますが、リーマン予想の驚くべきことの一つは、もし真だったら結果の連鎖があるということです。だから数学への多くの異なる応用があるでしょうが、数学の外、コンピューターサイエンスの問いへの応用もあります。
だからそれは非常に学術的な問いですが、同時に台座の上に置かれています。なぜなら純粋数学の中の本当に深い謎を示しているからです。
オンラインで物を買うとき、多くの暗号アルゴリズムは多くの高度な数学、特に素数を使います。素数を使えるためには、数が素数かどうかを知る必要があります。
数が素数かどうかをテストする様々な方法があります。でも実際によく使われる非常に効率的な最も一般的なアルゴリズムの一つについて、絶対に常に機能するという理論的証明はありません。でも、いわゆる一般化リーマン予想が真なら、それが常に非常に効率的に機能することを知るでしょう。これはリーマン予想のわずかな拡張です。
でも、前に述べたように、リーマン予想の証明の本当の価値は、リーマン予想のどんな証明も、素数と素数がどう振る舞うかについての根本的に新しい洞察を与えるだろうと私は完全に確信しているということです。そしておそらくこれは、私たちが素数について考える全ての方法と非常に一貫性があるでしょう。
だからインターネット暗号がリーマン予想によって突然破られることは心配しないでしょうが、素数の分布を理解するための全く新しいツールの負荷を私たちに与えるでしょうし、それが本当に革命的なことだと思います。数学における新しい道の全てを開くでしょうが、数学よりもはるかにはるかに広く、コンピューターサイエンスにおけるこれらの未解決問いの多く、例えば素数に帰着する問いについての本当の数学的証明を持ち始められるかもしれません。
AI時代の数学研究
リーマン予想の証明に関わるものは何であれ、おそらく今は知らない数学のどこかの片隅から来るだろうとおっしゃいましたね。少なくとも私たちが気づいていないところから。おそらく検証に少し時間がかかるでしょうし、過去に人々が証明を出して、数学コミュニティによって完全に見られて真であることが分かるまで数ヶ月あるいは数年かかったケースを見てきました。
でも今、証明をチェックするためのコンピューターアシスタントのようなものの台頭も見てきました。そして数学コミュニティにおけるあなたの視点から、これらのツール、これらの証明アシスタントやコンピューターでチェックすることは有用だと思いますか。
私の感覚では、数学は物事がかなり変わる変動期の始まりにあるということです。今のところ、ほとんどの数学者は証明の形式的検証やAIなどからのツールを使って彼らを助けることに興味があるかもしれないと思います。特に彼らの仕事の退屈な部分のいくつかを取り除いて、重要な創造的な部分に集中できるようにするために。
今のところ、これらのツール全ては幼年期にあります。だからほとんどの数学者は証明の形式的検証をコーディングしていませんし、ほとんどの数学者は今のところ、彼らの主要な研究を本当に進めるために基本的な方法でAIツールを本当に使っているわけではありません。
でもこれらのツール全ては非常に速く発展しています。だから、今後10年間でどう発展するかは非常に興味深く、不確実です。
確かにこれらのツールが発展するにつれて、私の推測では、現役数学者の日常生活にますます組み込まれるようになるだろうということです。だから私の希望は、これによって私たちが数学において本当に重要なこと、創造的推論に集中できるようになることです。そして人々が、明示的に書き出すには時々退屈で、時にはあなたがそれほど詳しくない数学の別の分野の技術的知識を必要とするような技術的詳細に囚われないことを意味するでしょう。
だから私の希望は、これらのAIツールが研究数学の日常的だけれども複雑な側面を取り除いて、人々が本当に創造的なことに集中できるようにすることです。今のところ、AIはまだ苦労しているように見えることですが。
証明アシスタントと形式的検証も、どんどん大きなものになっていくだろうと想像します。だから、証明を主張するとき、これが論理的に健全であるという形式的検証を持っているのがはるかに一般的になるでしょう。
まだ人間の数学者が私の証明を見て、証明における本当に重要なアイデアは実際何なのかを抽出しようとすることが必要でしょう。それは常に最も重要な側面でしたから。でも、私が論理的な誤りをしていないか、一行一行チェックすることを心配する必要はないことを意味します。
この数ヶ月で、数学者がAIツールを使って証明全体や解を一見エンドツーエンドの方法で生成するという注目すべき進展を見てきました。特にErdős問題、数学者Paul Erdősが亡くなる前に提起した何百もの問題についてです。
専門家が言うには、これらは最も難しい問題ではありませんが、それでもおそらく解くには研究数学者である必要がある問題です。この数ヶ月で見てきたこれらのAIシステム、AIツールで、あなたの仕事で見て使いたいと思わせるものはありますか、それとも結局のところ、あなたにとってはまだペンと紙なんでしょうか。
もちろん、私は魅了されています。こうした発展に遅れずについていくことは私の仕事の一部だと感じています。だから確かに、AIが私の研究でどれだけ助けになるかをいじり回すことにかなりの時間を費やしています。
AIはすでに、文献検索には素晴らしいツールだと思います。特により歴史的なものや、私の主な研究専門分野から少し離れているものについて、以前は気づかなかった参考文献や論文を明らかにしてきました。
AIをどんどん使って組み込もうとしていますし、これがますます大きくなっていくことは確実です。これまでのところ、私の中核的な研究問題に関しては、AIは私を助けるのにそれほど有用ではありませんでした。これまでのところ、ペンと紙の方が私にとって成功しています。でもこれは急速に動いている分野なので、今後数年または数十年でAIがますます有用になっていくだろうと想像します。
ええ、もちろん。これは刺激的な発展だと思います。それが正確にどこまで行くのか、どの方向に行くのか、どう数学を変えるのか、非常に不確実ですが、数学を多くの異なる方法で変えるだろうと確信しています。
でも1年後に目覚めて、AIがリーマン予想を単独で証明したと見るようなことを示唆するものは何も見ていませんよね。
それが起こったらとても驚くでしょう。でも確かに、本当の創造性とは何かについて考えることを私に迫ります。チェスはこれをかなり昔に経験しました。元々、チェスが非常に得意な人々には、機械の手の届かない創造的な人間の独創性があると認識されていました。
理論的には、可能な組み合わせ全てを事前にくまなく調べて、チェスで完璧なコンピューターを持つことができることを人々が知っていたとしても。それには非常に長い時間がかかり、宇宙の熱的死まで全ての可能性をくまなく調べることになるので、チェスプレーヤーがコンピューターよりもずっと優れていることを可能にする人間の独創性について何か根本的なものがあると感じられていました。
コンピューターが最高の人間チェスプレーヤーさえも打ち負かし始めるまではね。そしてそれは、コンピューターがチェスで間違いをしなかったというだけではありませんでした。特に今日のトップコンピューターチェスプログラムのいくつかは、私たちが非常に創造的な手と考えるような手を思いつくんです。
非常にオープンな問いです。数学でまさに同じことが起こるかどうかについては、少し懐疑的でしょう。本当に新しい議論を思いつこうとするとき、数学における探索空間は桁違いに大きいと感じています。
でも、私の仕事で思いつくアイデアがどの程度、私の側の本当の創造性なのか、あるいはどの程度これが以前見たことのものの網目なのか、そしてどの程度、私が創造性と呼ぶこれらのものが、他の場所で多くの良い数学的アイデアを見ることで非常によく訓練されたコンピューターシステムの創発的現象として来ることができるのか、考えさせられます。
人間の創造性とAIの可能性
だから今のところ、あなたはまだ、人間の創造性と直感について何か特別なものがあって、それが今のところ計算システムにはないという側に傾いているんですね。
私は、一つの基本的なレベルで、私たちの脳は処理エンジンなので、原理的にはコンピューターが私たちの脳が経る思考プロセスのようなものを完全にモデル化できると思うので、根本的に違うものがあるとは思いません。
だから、人間の思考が明らかにコンピューターシステムよりも優れていて優れている固有の理由が必ずしもあるとは思いません。でも私たちが持っている大きな利点、私たちの脳が持っている大きな利点は、私たちが作る全てのつながりをどう訓練するかという点での何億年もの進化を経ているということです。
一方、コンピューターシステムと大規模言語モデル、つまり今の人気のあるAIシステムは、全て特定のアーキテクチャに基づいています。そして、これについてかなり詳しい人々と話した私の理解では、これは大規模言語モジュールがいくつかのことをするのに例外的に効果的だったことを意味しますが、それらが本当にそれほどうまく機能しない他の比較的基本的なことがいくつかあるということです。
そして確かに、いくつかの人々が、現在のモデルのこれらのハードルと制限のいくつかを本当に克服するAIプログラムを作りたいなら、AIアルゴリズムの背後に異なるAIアーキテクチャが必要だと示唆しているのを知っています。
だから私の推測では、コンピューターは最終的に人間がすることは何でもできるでしょうが、おそらく今のところ正しい形のコンピュータープログラムを持っていないということです。
でもこれは私の側の野生の推測です。
もちろんです。今あなたが取り組んでいることや、外を歩くときに考えることに本当に注意を引かれていることを説明することは可能でしょうか。
現在の研究課題
今の私の主要な研究プロジェクトの一つは、私の共同研究者の一人Kevin Fordとの長期的なプロジェクトで、素数を検出するために今持っている技法の限界をテストしています。
だから、素数を研究するために使う技法を可能な限り正確に理解しようとしています。それらが制限されている方法をね。だからこれらの技法が根本的に対処できない特定の問いがあります。
そして希望は、これらの制限を理解したら、技法を前に押し進める方法として、現在の技法の範囲外に見える問いの種類に正確に対処するための新しいアイデアを追加し始められるということです。
だからそれが私が考える主要な研究問題の一つです。だから、もし今日後で私が歩き回っているのを見たら、それについて考えている可能性がかなり高いです。
うまくいく散歩になるといいですね。Jamesさん、ありがとうございました。今日お話を聞かせていただき、あなたの考え全てをいただき、本当に感謝しています。
いえいえ、こちらこそ。
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