本動画は、なぜ宇宙が3次元空間を持つのかという根本的な問いに対して、物理学的な観点から4つの重要な理由を提示している。惑星軌道の安定性、原子構造の安定性、標準模型の繰り込み可能性、そしてカオスの辺縁における複雑性という4つの要素が、いずれも3次元空間においてのみ適切に機能することを数学的に解説する。2次元や4次元以上の空間では、惑星は太陽に落下し、電子は原子核に落ち込み、素粒子物理学の理論は破綻してしまう。この動画は、私たちの宇宙が3次元である必然性を、ニュートン力学から量子場の理論まで幅広い物理学の知見を用いて明快に論証している。
なぜ空間は3次元なのか
なぜ空間は3次元なのでしょうか。なぜ2次元ではないのでしょう。あるいは4次元や7次元ではないのでしょう。それは物理学が正しく機能しないからです。これにはいくつかの理由があります。
最初の問題は、太陽系が3次元以上では安定しないということです。これは次のように理解できます。ただし、ここから少し数学が入ってきますので、その点をお伝えしておきます。
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ニュートンの重力は1/R²に等しいことを思い出してください。ここでRは半径です。なぜでしょうか。それは力の線が球の表面で薄まるからで、3次元における球の表面積はr²に等しいからです。
もし空間が3次元以上あれば、力は1/r^(d-1)に等しくなります。ここでdは次元の数です。なぜなら、d次元における球の表面積はr^(d-1)に等しいからです。もちろん重力は、重力定数、つまりGと、2つの物体の質量にも依存します。この場合、小文字のmと大文字のMで、それぞれ惑星と太陽の質量を表します。
惑星の軌道と安定性
さて、惑星が太陽の周りをどのように周回するか知りたいとしましょう。安定した軌道を描くためには、まず重力の引力が遠心力とバランスを取る必要があります。この遠心力は擬似的な力で、惑星の運動を直線から逸らすのにどれだけの重力が必要かを単純に表しているだけです。
この寄与は半径の3乗分の1に等しくなります。これは次元の数とは無関係です。なぜなら、惑星の軌道は常に平面上にあるからです。ただしこの場合も、いくつかの定数、この場合は角運動量と質量に依存します。
ですから、軌道の半径を知りたければ、これら2つの力が等しくなければなりません。ここで問題は、これらの軌道が安定しているかどうかです。
これを確認するために、この全体の力をrで微分して、それがゼロより大きいか小さいかを問います。ゼロより小さければ、惑星を軌道から押し出しても軌道に戻ってくることを意味します。ゼロより大きければ、逃げ出してしまうので、軌道は不安定です。
さて、これを微分すると、ここの導関数から-3が得られ、ここから-(1-d)が得られます。そして安定した軌道上では、ここのこれらの項が同じでなければならないことが分かっています。ですから、(-3 + d – 1)、つまり(d-4)に何かを掛けたものが得られます。そしてこれはゼロより小さくなければなりません。
これは、dが整数であれば、3以下でなければならないことを意味します。より高い次元数では、惑星は太陽に落ちてしまうのです。しかしこれは2次元を除外するわけではありません。2次元では安定した軌道を持つことができます。
修正ニュートン力学と原子の安定性
これは修正ニュートン力学(MOND)の仕組みです。修正ニュートン力学では、重力は1/r²ではなく1/rの関係を持ち、それはまるで2次元空間のようなものです。
より高い次元数に移行する際の2番目の問題は、原子が安定しないということです。皆さんご存知のように、原子は小さな太陽系ではありませんが、問題はほぼ同じです。
原子では、負に帯電した電子が正に帯電した原子核の周りにあります。この2つはクーロン力によって互いに引き付け合っています。クーロン力は、重力と同様に、3次元では1/r²に等しくなります。これも力の線が球の表面で薄まるからです。
そして再び、より高い次元数でのクーロン力は1/r^(d-1)に等しくなります。電子は実際には原子核の周りを周回していないので、遠心力はありません。しかし、量子的な不確定性の問題があります。
ほら、不確定性原理は、運動量と電子のサイズの不確定性が常にh⁰割る2より大きくなければならないと述べています。
これは基本的に、電子を圧縮しようとすると、その運動量が大きくなる可能性があることを意味します。しかし大きな運動量は何をするのでしょうか。一種の力を生み出します。実際、電子は圧縮に抵抗するのです。
この力がどのように振る舞うかは、運動エネルギーを見ることで理解できます。このΔpは、Δp²割る2mに等しい運動エネルギーを与えます。
ここで、Δpがおよそ1/rであることを代入します。rは、いわば電子の広がりです。そしてrで導関数を取って、これが生み出す力を得ます。
見てください、力は1/r³に等しいのです。これは遠心力の寄与と同じように振る舞います。したがって、同じ結論が太陽系と同様に原子にも当てはまります。
3次元では、原子は安定しています。電子は快適に殻の上に落ち着きます。4次元以上では、原子核に落ちてしまいます。繰り返しますが、2次元は機能するだけです。
場の量子論と繰り込み
しかし、量子物理学にはもう1つの問題があります。それは少し説明が難しいのですが、素粒子物理学の標準模型全体が、正確に3つの空間次元がない限り機能しないということです。
素粒子物理学では、場の量子論と呼ばれるものを使います。この理論で、粒子が何をするかを計算します。何をするのでしょうか。できることすべてをするのです。
例えば、私たちの友人である電子をもう一度取り上げてみましょう。場の量子論では、電子は単にある場所から別の場所へ移動するだけではありません。途中で光子を放出し、それを再吸収することができます。そしてその光子は電子-陽電子対に崩壊し、それが消滅する可能性があります。そして電子と陽電子は再び光子を放出し、それを再び捕獲する可能性があり、といった具合です。
電子がその経路上でできることは無限にあるのです。ですから、電子が何をするかを計算したければ、起こり得るこれらすべての可能性を合計しなければなりません。これらは量子的寄与と呼ばれます。
技術的には、粒子ができる可能性のあることすべてを積分することで、これらの寄与を計算します。つまり、量子的寄与は、粒子が動くことのできるすべての方向に依存するということです。空間の次元数に依存するのです。
残念ながら、結果は通常無限大になります。ですから、やることは無限大の寄与を特定し、それを引き算して捨て去ることです。そうすると有限の結果が得られます。そして残りを固定するのは、例えば電子の質量を測定することによってです。なぜなら、これは電子がどのように動くかを教えてくれるからです。
物理学者はこれを「繰り込み」と呼んでいます。税金でこれを試してはいけませんよ。
そしてこれは3次元空間でうまく機能します。なぜなら、無限大はすべて同じだからです。ですから、それらをすべて一緒にまとめて、1つの定数だけを測定すればよく、それで完了です。
しかし、空間の次元が多かったり少なかったりすると、無限に多くの異なる無限大が得られます。それらは異なるという意味で、寄与が異なる速度で増加するため、1つの因子だけでそれらを合計することはできません。
1つはpが無限大に近づくときp²で無限大に向かい、もう1つはp⁴で向かうとしましょう。これらは異なります。そして、それらを取り除きたければ、それぞれに対して1つの定数を測定する必要があります。つまり、理論を定式化するために無限の数の定数を測定する必要があり、これは理論を役に立たないものにしてしまいます。
物理学者は、そのような理論は「繰り込み不可能」であると言います。要点は、標準模型、つまり電弱力と強い力、そしてヒッグスは、3次元空間で繰り込み可能だということです。その通りです。それより高い次元でも低い次元でも機能しないのです。
ほら、これは実際、太陽系や原子の安定性の議論よりもはるかに強力な議論なのです。ちなみに、これは非整数次元でも機能します。ただ、伝えるのが少し難しいだけです。
興味深いことに、重力は3次元空間では繰り込み不可能ですが、1次元では可能です。
複雑性とカオス
しかし、次元数が少なかったり多かったりすると問題になる4番目のことがあります。それは複雑性です。2次元以下では、連続的な時間パラメータに対してカオス的な力学を持つことはできません。ロジスティック写像のような離散系ではカオスを持つことができます。
しかし、連続的な時間があれば、カオスには少なくとも3次元が必要です。ローレンツアトラクタは最も単純な例の1つです。より高い次元に移行すると、力学は非常に簡単にカオス的になります。
これがより低い次元やより高い次元を厳密に除外するわけではありません。ただ、次元数が小さすぎたり大きすぎたりすると、カオスに圧倒されることなく複雑性を得るのが難しいように思えるだけです。
結論
というわけで、3つの空間次元が必要な4つの理由がこれです。安定した惑星軌道、原子、標準模型の3つの力、そしてカオスの辺縁における複雑性です。これらすべては3次元でのみ正しく機能するのです。
なぜでしょうか。分かりません。おそらく宇宙は3つ1組でやってくるものが好きなのでしょう。
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