物理学において無限大や無限小は至るところに現れるが、それらは物理的に実在しない可能性がある。近年、一部の物理学者は物理学基礎論における問題が無限の扱い方に起因すると主張しており、その考えを支持する数学者たちが「超有限主義」という新たな哲学運動を展開している。超有限主義者は無限大だけでなく、10の100乗のような天文学的に大きな数の存在すら否定する。彼らは小さな数のみを用いた数学の構築を試みており、その取り組みは計算複雑性理論や有限算術の研究として具体化されつつある。この哲学的立場は、エントロピーの上限、量子論における無限の出現、重力の量子化といった物理学の根本問題に新たな視点をもたらす可能性を秘めている。
物理学における無限の問題
無限は物理学のあらゆる場所に現れます。それなのに、物理的には実在しないのです。だからこそ、一部の物理学者は、物理学基礎論における私たちの問題は、無限大や無限小を使って計算する方法から来ているのではないかと主張してきました。そして最近、私はこの主張に援軍が現れたことを知りました。
超有限主義者です。大きな数の存在を否定する数学者たちです。これは冗談ではありません。もしかしたら、これが私たちが待ち望んできたパラダイムシフトなのかもしれません。では、見ていきましょう。
私たちの数学では、宇宙は無限大です。ビッグバンにおける曲率は無限大であり、ブラックホールの中心における重力潮汐力も無限大です。
量子物理学にも常に無限が現れます。何かを計算するたびに、それらの無限を取り除くために数学的な体操をしなければなりません。宇宙定数は、一部の物理学者が考えるには、無限に関する私たちの問題の遺物なのです。そして無限大には裏側があります。それが無限小です。
空間と時間は、サイズがゼロの無限に多くの点でできています。少なくとも私たちの数学ではそうです。これは空間と時間だけの話ではなく、量子物理学にも当てはまります。量子物理学では、ヒルベルト空間における波動関数を扱います。これが何か分からなくても心配しないでください。それほど重要ではありません。知っておくべきことは、ヒルベルト空間もまた、サイズがゼロの無限に多くの点でできているということです。それは連続体なのです。
無限への反逆
過去10年間、私たちはこの無限の氾濫に反旗を翻す物理学者たちを何人か見てきました。例えば宇宙論学者のジョージ・エリスは、無限を不注意に使うことが、物理学者たちがマルチバースは実在すると信じるようになった理由だと考えています。また、以前お話ししたニコラ・ジザンは、実数を使うべきではないと考えています。なぜなら実数は小数点以下に無限に多くの桁を持っており、それには無限の精度が必要ですが、そのようなものは存在しないからです。
ティム・パーマーもいます。彼は量子力学における私たちの問題はすべて、連続体を持つヒルベルト空間を使うことから来ていると言っています。彼は、それを離散化してこの空間内のいくつかの波動関数だけを取る必要があると言います。これは量子物理学の初期の頃への回帰のようなものです。そこでは「量子」という言葉が離散性に由来していました。有限のステップです。無限もゼロもありません。
しかし、ほとんどの物理学者はこれらのアイデアを無視しています。彼らは、無限大や無限小の数を使うことは単なる数学的道具、近似であり、無害だと信じています。それを取り除くために多大な努力をすることもできますが、結局結果は同じになるのだから、なぜわざわざそうするのか、ということです。10の100乗と無限の間に本当に何の違いがあるのでしょうか。まあ、それこそが問いなのですよね。結果は同じになるのでしょうか、それとも無限を使うときに実際に何か間違ったことをしていて、私たちが気づいていないのでしょうか。
超有限主義とは何か
私にはこれに対する良い答えがありませんが、これは問う価値のある公正な質問だと思います。そしてこれが超有限主義者の話につながります。これは、物理学や物理学で使う数学におけるすべての無限を取り除きたいだけでなく、すべての天文学的に大きな数も取り除きたいと考える人々の哲学運動です。
具体的には、インディアナ州のノートルダム大学の数学教授であるジョエル・ハムキンズはこう言っています。「超有限主義によれば、数学者たちが慣例的に記述していると考えている様々な極めて大きな数、例えば10の100乗などは、実際には存在しない。」新しいのは、今や数学者たちが小さな数だけを使って数学を定義する方法を解明しようとしているということです。
一貫した超有限主義論理や有界算術のように、特に計算複雑性の限界に関してです。つまり、何を計算できるか、できないか、そして複雑性がどのように増大するかという問いです。彼らは今年の4月にこのテーマで会議全体を開催しました。つまり、超有限主義哲学にはこの数学的基盤があるのです。そしてこれは逆に物理学に影響を与える可能性があります。
例えば、エントロピーがブラックホールが満たす最大限界を持つように見える理由を説明できるかもしれません。量子論において無限が忍び寄ってくる理由を説明できるかもしれません。あるいは、私たちが繰り返し遭遇する無限を排除することで、重力を量子化する手助けをしてくれるかもしれません。もしかしたら、これが物理学基礎論で進歩を遂げるために必要な道具なのかもしれません。
数の存在を否定するとは
正直に言いましょう。10の100乗のような数が存在しないと言うことが何を意味するのか、私にはよく分かりません。つまり、私はそれを書き下すことができるし、それを使って計算することもできるのですから、どうして存在しないことになるのでしょうか。物理的に特定の量、例えば宇宙内の陽子の数などが有限である可能性があることは理解できます。しかし数の存在を否定するというのは、まったく別のレベルの否定主義です。
ですから、私にはその意味が分かりません。しかし、私はこういったことについて心を開いていようとしています。もしかしたら、私には見えない何かがあるのかもしれません。いずれにせよ、私が賛成するかどうかにかかわらず、皆さんに情報を提供し続けることが私の仕事だと考えています。というわけで、ここにあります。数の否定論者たちです。
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