正の幾何学は物理学における新しいアプローチであり、宇宙論から素粒子物理学までを統一する可能性を秘めている。これは約10年前から存在し、物理学者によって生み出されながらも数学の既存のアイデアと結びついた双方向の関係である。Nima Arkani Hamedらのアンプリチュヘドロンを一般化したもので、時空を置き換える可能性を持つ最も野心的な研究プログラムとされる。一方で、20年前に物理学を統一すると期待された圏論が結局大きな成果を生まなかった歴史もあり、正の幾何学も同様に抽象的すぎて具体的な問題解決に至らない可能性が懸念される。物理学における純粋数学の役割と限界について、哲学的な問いも投げかけられている。
正の幾何学という新しいアプローチ
私は最近、正の幾何学が物理学への新しいアプローチであり、宇宙論から素粒子物理学まですべてを統一する可能性があることを知りました。それを聞いて私は圏論のことを思い出しました。圏論は20年前に物理学のすべてを統一するはずだったのですが、結局どうなったのでしょうか。今日はその両方について簡単に見ていきましょう。
物理学と数学は歴史的に手を取り合って進んできました。時には数学者が物理学からインスピレーションを得てきました。例えばゲージ対称性を発明したヘルマン・ワイルがそうです。そして時には逆のこともありました。例えば、標準模型の発展においてヤン・ミルズ理論を使った物理学者たちです。この場合は、どちらが先だったのかさえはっきりしていません。
約10年前から存在している正の幾何学は、物理学者によって生み出されながらも数学における既に存在していたいくつかのアイデアに結びついた双方向の関係です。そして今では数学者たちもそれに興味を持つようになりました。
私はChatGPTに正の幾何学とは何かと尋ねてみました。すると「正の幾何学とは、実数上で定義された複素代数的多様体と、その内部が向き付けられたd次元多様体である閉じた半代数的領域のペアである」と答えました。これは私が発音できる限り中国語に最も近いものです。
正の幾何学の本質
しかし、これをもう少し詳しく調べてみると、そこまで複雑ではないことに気づきました。実は以前にもこれについて話したことがあります。なぜなら正の幾何学はアンプリチュヘドロンの一般化だからです。アンプリチュヘドロンとは、Nima Arkani Hamedと彼の共同研究者たちの魔法のような形状で、彼らによればいつの日か時空を置き換えるものです。これはおそらく今日の物理学の基礎における最も野心的な研究プログラムであり、それがさらに野心的になったのです。
私の愚かなYouTuber版の説明では、正の幾何学は高次元における一種の多角形のようなものです。それが正と呼ばれるのは、常に笑顔を浮かべているからです。ちゃんと聞いているか確認しているだけですよ。
正と呼ばれるのは、何かがゼロ以上であると言う不等式によって定義されているからです。そしてその多角形上には、辺やエッジに値を割り当てる方法があります。これはひどく抽象的に聞こえますし、実際そうなのですが、基本的には物事がどのように変化できるかを記述する方法なのです。これがこれらの多面体とその辺や値が記述するものです。物理系が何をできるのか、ということです。そして物理学は究極的にはすべて変化についてのものです。
したがって正の幾何学は、粒子がどのように相互作用するかを記述できますが、宇宙自体がどのように形を変えるかも記述できますし、おそらく私たちがまだ理解していない他のことも記述できるでしょう。これが、量子物理学と重力を統一できるかもしれない理由です。
最近のいくつかの論文では、研究者たちはこの正の幾何学とより標準的な物理学との接点を作ろうと取り組んできました。彼らは微分方程式と相関関数を導出することでこれを行いました。まだ抽象的ではありますが、少なくとも今ではほとんどの物理学者が馴染みのある言葉になっています。
私はこれをでたらめ度メーターで10点満点中1点と評価します。なぜならそれは新しく、かつ数学的に正しい可能性が高いからです。ゼロではないのは、彼らがまだ何の予測もしていないからであり、また私はこのアイデアと現実との関係についてあまり確信が持てないからです。私が警戒しているのは、物理学において非常に抽象的な数学のアイデアが以前にも現れては消えていくのを見てきたからです。
圏論の例
そのうちの一つが圏論でした。圏論は、Wikipediaからそのまま読ませていただくと、数学的構造とその関係の一般理論です。しかし物理学におけるすべての理論は、その関係を持つ数学的構造ですから、圏論はそれらすべてを記述できることになります。
典型的な例を挙げると、圏論を使った作業はこのような感じです。物事が他の物事とどのように関連しているかを示す図です。圏論でないものはほとんどありません。あなたの家系、市場経済、化学、それらはすべて他の物事と関連する物事です。それは唯一の単語が「物事」である新しい言語を発明するようなものです。
私が博士号を取得したばかりの頃、物理学者の間で圏論への興味が一時的に高まりました。いくつかの本が書かれ、会議も開催されましたが、それは結局どこにも行きませんでした。より数学的に重い研究の一部では今でも使われていますし、その有用性を否定するつもりはありませんが、今日では誰もそれが物理学に革命を起こすと信じていないと思います。
圏論の問題は、数学を十分に一般化していくと、最終的には万物の理論ではなく、何でもありの理論になってしまうということです。そして私が心配しているのは、正の幾何学も同じように終わり、何の問題も解決せずに、何でもありの高度に数学的な構成物を生み出すだけになるのではないかということです。
純粋数学と物理学の関係
このようなアイデアの背後には、より大きな哲学的な問いがあります。それは、純粋数学がどれだけ物理学者を助けることができるのかということです。一部の人々、例えばDavid Lindleyが著書『物理学の終焉』の中で主張しているのは、実際、物理学の基礎における停滞は、実験と理解を犠牲にして数学に過度に依存していることが原因だということです。
私はそれには同意しません。私は数学を強力なツールだと考えていますが、あらゆるツールと同様に、その使用はそれをどれだけうまく扱えるかに依存します。そしてよく言われることを言い換えれば、正の幾何学を持っていると、すべてが多角形のように見えてしまうのです。
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