この動画では、物理学における単位の本質的な意味について探求している。国際単位系の7つの基本単位から始まり、実際にはプランクが提唱した自然単位系こそが宇宙を記述する根本的な単位であることを解説する。光速、プランク定数、ニュートン定数という3つの基本定数から構成されるプランク単位が、量子重力の理解において重要な役割を果たし、単位という概念が物理学の基礎に深く関わっていることを論じている。
単位とは何か：数学と現実を分ける境界
3という数字は抽象的な概念だが、3立方メートルは具体的な物理的存在である。なぜだろうか？単位こそが、数学と現実を、プラトン的理念と物理量を分ける境界線のようだ。しかし、単位とは一体何なのか？これは物理学の基礎において最も過小評価されている問題の一つだと思う。
国際単位系には7つの基本単位がある。秒、メートル、キログラム、アンペア、ケルビン、モル、そしてカンデラだ。他のすべての単位は、これらから構成される。例えば、メートル毎秒の二乗は加速度の単位になり、キログラム・メートル毎秒の二乗はエネルギーの単位となる。この動画はイギリスの視聴者には厳しい内容になりそうだが、私はこれらをストーンやフォートナイト当たりの単位には変換しない。
実際のところ、これら7つの単位すべてが必要というわけではない。むしろ、単位というもの自体が不要であることを説得したいと思う。
基本単位の本質：人為的な取り決めを超えて
後の4つの単位、アンペア、ケルビン、モル、カンデラは、最初の3つと自然定数によって関連付けられている。例えば、アンペアは1秒あたりの電荷の流れだ。素電荷を知っていれば、速度と素電荷と電子数の積からアンペアを定義できる。この電子数には単位がない。
ケルビンは温度だが、これはエネルギーに比例し、その比例定数はボルツマン定数である。これを使うこと自体、実は単なる慣例に過ぎない。モルはアボガドロ数によって固定されている。こうして残るのは、秒、メートル、キログラムという時間、長さ、質量の尺度である。
これで、あらゆる物理量の単位を、これら3つのべき乗の積と、他の定数を組み合わせて表現できるようになる。ここからが興味深い部分だ。マックス・プランクが気づいたように、私たちが普通使っている単位は実際には人間の都合によるものなのだ。メートル、秒、ティースプーン、1マイルあたりのガロン、1パイントあたりの分など、これらはすべて政治的な産物である。
プランクは、基本定数から長さ、時間、質量の単位を作る方法は唯一つしかないと言った。それが私たちの宇宙を記述する自然単位なのである。
プランク単位：宇宙の根本的な尺度
プランク単位を構成する基本定数は、光速度（c）、プランク定数（ℏ）、そしてニュートン定数（重力の強さを表す、通常大文字のGで表記）である。名前に惑わされないでほしい。ニュートン定数は、アインシュタインの一般相対性理論における重力の強さでもある。この名称は歴史的な理由によるものだ。
プランクは、これら3つを組み合わせて質量、長さ、時間を作ることができると言った。これらは現在、それぞれプランク質量、プランク長、プランク時間と呼ばれている。重力は非常に弱いため、プランク時間は途方もなく小さく、10のマイナス43乗秒程度である。プランク長は約10のマイナス35乗メートルだ。
プランク質量は、やや混乱を招くかもしれないが、実際には理解可能な範囲にあり、10のマイナス5乗グラム程度、つまり数マイクログラムである。しかし、素粒子の質量と比べると巨大な質量だ。
日常生活でプランク単位を使うことはないだろう。なぜなら、非常に実用的でないからだ。10のマイナス40乗といった途方もない指数を常に持ち歩かなければならない。日常生活で使うことはないだろう―物理学者でない限りは。これらの単位は、ビッグバンやブラックホール内部の現象、量子重力といった話をする際に使いたい単位なのである。
例えば、重力の量子効果が強くなる時空の曲率は、プランク長の二乗の逆数を単位として1となる。
量子重力への窓：プランク単位が示すもの
プランク単位が量子重力について何かを語っている理由を理解する、比較的簡単な方法がある。例えば、粒子がシュワルツシルト半径より小さなサイズの量子不確定性を持つためには、どれほどの質量を持つ必要があるかを問うことができる。もしそれが可能なら、量子物理学と従来の非量子物理学の組み合わせが意味をなさなくなる。
これにより、量子重力がいつ関連性を持つようになるかの推定が得られ、計算も簡単だ。質量をmとしよう。サイズの量子不確定性はΔx = ℏ/(mc)となる。このΔxがシュワルツシルト半径（Gm/c²）と等しくなるのはいつかを知りたい。これを解くと、Δx = √(Gℏ/c³)となり、これは正確にプランク長である。
これが意味するのは、そのような質量を持つ粒子は同時にブラックホールでもあるということだ。それは重力と量子物理学の交点に位置している。私たちはまだそのような質量の粒子を測定したことはないが、理論的には予想されている。これらはプランコンと呼ばれる。ブラックホールが蒸発する際、このサイズで止まり、これらの粒子を残すと考える人もいる。そしてこれらがダークマターを構成する可能性もある。話が逸れてしまった。
しかし、単位の問題が物理学の基礎における多くの他の話題と結びついていることがわかるだろう。実用的かどうかは別として、プランク単位は曖昧さがないため根本的な関連性を持つ。測定を行うことができる誰もが、どこにいても、これらを推論できる。これがプランクが「もし知的生命体が存在するなら、彼らはこれらの単位を使うだろうし、私たちも彼らとのコミュニケーションにこれらを使うべきだ」と言った理由である。
自然単位系：単位を超越した物理学
先ほど述べたことを思い出してほしい。あらゆる物理量の単位を、適切な指数を持つ秒、メートル、キログラムの積と、慣例的に使う他の定数で表現できる。これらすべてをプランク単位の積として表現することもできる。例えば、1秒は10の43乗プランク時間といった具合だ。
ここまでは明らかだろう。しかし見てほしい、もしあなたが扱っている物理量が何かを知っているなら―それが運動量なのか面積なのか―私はそれらを定量化するのにどのプランク単位が必要かを教える必要がない。なぜなら、それを行う方法は一つしかないからだ。これが基本単位と呼ばれる理由である。
面積があるなら、それは長さの二乗だとわかる。運動量があるなら、それは質量×長さ÷時間だとわかる。もし私たちがこれらすべてをプランク単位で測ることに合意するなら、単位は一切必要なくなる。物理学者はこれを自然単位系と呼ぶこともある。
例を挙げよう。プランク単位でエネルギーが1だと私が言えば、それは1×プランク質量×プランク長の二乗÷プランク時間の二乗を意味する。なぜなら、プランク単位を組み合わせてエネルギー単位を作る方法はこの一つしかないからだ。SI単位では約10億ジュール、素粒子物理学の用語では約10の16乗テラ電子ボルトである。これは、粒子加速器が量子重力を探査するために到達しなければならないエネルギー程度だ。
これが自然単位系である。
自然単位系が教える3つの洞察
ここから学べることは何だろうか？私が魅力的だと感じる3つのことがある。
第一に、プランク単位は実際にはもはや唯一のものではないということだ。プランクはこれを知ることができなかった。しかし現在、私たちは宇宙論定数も持っている。宇宙論定数、光速度、プランク定数を使って自然単位を構築することもできる。これは、宇宙論定数とニュートン定数の間に私たちが見逃している関係があることの示唆だと思う。
第二に興味深いのは、なぜ質量の5乗根のような分数指数を持つ単位がないのかという疑問だ。なぜそれが存在しないのか？一つの答えは、これも慣例だということだ。プランク質量の5乗根を1サビナと定義して、それを新しい単位と呼ぶことを妨げるものは何もない。
しかし、これにはより深い理由があると思う。そのような分数量は、自然法則に現れないため有用ではないからだ。実際、アニオン場は分数べきを持つが、私たちはそれらを直接測定しないし、5乗根を持つわけでもない。
第三に興味深いのは、3つの単位とそれらを構成する基本定数の背後にある構造だ。光速度は時間を長さに変換する。1年は時間であり、1光年は長さである。光速度はエネルギーを運動量にも変換する。そして、時間と長さの逆数を取り、プランク定数を使ってそれらをそれぞれエネルギーと運動量に変換できる。
これが意味するのは、光速度は時間から空間への、そして逆方向へのマップだということだ。そしてプランク定数は時空から運動量空間への、そして逆方向へのマップである。
ニュートン定数の特殊性：重力の本質
しかし、ニュートン定数についてはどうだろうか？これらの単位にニュートン定数を掛けると何が得られるだろうか？これを行うと、奇妙なものが得られる。例えば、時間に対しては、1秒あたり1キログラム当たりの立方メートルという単位が得られる。
これは私たちが使わない単位だ。なぜか？その理由は、ニュートン定数が重力に関連しているからだ。重力においては、エネルギーや運動量を扱うのではなく、エネルギー密度や運動量流束、そして曲率を扱う。これらは全体量としてではなく、体積あたりで定義される。つまり密度である。
cの4乗で割ったニュートン定数は、時空曲率をこれらの密度に変換する。これらはアインシュタイン方程式に現れる。これは、量子物理学で使う時空-運動量空間の描像と、一般相対性理論で使う曲率-密度の描像との間に断絶があることを意味している。これが重力の量子化に苦労している理由の一つだと思う。
あるエネルギーを持つ粒子が明確な位置を持たないと言うのは良いが、エネルギー密度が位置を持たないと言うのは意味をなさない。なぜなら、密度は位置の関数だからである。
私の特殊な関心により、潜在的な視聴者の99%を失ってしまったのではないかと心配している。とにかく、この話題が本来受けるべき注目を受けていないと思うので、これを話している。単位とは何だと思うか？コメントで教えてほしい。
まとめ
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視聴ありがとう。また明日お会いしよう。
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