この講演は、20世紀最大の数学的発見の一つであるクルト・ゲーデルの不完全性定理について包括的に解説している。ラッセルとホワイトヘッドの「プリンキピア・マテマティカ」が目指した数学の完全な形式化という野心的なプロジェクトが、いかにしてゲーデルの天才的な洞察によって根底から覆されたかを詳述する。講演者は、自己言及のパラドックスから始まり、形式システムの本質、ゲーデル数化の巧妙な仕組み、そして「真であるが証明不可能」な命題の存在という衝撃的な結論に至るまでの道筋を、数学的厳密さを保ちながらも理解しやすく説明している。
ゲーデル不完全性定理への導入
クリスタさんが私を招待してくださった時、ゲーデルについて話すように言われました。その時、ゲーデルだけでなく、知ることのできない他のことについても話すかもしれないと思いましたが、今朝のプレゼンテーションではゲーデルの不完全性定理だけに焦点を当てて、その概観を提供することに決めました。哲学的な帰結についてはあまり詳しく話すつもりはありません。それは議論の中で話すことができますが、ゲーデルが何をしたかの概観をお話ししたいと思います。
マーカスが彼のプレゼンテーションで述べたように、ゲーデルは「この文は偽である」のようなパラドックス的な文からインスピレーションを得ました。彼はそのような構造や構成を取り上げて、誰も予想できなかった方法で数学に持ち込んだのです。
私の講演をいわゆる章に分けました。それが何を意味するのかわかりませんが、物事を章と呼ぶユーモアのためです。
数学記号の歴史的発展
数学について言えば、約400年から500年前には、実際にはほとんど記号がありませんでした。すべて文章で行われていました。方程式や変数名に使われるアルファベットの文字、定数といったものすら存在しませんでした。これらはデカルトによって発明されたと思います。彼は数を表すためにアルファベットの文字を使うというアイデアを発明しました。アルファベットの最初の方の文字は定数を表し、終わりの方の文字は変数を表すものでした。
また、スコットランドの数学者で、名前を忘れてしまいましたが、ファーストネームはロバートだったと思いますが、ラストネームを覚えていない人が、400年から500年前に等号記号を発明しました。記号が全くない数学を想像するのは難しいですが、それは私たちが長い道のりを歩んできたことを物語っています。
17世紀、18世紀、19世紀において、数学は極めて形式的になりましたが、人々はまだ多くを言語で行っていました。今日でもそうですが、何が厳密で何がそうでないかを正確には知りませんでした。オイラーや他の多くの人々によってパラドックス的と思われる多くのことが発見され、これらのパラドックスは数学的推論の信頼性について多くの懸念を引き起こしました。
プリンキピア・マテマティカの野心
非常に厳密で精密であると感じられていたにもかかわらず、彼らはそれを何らかの形式的な方法で確定させようとしました。そうすることで、一度きりで永続的に数学的真理とは何かを知ることができるのです。
これは短い講演なので、それらすべてを要約するつもりはありません。多くの人が貢献しました。ジョージ・ブール、オーガスタス・ド・モルガン、ゴットロープ・フレーゲ、ダヴィッド・ヒルベルト、ジュゼッペ・ペアノなど、多くの人々の名前を挙げることができます。しかし、特にお話ししたいのは、このアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドと、これはバートランド・ラッセルのかなりユーモラスな写真です。
彼らの偉大な作品「プリンキピア・マテマティカ」は、1910年から1913年にかけて3巻で出版され、数学のすべてを形式化し、それを論理と統合する試みでした。これは数学的推論を論理と集合論に基礎づけようとする高貴な試みでした。
彼らの仕事の中核にあったのは、先ほど述べたように多くの人を悩ませていたパラドックスを排除するというアイデアでした。ラッセルには、すべてのパラドックスの根源は自己言及、つまり「この文は偽である」のように自分自身について語ることができる文や、自分自身を含むことができる集合にあるように感じられました。
そこで彼は型理論と呼ばれるものを開発しました。詳しくは説明しませんが、これはシステムに自己言及が入り込むことを排除しようとする方法でした。それは、そのようなシステムで自己言及が生じることを防ぐために作られた、非常に精巧で注意深い要塞でした。
形式システムの本質
長年にわたって、彼らの仕事は、数学を論理に基礎づけ、それを形式化し、一度きりで永続的に精密なシステムを持つという夢の実現として受け取られていました。すべての数学がこの「プリンキピア・マテマティカ」の仕事から出てくることになっていました。
しかし、ウィーンでゲーデルは、この目標に対してある意味で疑問を抱いていました。彼はこの試みに何か間違いがあると感じていました。彼が何をしたかについてお話ししますが、まず数学的推論の性質について少し話さなければなりません。
形式システムのアイデアは、形式記法で書かれた公理の集合を持ち、それを推論規則と呼ばれるものによって特定の形式的方法で操作するというものです。詳細については確実に説明するつもりはありませんが、ここに数論のために取ることができるいくつかの公理があります。
これらは数論のすべての公理ではありませんが、物事を説明しています。この記法を皆さんのために解読してみましょう。逆さまの大文字のAは「すべての」を意味します。これは「すべてのaについて」と言っています。このチルダは「ない」を意味し、否定です。大文字のSは「の後継者」を意味します。
ですから、これは「すべてのaについて、aの後継者がゼロに等しいということはない」と言っています。これが実質的に言っているのは、これを翻訳すると、後継者がゼロであるような数は存在しないということです。後継者とは毎回1を加える時に行うことなので、基本的にこれは負の1のようなものは存在しない、負の数は存在しないと言っています。
これはゼロという数の性質を定義しています。すべてのaについて、aとゼロの和はaであると言っています。ゼロは加法の単位元です。これは加法の性質について何かを言っています。すべてのaとbについて、aとbの後継者を加えると、aとbの和の後継者と同じことだと言っています。それはかなり些細な文のように思えますが、加法を始動させるのに十分です。
これはゼロを掛けると当然ゼロになるという文です。これは乗法の本質を定義している文で、aにbの後継者を掛けると、aにbを掛けてaを加えたものと同じだということです。これらの文によって多くのことができます。他の公理も必要ですが、詳細に立ち入るつもりはありません。
形式性の意味
しかし、強調したいのは、私が形式的と言う時、コンピュータの時代の今日では、記号が機械によって操作されるというアイデアに人々は馴染んでいるということです。しかし、1910年、1913年、プリンキピア・マテマティカが出版された年、そしてその前後の数十年間には、コンピュータは存在しませんでした。
チャールズ・バベッジがコンピュータの概念を発明し、理論的に、素晴らしい方法でそれらを開発していたにもかかわらず、コンピュータの概念は存在していました。電子的ではなく機械的でしたが、それでも存在していました。しかし、当時、記号が形式的に操作されるというアイデアは新しく、異なったものでした。
これらのシステムのアイデアが非常に重要だったのは、記号の意味に全く注意を払わないということです。私はこの逆さまのaが「すべての」を意味し、これが「ない」を意味すると言いましたが、ある意味では、これらの操作を実行する時、これらの記号の意味を知っているはずはないのです。
推論規則によって公理から定理を演繹することを可能にする操作は、意味を考慮に入れることになっていません。記号の意味を無視することになっています。記号そのものだけを見て、「この記号の列は、別の記号の列に進むことを可能にする特定の形を持っている。それらが何を意味するかわからない」と言うのです。これが形式システムのアイデアであり、プリンキピア・マテマティカで推し進められていた概念でした。
証明の例と複雑さ
2つの証明をお見せします。使われている推論規則は説明しませんが、証明がどのように見えるかをお見せしたいと思います。これは非常に短い証明です。これは「1足す1は2に等しい」という文の証明です。つまり、ゼロの後継者にゼロの後継者を加えたものは、ゼロの後継者の後継者に等しいということです。
ここに証明があります。それは2つの公理を使用することから始まり、次に私が説明しない推論規則を使用しますが、形式的プロセスによって、この公理からこの特定化へ、これへ、これへ、これへ、これへと進むことができます。私が気づいて欲しいのは、右側の余白に赤い線を引いたことです。その線が前後に動いているのに気づいて欲しいと思います。これらは長いものがいくつかあり、次に非常に短くなり、それから最後に向かって少し長くなります。これは今後のことのほんの示唆です。気づいて欲しいだけです。
私が展示するもう一つの証明は、「1掛ける1は1に等しい」というものです。これはより長い証明で、より複雑ですが、私が示した公理の集合とこのシステムで許可していた推論規則から見ると、これが可能な限り短いものです。詳しく説明するつもりはありません。この目的には重要ではありません。ただ、再びこの波状の形を見て、非常に短い記号の列である結果を得るために、かなり長い列を含む経路を通らなければならなかったということに気づいて欲しいと思います。
最も長いものはそこのあれです。私が期待していた結果よりもずっと長いのです。これは証明の性質を考える上で非常に重要な事実です。つまり、ある意味で、私たちは証明がどれくらい長くなるか、結果として非常に短い列を得るために操作しなければならない列がどれくらい長くなるかわからないし、使わなければならないステップ数もわかりません。事前にそれを予測することはできません。
ラッセルの安心感と新たな問題
バートランド・ラッセルは、彼と同僚のアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドがこの理論を作成していた時、当然非常に満足していました。整数についての文を書き下ろす時、フェルマーの最終定理を表現するような複雑な文であっても、「nが2より大きい時、aのn乗足すbのn乗がcのn乗に等しくなることは決してない（ここでa、b、cは正の整数）」といった種類の文は、このような記法で書き下ろすことができ、それは明らかに「この文は偽である」のようなパラドックス的な文とは何の関係もないことは明らかでした。
そのようなものからできるだけ遠いところにありました。それは整数について話しているだけであり、それがすべてでした。あるいは、「4以上のすべての偶数は2つの素数の和である」というゴールドバッハ予想の文は、まだ証明されていませんが、誰もがそれが真であると信じています。そのような文も、素数と和などについてのみ関係があり、整数とその性質についてのみ話しているシステムで、どうして自己言及的な文が出てくる可能性があるでしょうか。
これは、バートランド・ラッセルを非常に幸せにしたであろうことです。彼のシステムは明らかに自己言及的な文を持つことができませんでした。
整形式と定理の区別
私はすでに定理について少し話しましたが、整形式と呼ばれるものについて話したいと思います。それらは定理との対比を形成するからです。整形式は、実際には文法的な文と言えるものです。真か偽かの文を表現するものですが、それはただの文です。
それらを見てみましょう。これは「1足す1は2に等しい」と言うもので、たまたま真です。これは「ゼロは1に等しい」と言うもので、たまたま偽です。しかし、それらは両方とも等しく良い整形式です。真か偽かの思考を表現しており、それが考える必要があることのすべてです。
これは加法の可換性を表現するものです。これは「2乗が2になるような数aは存在しない」と言っています。もし最初のチルダを取り除けば、「2乗が2になるような数aが存在する」と言うことになります。それらは両方とも等しく良い整形式です。
整形式について皆さんに伝えたいのは、式が整形式かどうかを判断するのは非常に簡単だということです。記号の列について言えば、式が整形式かどうかを判断するのは非常に簡単です。基本的にはその部分を見て、より小さな部分に分解するだけです。
たとえば、これを見ると、左括弧で始まっているのがわかります。バランスを取る右括弧があることを確認する必要があります。必ずしも最後である必要はありませんが、どこかにある必要があります。括弧のバランスが取れている必要があり、確かにそれはそこでバランスが取れています。これはバランスが取れています。まだ整形式であることを保証するものではありませんが、それが整形式かどうかをテストする一部です。
これは「もし〜ならば」または「含意」を表しています。これを声に出して読むと、「もし0が1に等しいならば、2足す2は4に等しい」と言うことになります。あまり興味深くない文で、ばかばかしく聞こえる文ですが、それが重要ではありません。しかし、私たちはそれを読んで理解することができ、これはそれ自体で整形式です。
「0は1に等しい」は整形式であり、これは整形式です。これは「2足す2は4に等しい」で、それから私は1つの文を「もし〜ならば」で別の文と組み合わせました。それも2つの整形式を取って、それらからもう1つの整形式を作る許可された操作です。整形式を作り上げる時、私がすることは小さなチャンクを取って、それらをより大きなものに作り上げることだけです。それがすることのすべてです。
ですから、記号の列が整形式かどうか知りたければ、その部分を見る必要があるだけです。それをより小さな部分に分解し、それらをより小さな部分に分解し、続けていきます。それは非常に予測可能な整形性のテストです。
これを定理と対比させています。何かが定理かどうかを知るのはそれほど簡単ではありません。定理の定義は、実証を持つもの、証明を持つものです。それを知るためには、可能な証明の中で検索をしなければなりませんが、その検索がどれくらい時間がかかるかわからないし、その検索に関わる式がどれくらい長くなるかもわかりません。
ですから、それには一種の予測不可能性があります。一方、私が引いている対比は、この式が整形式かどうかを把握するのにどれくらい時間がかかるかという質問には予測不可能性がないということです。それは本当に些細な質問です。
フィボナッチ数とコラッツ数の類推
今、2種類の数について話し、これはゲーデルの構成の背後にあるアイデアを理解してもらうために使う類推です。多くの皆さんはすでに理解していると思いますが、ゲーデルの仕事に馴染みのない方のために説明します。
フィボナッチ数は、前の2つの数の和を取る時に得られる数です。1足す2は3、2足す3は5など、13足す21は34です。最近では誰もがフィボナッチ数にかなり馴染んでいます。
もし私が数を与えて「672はフィボナッチ数ですか」と尋ねたら、皆さんは「それを把握する方法がわからない」とは言わないでしょう。皆さんがすることは、そのサイズまで、672まで、またはそれに近いところまでフィボナッチ数を生成することです。次のものは900何か、987くらいになりそうで、それがすべてで、私はすでに通り過ぎているし、もう小さくなることはありません。フィボナッチ数は常に大きくなるので、672を通り過ぎたなら、推測ですがそうではありません。しかし、代わりに377と言っていて、それを当てたなら、「はい、そうです」と言うでしょう。
ですから、数がフィボナッチ数かどうかを知るのは非常に簡単です。非常に単純なテストです。同様に、素数についても言えます。691は素数ですか？一連の数で割って、最終的に691の平方根に達し、約数を見つけていなければ、それで終わりで、それが素数だとわかります。あるいは、その期間に約数を見つけたなら、それは素数ではありません。
数の性質には、非常に迅速かつ予測可能にテストできるものがたくさんあります。
対照的に、1930年代にコラッツが行った有名な予想について話します。彼は微分方程式が専門の数学者でしたが、おそらく他の何よりもこの予想で知られることになるでしょう。彼は良い数学者でしたが。
私が彼の表現とは少し異なる方法で、しかし同等の方法で表現します。同じことですが、ただ後ろ向きの視点から見ているだけです。n=1から始めます。常に1から始めます。そして、2つのことができます。常にnから2nにジャンプできます。何でも2倍にできます。
そして、数が3k+1の形を持つ場合、たとえば7や22のような場合、この大きな数、たとえば22から7に下向きにジャンプすることができます。なぜなら22は3k+1の形だからです。3×7+1なので、22から下向きにジャンプできます。23ではできません。その形ではないからです。24でもできません。その形ではないからです。しかし25ではできます。25から8にジャンプできます。その形だからです。
さて、これらの2つの規則によって、持っている数に対して操作することができます。1、2倍して2、2倍して4、2倍して8、2倍して16に行くことができます。今、16は3k+1の形なので、下に行くことができます。5に行くことができます。また2倍することもできますが、別の規則を使って5に下がることにしました。
それから10に行き、20に行き、40に行くことができます。見てください、40は3k+1の形なので、下に行くことができます。13に下がることができ、26に上がることができます。このように、到達できる目的地はどこかという、数の集合で経路を取ることができます。
実際、これは7への最短経路です。非常に面白い経路です。大きくなり、小さくなり、大きくなり、小さくなり、大きくなり、小さくなり、大きくなり、それから最終的に7に到達します。それは一種の混沌的な経路で、7に到達する最短経路です。
与えられた数がコラッツ数かどうか判断するのは、フィボナッチ数かどうか判断するほど些細ではないことがわかります。なぜなら、そこに到達する経路がどれくらい長いかわからないからです。
3に到達できますか？これをチェックしてみて、実際に3に到達できますが、このルートを取らなければなりません。1から始めてあらゆる方向に行き始めると、これが有望なルートであることがわかりますが、これが取るべきルートだとは事前にはわかりませんでした。
27はどうでしょうか？これは有名なケースで、27に到達する最短ルートです。私がこの数を緑色にして大きくしましたが、それは9232まで行きます。27に到達する最短ルートでは、27に戻るために9000台まで行かなければなりません。これは本当に驚くべきことです。
これは何らかの絵です。底で少し切れていますが、大丈夫だと思います。グラフが見えますか？グラフが見えるとすれば、そのアイデアは、一種の混沌的なジャンプをして、それから上に行って、下がって、上に行って、下がって、ジャンプして、最終的に27に到達するということです。
これはすべて、より小さなケースへの再帰的分解によるテストではなく、成功することが保証されていないことを言うためです。542に到達することについて言うとすれば、この規則を使って、どれくらい時間がかかるか、あるいはそこに到達できるかどうかさえも事前にはわかりません。
ゲーデルは、コラッツ数には馴染みがありませんでした。彼らは彼の仕事が終わった後に発明されたからです。しかし、彼は理解していました。予想では、すべての可能な正の整数がこの方法で到達できると述べています。このプロセスに従うことで、すべての正の整数に到達できます。何十億もの数まですべてテストされ、常にすべての数がうまくいくことがわかっていますが、証明されたことはありません。
ゲーデルの深い洞察
さて、ゲーデルに戻りましょう。ゲーデルは深い洞察を持っていました。前の世紀において、人々は数をあらゆる種類のものを表すために使っていました。誰もが知っていたわけではありませんが、科学の人々は、たとえば惑星の重心の座標を数として考えることができ、時間におけるそれらの進化を支配する方程式があることを知っていました。
ですから、数が世界をシミュレートできることは理解されていました。しかし、ゲーデルが見たのは、実数ではなく整数が、人々が数学的対象として考えたことがないものを非常に簡単にシミュレートできるということでした。ケプラーとニュートン以降、軌道を動く惑星が一種の数学的対象であり、微分方程式に従う実数でシミュレートできることは明らかに思えるかもしれませんが、ラッセルとホワイトヘッドが発明したような形式システム自体が数学システムであるという考えは、誰も考えたことがありませんでした。
彼らは証明を作成するプロセスを数学的プロセスとして考えませんでした。それは何らかの方法で数の観点から考えられていませんでした。ゲーデルが理解したのは、本質的に記号の操作が数学的操作であり、したがって整数を使ってモデル化できるということでした。
ここにバッハの楽曲の一部の絵があります。この楽曲を1つの非常に大きな整数にエンコードすることを想像できます。それを非常に大きな整数にエンコードする方法は、この議論には関係ありませんが、それを非常に大きな整数にエンコードできることを想像できます。そうすると、その整数について質問することができ、それは楽曲について質問することと同じになります。整数について質問しているように見えても、同時に楽曲についても質問していることになります。
たとえば、楽曲には何個の音符があるか？それはこの大きな整数を見ることで答えることができる数学的質問です。楽曲のキーシグネチャーは何か？それはバッハによるものか？それが表す楽曲がバッハによって書かれたかどうかを大きな整数から教えてくれる数学的操作があることを想像するのは少し難しいですが、それが数学的質問かもしれないことは想像できます。作曲家の国籍は何だったか？それは少し厄介になります。
もしゴールドバッハ予想のような記号の列に同じことをしたとすれば、ゴールドバッハ予想は記号の列です。私がそれを書いた方法では約30個の記号が含まれていたと思います。それを何らかの方法で大きな整数としてエンコードできることを想像してください。ゲーデルがそれを整数としてエンコードした方法を説明しますが、この列を表すような大きな整数があると想像してください。
そうすると、この列には何個の記号があるかを把握できるはずです。これは九九表からの事実か？つまり、2×2=4や9×8=72のような単なる乗算なのか、それとも何か他のことを表現しているのか？これが真の文か偽の文かについてはどうでしょうか？大きな整数に数学的操作を適用して、それが真か偽かの文かを知ることができるでしょうか？
それは別の文から直接従うか？それはプリンキピア・マテマティカの定理か、そうでないか？などなど。
ゲーデル数化の仕組み
では、彼はどうやったのでしょうか？ここに身元不明の農民とゲーデルの写真があります。
ゲーデルは、任意の整数を一意的に因数分解できるという事実を利用して、列を大きな整数にマップしました。6は2の1乗×3の1乗、25は5の2乗、37は素数なので、それ自体のものに既に因数分解されています。
ここに1700という、かなり大きな整数があります。それを2の2乗×5の2乗×17に因数分解します。それがその素因数分解です。ここの指数は、関与する最大の素数である17まで、関与する素数についてのものです。中間の素数は2、3、5、7、11、13、17で、これらは17までのすべての素数です。この因数分解では、それぞれに指数があります。ほとんどがゼロですが、2の2乗、3の0乗、5の2乗、7の0乗、11などです。
ですから、この大きな整数によってコード化された小さな整数の列があります。これがゲーデルが見たことです。大きな整数は任意に長い小さな整数の列を表すことができると言いました。
そして彼は、ホワイトヘッドとラッセルがプリンキピア・マテマティカで行っていたすべてを、列での操作としてではなく、大きな整数での操作として再構成しました。
例を取って、ゲーデルがそれを大きな整数としてどうエンコードできるかを見てみましょう。私が取った列は、最初の公理である「すべてのaについて、aの後継者がゼロに等しいということはない」で、基本的に負の数はないと言っています。
これは何個の記号ですか？1、2、3、4、5、6、7、8個の記号です。最初の8個の素数を取り、それらを様々な冪に上げます。私がここに書いたのは、実際に2を逆さまの大文字のaの冪に上げましたが、これは整数のように見えないかもしれません。しかし、逆さまの大文字のaを火星記法での数字と考えれば、これは火星記法であり、逆さまの大文字のaは火星記法で7かもしれないし、小文字のaは9かもしれません。これらの記号はそれぞれ火星記法での整数にすぎません。
ですから、これを行う時、私は大きな整数を作成しているだけです。どの式をエンコードしていたかを知りたければ、その大きな整数を因数分解し、指数の列を見て、エンコードしていた正確な列を綴ることができます。
ゲーデルはこの方法で列を大きな整数にエンコードしていました。これは一種の曖昧さを作り出します。この大きな整数は数ですか？はい、そうです。式ですか？ある意味では、はい、式です。この式を表しているからです。
これらの形式操作を扱う時、特定の規則に従って1つの列から別の列へ、または1つの数から別の数へと進むことを可能にするものを扱っている場合、それは式として考えることができます。変わった記法で書かれた式にすぎません。
これは実際にプリンキピア・マテマティカの公理の1つを表す整数です。公理が複雑な文で多くの記号を必要とするため、それは大きな整数です。ゲーデル数化を行う方法は多くあります。これはゲーデルの実際のシステムを使っています。それをより単純にする他の多くの方法がありますが、プリンキピア・マテマティカの公理の1つに対してこの1つの大きな整数が表しているのを見るのは面白いと思いました。
それを因数分解することでそれが何かを把握できますが、因数分解するのに時間がかかるかもしれません。しかし、一度因数分解すれば、この公理が何を言っているかを記号ごとに正確にマップアウトできます。
しかし、それが定理かどうかを把握するのは別のことです。それが公理だと認識すれば終わりです。わかります。しかし、とにかく、与えられた整数が整形式を表すかどうか？それは簡単な質問です。非常に簡単な質問です。指数を見て、その式を見るだけで、それを分解する方法がわかります。
証明の数学的性質
しかし、プリンキピア・マテマティカの記法システムへの翻訳をバイパスして、整数自体を直接操作することができます。その整数をより小さな部分に分解し、さらに小さな部分にする規則を持つことができ、その整数が整形式を表すかどうかを教えてくれます。それは列を分解して、それが整形式の列かどうかを尋ねるプロセスと同じくらい機械的で同型的です。異なる記法で尋ねられた同じ質問にすぎません。
与えられた整数が定理を表すかどうか？それを知る明らかな方法はありません。なぜなら証明はジグザグするコラッツ経路のようなもので、これはこの講演の重要なスライドの1つです。
これは加法の可換性の証明を取ったものです。最後にすべてのdとcについて、c+d = d+cと言っています。これが加法の可換性で、公理から始まって推論規則を使います。それはかなり長い証明です。実際には非常に短いのですが、私たちの目的には長く見えます。
加法の可換性を導くために、かなり長い文を取得し、でこぼこした道のりが必要でした。しかし最終的には導きました。しかし、この証明がどれくらい長くなるかは事前にはわからないし、中間段階に関わる列がどれくらい長くなるかもわかりません。これらは2つの完全に未知のことです。
これがコラッツ数にどれくらい似ているかに注目してください。これらのものを列としてではなく整数として考えると、ゲーデル数化によって整数としてエンコードできることを覚えておいてください。基本的に同じことをしています。いくつかの小さな整数を取り、様々な方法で数学的に操作し、9000232のアナログのような非常に大きな整数を得て、それから操作を続けて他の大きな整数を得て、最終的に希望していたものに到達します。
これがゲーデルが見たことです。何かが定理かどうかという質問は、潜在的に非常に複雑な質問だということです。整形式かどうかという質問とは異なり、それは非常に複雑な質問ではありません。
整形式数と定理数の対比
整形式数、ゲーデル数化を通じて整形式を表す数は、フィボナッチ数のようなものです。非常に簡単にテストできます。定理数、プリンキピア・マテマティカの定理を表す数は、それほど単純ではありません。コラッツ数のようなものです。
言い方を変えれば、整形式数、それらに対応する数を作るためには、より小さな整数からより大きなものへの経路を単調に増加させるだけです。それだけです。単調に増加する経路です。
定理数は単調に増加する経路ではありません。混沌的な方法で前後にジャンプします。整形式数は、ゲーデルのマッピングを通じて整形式と同型的で、整形式数に到達する経路は単調であり、したがって単調で、非常に興味深いものではありません。
定理数は定理と同型的ですが、定理に到達する経路は予測可能ではないため、定理数についても同じことが言えます。定理数の経路は予測不可能なジグザグに従います。
ゲーデルは、定理数という概念が素数の概念と同じくらい数学的に精密であることを示すことができました。つまり、素数は明らかに数学的概念ですよね？この数を因数分解する時、1とそれ自体の間の因数を得るかという質問にすぎないからです。それは非常に数学的な概念です。
ゲーデルが示したのは、定理数であることも完全に数学的な概念だということです。つまり、特定の数の集合が定理数であると述べることから始めます。どれですか？公理を表すものです。公理はすべて定義により定理数です。公理数はすべて定理数です。
そして、これらの数を操作することを可能にする形式的規則が与えられ、これらの数から新しい数を作成できます。時には大きく、時には小さくなりますが、新しい数を得ます。これらが定理数と呼ばれます。これらの数は、コラッツ数と同じくらい数学的で、素数と同じくらい数学的で、フィボナッチ数と同じくらい数学的です。
自己言及の潜入
ゲーデルがしていたことは、証明可能性の議論をプリンキピア・マテマティカが扱う議論の領域に持ち込むことでした。プリンキピア・マテマティカは何を扱っているでしょうか？整数についての文を扱っています。この整数は素数か、この整数はコラッツ数か、この整数はフィボナッチ数か、この整数は整形式数か。これらはすべて数学的質問です。この整数は定理数か、もう1つの数学的質問です。
しかし、この整数は定理数かと尋ねると、実質的にこの列は定理か、この特定の列はプリンキピア・マテマティカの定理かと言っていることになります。ですから、ラッセルとホワイトヘッドが自己言及は彼らのシステムでは不可能だという錯覚の下にあったにもかかわらず、ゲーデルはゲーデル数化のトロイの木馬によってそれを潜り込ませたのです。
プリンキピア・マテマティカの構造と同型的に作用する数を持つと、プリンキピア・マテマティカのすべての構造について数値的に話すことができるからです。彼は正確にどうやったかは説明しませんが、定理数の概念をシステム自体に持ち込むことができただけでなく、次の文を表現する非常に特別な列を書き下ろすことができました。
それは特定の整数Gで、「整数Gは定理の数ではない、定理数ではない」と言いました。定理数は、641が素数ではないと言うような数学的概念にすぎないことを覚えておいてください。ちなみにそれは偽です。それは素数ですが、関係ありません。それは数学的文にすぎません。
「整数Gは定理の数ではない、定理数ではない」。しかし、整数Gが実際にこの文に対応する正確な数であることがわかりました。この文を表現したGは、この小文字のgはこの数学的概念だと言うと、Gはゲーデルの式です。
プリンキピア・マテマティカの記法でこのことを言います。「Gは定理数ではない」と言います。つまり、この数には特定の数論的性質があると言い、また、そうすることによって、それが表す式は定理ではないと言います。しかし、この式は実際にその正確な文であることがわかります。
ですから、彼は実際に自分自身について定理ではないと言う文を作成しました。それがマーカスが掲げたものです。「この文は証明可能ではない」と言いました。
これらは同じ主張で、ただ2つの異なる方法で理解されているだけです。特定の数が特定の数論的性質を持つか、特定の式がプリンキピア・マテマティカの定理ではないか。同一の文です。
驚くべき帰結
この構成の帰結について結論として述べましょう。なぜならこの構成は、バートランド・ラッセルの心にそのような恐怖を呼び起こした自分自身について語る文を作成するからです。彼の心にとって自己言及はすべてのパラドックスの源であり、それがプリンキピア・マテマティカの一部ではないことを確実にするために非常に努力していました。ゲーデルは実際にゲーデル数化のトロイの木馬によってプリンキピア・マテマティカの内部にそれを持ち込んだのです。
ゲーデルが作成した文は、自分自身について証明可能ではないと言いました。それが証明可能だったとしましょう。そうすると、それは偽の文になります。なぜなら、それは証明可能ではないと述べているからです。しかし、もしそれが証明可能なら、偽の文が証明可能になります。
それはひどいことのように思えます。偽の文が証明可能であることは望みません。それはプリンキピア・マテマティカの破壊になるでしょう。偽の文が証明可能だとは誰も信じていませんでした。ですから、それが証明可能だったという仮定に戻って、それを撤回しなければなりません。ですから、それは証明可能なものではありません。
しかし、それが言っていることです。それは証明可能ではないと正確に言っています。ですから、それが言っていることは真であることがわかり、まさにその理由で証明可能ではないのです。これは真のパラドックスです。それが証明可能でない正確な理由は、それが真だからです。
これは数学者が好むことの正反対です。彼らは証明可能性と真理が同義語であることを望んでいます。この列が証明可能でない正確な理由は、それが真だからです。非常に奇妙です。
プリンキピア・マテマティカには真であるが証明可能でない文があることを示したこの構成は、プリンキピア・マテマティカだけに適用されるものではありませんでした。この構造の任意のシステムに適用されました。プリンキピア・マテマティカの詳細、使用した特定の公理や特定の推論規則には依存しませんでした。
依存していたのは、いくつかの公理といくつかの推論規則があるというアイデアだけでした。それは、数論の真理を取得するのに十分に豊かな任意のシステムには、真であるが証明可能でない文が存在することを示しました。
これを新しい公理として投入することもできますが、それは何の助けにもなりません。なぜなら、それは新しい公理の集合を持つ新しいシステムだからです。そして、少し大きなそのシステムにゲーデルの手順を適用するだけで、証明可能でないが真である別の列を得ることができます。永遠に続けることができます。
ですから、無限の数の穴があり、それらをすべて体系的に埋めることはできません。
最後に言いたいのは、過去数十年間に示されたことですが、これらの数論的文、つまりゲーデルの文は特定の数が特定の種類の性質を持つと言いますが、それはゲーデルが作成したマッピングを使って構成された非常に人工的な種類の性質のように思えるかもしれません。
そのような非常に非常に難解な種類の式であるように思えるかもしれません。そのようなものが存在しても、数学者が実際に話すことから非常に遠いところにあるように思えるかもしれませんが、そうではないことが示されています。
実際、ジョン・コンウェイと同僚たちは、コラッツ問題をそのような問題の一家族の一つとして考えると、基本的に整数を掛けたり割ったりして、そのような方法で上下することを含む問題として、正確な家族を定義するつもりはありませんが、想像できると思います。コラッツ問題はしばしば3n+1問題と呼ばれ、5n+1問題や5n+2問題などを想像できます。
これらの問題をすべて一緒に考えると、ゲーデル的理由で決定不可能なそのような問題が存在することが示されています。つまり、ゲーデルの構成がある種のコラッツ問題と等価であることを証明できます。
ですから、実際には、それは非常に正常な数論的な種類の質問です。曖昧で奇妙で非数学的で人工的に見えるものではありません。非常に自然な数学的な種類の質問です。
また、ディオファントス方程式には解けないもの、決定不可能なディオファントス方程式が存在することも示されています。これらは基本的に、いくつかの整数のいくつかの冪の和が別の整数のいくつかの冪の和に等しいという形の方程式です。非常に単純で基本的な代数的な種類の方程式で、決定不可能なものが存在します。
ですから、ゲーデルの仕事の結果として、決定不可能であることが示された非常に標準的な数学的形式の質問が存在することがわかります。決定不可能性は非常に奇妙で遠い領域だけに適用されるのではなく、非常に標準的な種類の構成に適用されます。それは本当に驚くべき、やや恐ろしい考えです。
これで結論にしたいと思います。
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