テレンス・タオ：数学・物理学の最難問とAIの未来

この動画では、史上最も偉大な数学者の一人とされるテレンス・タオが、数学と物理学における最も困難な問題について語っている。フィールズ賞とブレークスルー賞の受賞者である彼は、角谷予想、ナビエ・ストークス方程式、リーマン予想、双子素数予想といった数学の根本的な問題から、AI技術の数学への応用、Lean証明言語の可能性まで幅広く議論している。数学研究における協力の重要性、問題解決のアプローチ、そして数学とAIの未来についての洞察に満ちた対話である。

数学研究の出発点：最初の困難な問題

以下は、数学史上最も偉大な数学者の一人とされるテレンス・タオとの対話です。しばしば「数学のモーツァルト」と呼ばれる彼は、フィールズ賞とブレークスルー賞を受賞し、数学と物理学の驚くほど幅広い分野に画期的な貢献をしてきました。私にとって多くの理由で大きな名誉でしたが、特にテリーが私とのやり取り全体を通して示してくださった謙虚さと優しさには感銘を受けました。これは本当に意味のあることでした。これはLex Fridmanポッドキャストです。

最初の本当に困難な研究レベルの数学問題について話していただけますか。一度立ち止まって考えさせられるような問題です。

学部教育では、リーマン予想や双子素数予想のような本当に難しい不可能な問題について学びます。問題は任意に困難にすることができます。それは実際には問題ではありません。実際、解けないことが分かっている問題さえあります。本当に興味深いのは、我々が比較的簡単にできることと絶望的なことの境界にある問題です。つまり、既存の技術で90％の仕事ができて、残りの10％だけが必要な問題です。

博士課程の学生として、角谷問題は確実に私の注目を引きました。実際、それは最近解決されました。これは私の初期の研究で多く取り組んだ問題です。歴史的には、1918年頃の日本の数学者角谷静夫による小さなパズルから生まれました。

角谷問題：針の方向転換

パズルは次のようなものです。平面上に針があります。道路を運転しているようなものを想像してください。その針にUターンを実行させたい、つまり針を回転させたいのですが、できるだけ少ない空間でそれを行いたいのです。つまり、回転するために使用する面積を最小にしたいのです。

しかし、針は無限に操縦可能です。単位針として、その中心の周りで回転させることができると想像できます。これは面積がπ/4の円盤を与えると思います。または、運転学校で教える3点Uターンを行うこともできます。これは実際には面積π/8を取るので、回転よりも少し効率的です。

しばらくの間、人々はこれが最も効率的な方法だと考えていました。しかしマジコビッチは、実際には好きなだけ少ない面積で針を回転させることができることを示しました。0.001でも、非常に巧妙な多重の前後Uターンを行うことで、針を回転させ、その過程ですべての中間方向を通過させることができました。

これは2次元平面での話です。2次元では全てを理解しています。次の問題は3次元で何が起こるかです。

3次元への拡張と波動現象への応用

ハッブル宇宙望遠鏡が宇宙の管だと仮定し、宇宙のすべての星を観測したいとします。つまり、すべての方向に到達するために望遠鏡を回転させたいのです。非現実的な部分は、空間が貴重だと仮定することです（実際にはそうではありませんが）。空中のすべての星を見るために、できるだけ小さい体積を占有したいのです。どれくらい小さい体積が必要でしょうか？

望遠鏡の厚みがゼロなら、必要なだけ小さい体積を使用できます。これは2次元構成の単純な修正です。しかし、望遠鏡がゼロの厚みではなく、非常に薄いがある厚みδを持つ場合、すべての方向を見るために必要な最小体積は、δの関数としてどうなるでしょうか？

δが小さくなり、針が薄くなるにつれて、体積は下がるはずですが、どれくらい速く下がるでしょうか？予想は、対数的に非常にゆっくりと下がるというものでした。これは多くの作業の後に証明されました。

これがパズルのように見える理由は、偏微分方程式、数論、幾何学、宇宙論の多くの問題と驚くほど関連しているからです。例えば、波動伝播では、水をはねかけると水波が生成され、さまざまな方向に移動します。

波は粒子と波の両方の行動を示すため、波束と呼ばれるものを持つことができます。これは空間に局在化し、時間内に特定の方向に移動する非常に局在化した波です。空間と時間の両方でプロットすると、管のように見える領域を占めます。

ナビエ・ストークス方程式との関連

最初は非常に分散していた波が、後で単一の点にすべて集中することが起こり得ます。池に小石を落とし、波紋が広がることを想像してください。それを時間反転すると（波動方程式は時間可逆です）、単一の点に収束する波紋を想像でき、そして大きなスプラッシュ、おそらく特異点さえも発生します。

角谷予想が負の解を持っていた場合、異なる方向を指す管を非常に狭い体積に非常に効率的に詰め込む方法が存在することを意味していました。そうすると、最初は非常に分散しているが、単一の点だけでなく時空間の多くの集中を作り出す波の配置を作ることもできるでしょう。

これは、これらの波の振幅が非常に大きくなり、それらが支配される物理法則がもはや波動方程式ではなく、より複雑で非線形なものになる爆発と呼ばれるものを作り出すことができます。

数理物理学では、特定の方程式が安定かどうか、これらの特異点を作り出すことができるかどうかを非常に気にかけています。有名な未解決問題にナビエ・ストークス正則性問題があります。

ナビエ・ストークス方程式：流体力学の中心問題

ナビエ・ストークス方程式は、水のような非圧縮流体の流体流動を支配する方程式です。問題は、水の滑らかな速度場から始めて、速度がある点で無限大になるような集中が起こることがあるかどうかを尋ねています。これは特異点と呼ばれます。

我々は実際の生活でこれを見ることはありません。浴槽で水をはねかけても爆発することはないし、光速で水が出ることもないでしょう。しかし、潜在的にはそれは可能です。実際、近年では、水の非常に特別な初期構成に対して特異点が形成される可能性があるという信念にコンセンサスが向かっています。

しかし、人々はまだそれを実際に立証することはできていません。クレイ財団はこれらの7つのミレニアム賞問題を持っており、これらの問題の1つを解決するのに100万ドルの賞金があります。これら7つのうち、ペレルマンによるポアンカレ予想だけが解決されています。

角谷予想は直接的にはナビエ・ストークス問題と関連していませんが、それを理解することで、波動集中のようなものの側面を理解するのに役立ち、間接的にナビエ・ストークス問題をよりよく理解するのに役立つでしょう。

数学者と他の分野の違い

これが数学者を他のほとんどの人々と区別するものです。何かが99.99％の時間成り立つなら、ほとんどのことには十分ですが、数学者は100％、本当に100％のすべての状況が対象となるかどうかを本当に気にかける数少ない人々の一人です。

ほとんどの流体は爆発しません。しかし、爆発する非常に特別な初期状態を設計できるでしょうか？これは実際に流体力学の分野で流体の動作を理解しようとする方程式のセットであり、実際には流体をモデル化しようとする非常に複雑なものであることが判明しています。

マクスウェルの悪魔と数学の困難さ

この方程式セットについて一般的なことを証明するのが難しい理由について、短い答えはマクスウェルの悪魔です。

マクスウェルの悪魔は熱力学の概念です。酸素と水素の2つのガスの箱があり、最初はすべての酸素が一方にあり、窒素が他方にあるが、それらの間に障壁がないとします。すると混合し、混合したままでいるはずです。混合が解除される理由はありません。

しかし、原理的には、すべての衝突のために、マクスウェルの悪魔と呼ばれる顕微鏡的な悪魔がいるような非常に奇妙な陰謀が存在する可能性があります。酸素と窒素の原子が衝突するたびに、酸素がある側に漂流し、窒素が他の側に漂流するような方法で跳ね返ります。

極めて起こりにくい構成が現れる可能性があります。これは我々が決して見ることはなく、統計的に極めて起こりにくいですが、数学的には可能であり、我々はそれを排除することはできません。

πの桁とランダムパターン

基本的な例はπの桁です。3.14159…という具合に続きます。桁にはパターンがないように見え、パターンがないと信じています。長期的には、1と2と3を4と5と6と同じ数だけ見るべきです。πの桁には、例えば7を8よりも好む偏見はないはずです。

しかし、πの桁にある悪魔がいて、より多くの桁を計算するたびに、ある桁を他の桁に偏らせるような陰謀があるかもしれません。これは起こるべきではない陰謀であり、起こる理由はありませんが、現在の技術では証明する方法がありません。

流体のエネルギーと悪魔

ナビエ・ストークスに戻ると、流体は一定のエネルギーを持ち、流体が動いているためにエネルギーが運搬されます。水は粘性もあるので、エネルギーが多くの異なる場所に広がっている場合、流体の自然な粘性がエネルギーを減衰させ、ゼロになります。

これは我々が実際に水で実験するときに起こることです。はねかけると乱流と波があり、最終的に落ち着きます。振幅が小さくなり、速度が小さくなるほど、より穏やかになります。

しかし、潜在的には、流体のエネルギーをより小さく小さいスケールに押し込み続ける悪魔がいる可能性があります。より速い速度では、有効粘性は相対的に少なくなるので、自己相似爆発シナリオと呼ばれるものを作り出すことが起こり得ます。

流体のエネルギーがある大きなスケールで始まり、そのすべてのエネルギーをより小さな領域に移し、それがはるかに速い速度でさらに小さな領域に移動する、という具合です。そして、それを行うたびに、前回の半分の時間がかかり、有限時間ですべてのエネルギーが一点に集中することに収束する可能性があります。

現実の乱流と理論的可能性

実際には、これは起こりません。水は乱流と呼ばれる状態になります。大きな渦がある場合、より小さな渦に分裂する傾向がありますが、すべてのエネルギーを1つの大きな渦から1つの小さな渦に移すことはありません。3つか4つに移し、それらは3つか4つの小さな渦に分裂します。

エネルギーは、粘性がすべてをコントロール下に置くことができる点まで分散されます。しかし、何らかの方法ですべてのエネルギーを集中させ、すべてを一緒に保ち、粘性効果がすべてを鎮めるのに十分な時間がないほど速く行うことができれば、この爆発が起こり得ます。

理論的アプローチと限界

過去に、エネルギー保存を考慮し、粘性を注意深く使用するだけで、ナビエ・ストークスだけでなく多くのタイプの方程式でもすべてをコントロール下に置くことができると主張する論文がありました。これにより、ナビエ・ストークスに対して大域正則性と呼ばれるもの（有限時間爆発の反対）を得ることができるとされました。

しかし、これらはすべて失敗しました。常に符号エラーや微妙な間違いがあり、救済することはできませんでした。私が興味を持ったのは、なぜ有限時間爆発を反証することができなかったのかを説明することでした。

実際の流体の方程式には複雑すぎてできませんでしたが、もし方程式を平均化できたら、基本的に流体が相互作用する特定のタイプの方法を無効にし、私が望むものだけを保持することができました。

人工的な爆発の構築

特に、流体があり、大きな渦から小さな渦、または他の小さな渦にエネルギーを移すことができる場合、この1つのエネルギーチャネルを無効にし、エネルギー保存の法則を保持しながら、より小さな渦にのみエネルギーを向けることにしました。

それで爆発を作ろうとしているのですか？ はい、基本的に物理法則を変更することで爆発を設計しました。これは数学者が行うことを許可されていることの1つです。我々は方程式を変更することができます。

これはどのように何かの証明に近づくのに役立ちますか？ それは数学で障害物と呼ばれるものを提供します。基本的に、特定の相互作用を無効にすることで行ったことは、通常、特定の相互作用を無効にすると、それをより非線形にせず、より正則で爆発しにくくしますが、非常によく設計された相互作用のセットを無効にすることで、すべてのエネルギーを有限時間で爆発させることを強制できることを発見しました。

これが意味することは、実際の方程式に対してナビエ・ストークスの大域正則性を証明したい場合、私の人工方程式が満たさない真の方程式の何らかの特徴を使用しなければならないということです。それは特定のアプローチを排除します。

数学における成功と失敗のバランス

数学は、うまくいく技術を見つけて適用することだけではありません。うまくいかない技術を取らないことも必要です。本当に難しい問題については、問題を解決するために適用できると思う方法が数十ありますが、多くの経験を積んだ後で初めて、これらの方法が機能しないことを理解します。

近隣問題に対するこれらの反例を持つことで、特定のアプローチを排除し、今や絶対に機能することができないことを知っているものにエネルギーを無駄にしないので、多くの時間を節約できます。

超臨界性と数学の一般的洞察

私の技術が利用する主要現象は超臨界性と呼ばれるものです。偏微分方程式では、これらの方程式はしばしば異なる力の間の綱引きのようなものです。ナビエ・ストークスでは、粘性からの散逸力があり、それはよく理解されており、線形で、物事を鎮めます。

粘性だけがあったら、悪いことは決して起こりません。しかし、輸送もあります。空間の1つの場所のエネルギーが、流体が動いているために他の場所に輸送されることができます。これは非線形効果であり、すべての問題を引き起こします。

ナビエ・ストークス方程式には、散逸項と輸送項という2つの競合する項があります。散逸項が支配的で大きい場合、基本的に正則性が得られます。輸送項が支配的な場合、我々は何が起こっているか分かりません。非常に非線形で予測不可能で乱流です。

時には、これらの力は小さなスケールでバランスが取れているが、大きなスケールではバランスが取れていない、またはその逆です。ナビエ・ストークスは超臨界と呼ばれるもので、より小さく小さいスケールで、輸送項は粘性項よりもはるかに強いです。

次元の違いと数学的ツール

興味深いことに、2次元では、1960年代にソビエトの数学者ラディシェンスカヤが2次元では爆発がないことを示しました。2次元では、ナビエ・ストークス方程式は臨界と呼ばれるもので、輸送の効果と粘性の効果は非常に小さいスケールでもほぼ同じ強さです。

我々は臨界および亜臨界方程式を扱い、正則性を証明するための多くの技術を持っていますが、超臨界方程式では何が起こっているか明確ではありませんでした。私は多くの作業を行い、その後多くのフォローアップがあり、多くの他のタイプの超臨界方程式に対して、あらゆる種類の爆発例を作成できることを示しました。

非線形効果が小さなスケールで線形効果を支配すると、あらゆる種類の悪いことが起こり得ます。これがこの研究ラインの主要な洞察の1つです。超臨界性対臨界性および亜臨界性は大きな違いを生みます。

これは、一部の方程式がある種のものを区別する重要な質的特徴です。良くて予測可能で、惑星運動のようなものから、数千年、少なくとも数千年は予測できる特定の方程式があります。しかし、2週間を超えて天気を予測できない理由があります。それは超臨界方程式だからです。非常に細かいスケールで多くの本当に奇妙なことが起こっています。

波動写像方程式への応用

私は一般相対性理論に関連した波動写像方程式やシグマ場モデルと呼ばれる方程式で作業をしました。これは時空重力そのものの方程式ではありませんが、時空の上に存在する可能性のある特定の場のものです。

アインシュタインの相対性理論方程式は時空自体を記述しますが、その上に存在する他の場があります。電磁場、制御場があり、このエイン・シュタインが最も非線形で困難と考えられるが、階層の相対的に低い位置にある方程式の全体的な階層があります。

波動写像方程式は、任意の点で球上に固定されるような波です。私は空間と時間で矢印の束を考えることができ、矢印は異なる方向を指していますが、波のように伝播します。矢印を振ると、それは伝播し、すべての矢印を動かします。麦畑の麦のシートのようです。

私が考慮した方程式は実際には臨界方程式と呼ばれるもので、すべてのスケールでの動作が大体同じです。すべてのエネルギーが一点に集中するシナリオを強制することができないことを辛うじて示すことができました。エネルギーは少し分散しなければならず、少し分散した瞬間に正則のままでした。

ゲージ変換の発見

この問題は球の曲率のために非常に非線形でした。ある種の非線形効果があり、それは非摂動効果でした。通常見ると、波動方程式の線形効果よりも大きく見えました。エネルギーが小さくても物事をコントロール下に保つのは困難でした。

しかし、私はゲージ変換と呼ばれるものを開発しました。この方程式は麦の束の進化のようで、それらはすべて前後に曲がっており、多くの動きがあります。小さなカメラを空間の異なる点に取り付けて、ほとんどの動きを捉える方法で移動しようとする流れを安定化するようなものを想像してください。

この安定化された流れの下で、流れははるかに線形になります。私は非線形効果の量を減らすように方程式を変換する方法を発見しました。そして、方程式を解くことができました。

偶然の発見

私はオーストラリアの叔母を訪問中にこの変換を発見しました。これらすべての場の動力学を理解しようとしていましたが、紙とペンではできませんでした。コンピューターシミュレーションを行うのに十分なコンピューター設備もありませんでした。

そこで、目を閉じて床に寝て、実際に自分がこのベクトル場になったと想像し、転がり回って、すべての方向で何らかの形で合理的に線形に動作するような座標を変更する方法を見ようとしました。

叔母が私がそれをしているのを見て、何をしているのかと尋ねました。「複雑です」という答えでした。「まあ、あなたは若い男性だから、質問はしません」と言いました。

液体コンピューターというアイデア

2016年に、あなたは平均化された3次元ナビエ・ストークス方程式の有限時間爆発に関する論文を発表しました。通常は爆発しないが、確実に爆発しないと言えるかどうかを理解しようとしています。

この問題の解決、または否定的な解決への1つの方法は、液体コンピューターの構築です。そして、計算理論からの停止問題が流体力学に影響を与えることを示すことです。

これは、この爆発する平均化方程式を構築する作業から生まれました。この素朴な方法があります。1つのスケールでエネルギーを得るたびに、できるだけ速く次のスケールにすぐに押し込みます。これは爆発を強制する素朴な方法です。

5次元以上では、これは機能します。しかし、3次元では、物理法則を変更し、常にエネルギーをより小さく小さいスケールに押し込み続けようとすると、エネルギーが同時に多くのスケールに広がり始めるという面白い現象を発見しました。

あるスケールでエネルギーがあると、次のスケールに押し込み、そのスケールに入るとすぐに次のスケールにも押し込みますが、前のスケールからまだエネルギーが残っています。すべてを一度に行おうとしています。これはエネルギーを過度に広げ、粘性が入ってきて実際にすべてを減衰させることに対して脆弱にします。

エアロックのような遅延の必要性

私が必要としたのは遅延をプログラムすることでした。エアロックのようなものです。ある流体がスケールで何かを行い、エネルギーを次のスケールに押し込みますが、より大きなスケールからのすべてのエネルギーが転送されるまでそこに留まります。すべてのエネルギーを押し込んだ後でのみ、次のゲートを開いて、それも押し込みます。

そうすることで、エネルギーは一度に1つのスケールで常に局在化された方法でスケールごとにスケールを前進させ、分散されていないため粘性の影響に抵抗できます。

これを実現するために、非常に複雑な非線形性を構築しなければなりませんでした。基本的に電子回路のように構築されました。実際、これについて妻に感謝しています。彼女は電気エンジニアとして訓練されました。

彼女は回路を設計することについて話していました。光が点滅してオンになり、その後オフになり、その後オンになり、その後オフになるような特定の機能を持つ回路が必要な場合、より原始的なコンポーネント、コンデンサー、抵抗器などから構築できます。図を作成し、電流がここに蓄積し、その後停止し、その後それを行うというように、目で追うことができます。

基本的な電子部品、抵抗器、コンデンサーなどのアナログを構築する方法を知っていました。そして、1つのゲートを開き、その後クロックがあり、クロックが特定のしきい値に達すると閉じるような方法でそれらを積み重ねました。ルーブ・ゴールドバーグ型マシンですが、数学的に記述されました。そして、これは結果的にうまくいきました。

フォン・ノイマン機械としての液体

私が実現したのは、実際の方程式でも同じことを実行できれば、水の方程式が計算をサポートするということです。現代のコンピューターが電子的であるように、非常に小さなワイヤーを通過する電子によって動力を供給され、他の電子と相互作用するように、電子の代わりに、特定の速度で移動する水のパルスを想像できます。

2つの異なる構成があり、ビットがアップまたはダウンに対応します。これら2つの移動する水の塊が衝突した場合、ANDゲートまたはORゲートのようなものである入力に非常に予測可能な方法で依存する新しい構成で出てくるでしょう。

これらを連鎖させ、チューリング機械を作成し、完全に水で作られたコンピューターを作ることができます。コンピューターがあれば、ロボット工学を行うこともできます。油圧などです。

フォン・ノイマン機械と呼ばれるもの、つまり流体のアナログを作成できます。フォン・ノイマンは、火星を植民地化したい場合、人や機械を火星に輸送する単純なコストは途方もないものですが、火星に1つの機械を輸送し、この機械が惑星を採掘し、より多くの材料を作成し、それらを製錬し、同じ機械のより多くのコピーを構築する能力を持つことができれば、時間をかけて惑星全体を植民地化できると提案しました。

自己複製する液体機械

流体機械を構築できれば、それはロボットです。その人生の目的は、ある種の冷たい状態で自分自身のより小さなバージョンを作成するようにプログラムされています。まだ開始されません。準備ができると、大きなロボット構成水がすべてのエネルギーをより小さな構成に転送し、その後電源を切ります。そして、自分自身をきれいにし、残されるのはこの新しい状態で、その後オンになり、同じことを行いますが、より小さく、より速くです。

方程式には特定のスケーリング対称性があり、それを行うと、継続して反復できます。これは原理的に実際のナビエ・ストークスの爆発を作成し、これが私がこの平均化されたナビエ・ストークスに対して達成できたものです。それは問題を解決するためのロードマップを提供しました。

しかし、これはパイプドリームです。これが実際の現実になるためには、非常に多くのものが欠けています。これらの基本的な論理ゲートを作成することはできません。水のこれらの特別な構成にそれらがありません。渦輪と呼ばれる候補がありますが、うまくいく可能性があります。

また、アナログコンピューティングはデジタルコンピューティングと比較して本当に厄介です。常にエラーがあります。途中で多くのエラー修正を行う必要があります。大きなマシンを完全に電源を切って、より小さなマシンの実行を妨げないようにする方法を知りません。

しかし、原理的にはすべてが起こり得ます。物理法則に矛盾するものではありません。これが可能であるという証拠の一種です。他のグループは現在、これよりもはるかに複雑ではない方法でナビエ・ストークスを爆発させる方法を追求しています。

ゲーム・オブ・ライフとの類似

ここには先例があります。数学は、完全に異なると思われるかもしれない問題の間の関連を見つけるのが非常に得意です。しかし、数学的形式が同じであれば、関連を描くことができます。

以前にはセルオートマトンと呼ばれるものに関する多くの作業がありました。最も有名なのはコンウェイのライフゲームです。この無限の離散グリッドがあり、任意の時点でグリッドがセルによって占有されているか空です。細胞が生きることもあれば死ぬこともある非常に単純なルールがあります。

学生時代、これらのアニメーションを実行する非常に人気のあるスクリーンセーバーでした。それらは非常に混沌として見え、実際には時々乱流のようにも見えます。しかし、ある時点で、人々はこのライフゲーム内でますます興味深い構造を発見しました。

例えば、グライダーと呼ばれるものを発見しました。グライダーは4つまたは5つのセルの非常に小さな構成で、進化し、特定の方向に移動するだけです。これは渦輪のようなものです。

時間をかけて、人々はライフゲーム内でますます興味深いものを構築できることを発見しました。ライフゲームは3つまたは4つのルールしかない非常に単純なシステムですが、その中であらゆる種類の興味深い構成を設計できます。

一度にグライダーを吐き出すグライダーガンと呼ばれるものがあります。多くの努力の後、人々はグライダー用のANDゲートとORゲートを作成することができました。ここからのグライダーのストリームとここからのグライダーのストリームがある場合、両方のストリームにグライダーがある場合は出力ストリームが生成されますが、1つだけの場合は何も出てこないような巨大で馬鹿げた構造があります。

創発と複雑性

それらを構築できれば、ソフトウェアエンジニアリングから、ほぼ何でも構築できます。チューリング機械を構築できます。巨大なスチームパンクタイプのもののように見えますが、人々はライフゲームで自己複製オブジェクトも生成しました。巨大な機械、フォン・ノイマン機械で、長期間にわたってグライダーガンが中でこれらの非常にスチームパンク的な計算を行い、自分自身の別のバージョンを作成します。

この多くは実際にアマチュア数学者によってコミュニティでクラウドソーシングされました。私はその仕事を知っていたので、それがナビエ・ストークスに対して同じことを提案するきっかけの一部でした。

ナビエ・ストークスは、アナログがデジタルよりもはるかに悪いように、はるかに複雑です。ライフゲームの構成を直接取ってそれらを置くことはできませんが、それが可能であることを示します。

これらのセルオートマトンで起こる創発の一種があります。ローカルルールが、おそらく流体に似ているかもしれませんが、スケールで動作するローカルルールが、これらの信じられないほど複雑な動的構造を作成できます。

これが数学的分析に適しているかどうかは、非常に慎重に準備された初期条件でのみ、これらの信じられないほど複雑な構造を得ることができますが、セルをランダムに配置するだけでは、これらのどれも見ることはありません。

これはナビエ・ストークスとの類似状況です。典型的な初期条件では、この奇妙な計算は行われませんが、エンジニアリングを通じて、非常に特別な方法で物事を設計することで、巧妙な構成を作ることができます。

構造とランダム性の二分法

これは数学における構造とランダム性の二分法と呼ぶ繰り返しの課題です。数学で生成できるほとんどのオブジェクトはランダムです。πの桁のようにランダムに見えますが、それは良い例だと信じています。

しかし、パターンを持つもの非常に少数があります。何かにパターンがあることを証明するには、構築するだけです。何かが簡単なパターンを持ち、定期的に繰り返すような証明があります。

そして、例えば、ほとんどの桁の配列にはパターンがないことを証明できます。桁をランダムに選ぶだけなら、大数の法則と呼ばれるものがあり、長期的には1と2を同じ数だけ得ることを教えてくれます。

しかし、πの桁のような特定のパターンを与えられた場合、これに奇妙なパターンがないことをどのように示すかについては、はるかに少ないツールを持っています。

加法的関数と逆定理

私が多くの時間を費やしている他の作業は、何かが非常に構造化されているときのテストを与える構造定理または逆定理を証明することです。自然数を自然数に写像する関数で、加法的と呼ばれるものがあります。

例えば、定数による乗算です。数に10を掛ける場合、a + bに10を掛けることは、aに10を掛け、bに10を掛けて、それらを一緒に加えることと同じです。

一部の関数は加法的で、一部は種類加法的ですが、完全に加法的ではありません。例えば、数nを取り、2の平方根を掛け、その整数部分を取る場合です。10 × 2の平方根は14.何かなので、10は14になります。20は28になります。

その場合、加法性は真です。10 + 10は20で、14 + 14は28ですが、丸め誤差のために時々丸め誤差があり、a + bを取るとき、この関数は2つの個別出力の合計を完全には与えませんが、合計プラスマイナス1を与えます。

それはほぼ加法的ですが、完全に加法的ではありません。数学には、このような構造を示す関数がある場合、基本的にその理由があり、実際に完全に構造化された近隣の関数があり、あなたが持っている部分的なパターンを説明しているという効果に関する多くの有用な結果があります。

これらの逆定理を使用すると、研究するオブジェクトが構造を全く持たないか、構造化されたものに何らかの形で関連しているかのいずれかであるこの種の二分法を作成します。いずれの場合でも、進歩を遂げることができます。

シェメレディの定理と算術級数

この良い例は、シェメレディの定理と呼ばれる1970年代に証明された数学の古い定理です。これは、数の集合で特定の種類のパターン、3、5、7や10、15、20のような算術級数を見つけることに関するものです。

シェメレディは、十分に大きな正の密度を持つ任意の数の集合には、任意の長さの算術級数が含まれていることを証明しました。例えば、奇数は密度1/2の集合で、任意の長さの算術級数を含みます。

その場合、それは明らかです。奇数は本当に本当に構造化されているからです。11、13、15、17を取るだけで、簡単に算術級数を見つけることができます。

しかし、シェメレディの定理は、奇数を取り、コインを投げ、表が出た数だけを保持するランダムセットにも適用されます。半分の数をランダムに取り出すので、パターンは全くありませんが、ランダムな変動だけで、そのセットにも多くの算術級数が得られます。

無限モンキー定理について聞いたことがありますか？通常、数学者は定理に退屈な名前を付けますが、時々カラフルな名前を付けます。無限モンキー定理の人気版は、部屋に無限の数のサルがいて、それぞれがタイプライターを持っている場合、ランダムにテキストを入力すると、ほぼ確実にそのうちの1つがハムレットの全体やその他の有限の文字列を生成するというものです。

時間はかかりますが、無限があれば起こります。基本的に、無限の長い桁または何でもの列を取る場合、最終的には望む任意の有限パターンが現れます。長い時間がかかるかもしれませんが、最終的には起こります。特に、任意の長さの算術級数が最終的に起こります。

しかし、これが起こるためには、非常に長いランダム配列が必要です。

無限への対処

我々人間は無限にどう対処すべきでしょうか？ 無限を、境界がない有限数の抽象化として考えることができます。実際の生活では本当に無限なものはありませんが、「私が望むだけのお金があったら」「私が望むだけ速く行けたら」といった質問を自分に問うことができます。

数学者がそれを形式化する方法は、数学が非常に大きいまたは非常に小さいものの代わりに、実際に正確に無限またはゼロになるようにイデオロジー化する形式を見つけたことです。多くの場合、そうすると数学がはるかにきれいになります。

物理学では、球形の牛を仮定することについて冗談を言います。現実世界の問題には現実世界のあらゆる種類の効果がありますが、特定のものを無限大に送り、特定のものをゼロに送ることで理想化でき、数学がはるかに簡単に扱えるようになります。

しかし、無限を使用することは多くの落とし穴があります。学部の数学クラスでは、極限を取る方法について多くの時間を費やして解析を教えます。例えば、a + bは常にb + aですが、有限数の項を加える場合、それらを交換しても問題ありません。

しかし、無限数の項がある場合、シェルゲームを演じることができ、ある値に収束する級数を持つことができますが、それを並べ替えると突然別の値に収束し、間違いを犯すことができます。無限を許可するときは、何をしているかを知っている必要があります。

有限化とより直感的な理解

近年、人々は無限極限で真である結果を取り、それらを有限化し始めています。何かが最終的に真であることを知っているが、いつかは分からない場合、「率を教えてください」ということです。

例えば、無限数のサルがいないが、大きな有限数のサルがいる場合、ハムレットが出るまでどのくらい待たなければならないでしょうか？それはより定量的な質問で、純粋に有限な方法で攻撃でき、有限の直感を使用できます。

この場合、生成しようとしているテキストの長さで指数関数的であることが判明します。無限のステートメントを有限化すると、それははるかに直感的になり、もはやそれほど奇妙ではなくなります。欠点は、有限のものがはるかにはるかに面倒で、無限のものは通常、数十年前に最初に発見され、後で人々がそれらを有限化することです。

数学と物理学の違い

数学と物理学の違いについて話しましょう。科学一般は3つのものの間の相互作用だと思います。現実世界、現実世界の我々の観察、そして世界がどのように機能すると思うかについての我々の精神的モデルがあります。

我々は現実に直接アクセスすることはできません。我々が持っているのは、不完全でエラーのある観察だけです。そして、明日の天気はどうなるかなど、まだ観察していない予測が欲しい場合が多くあります。

そして、これらの単純化されたモデル、時には非現実的な仮定、球形の牛のようなものを作る数学的モデルがあります。数学はモデルに関係し、科学は観察を収集し、これらの観察を説明する可能性のあるモデルを提案します。

数学が行うことは、我々はモデル内に留まり、そのモデルの結果は何か、モデルが将来の観察のどのような予測を行うか、または過去の観察、観察されたデータに適合するかを尋ねます。

確実に共生があります。数学は他の分野の中で異常なのは、モデルの公理のような仮説から始めて、そのモデルからどのような結論が出るかを尋ねることです。ほぼ他のあらゆる分野では、結論から始めます。「橋を建てたい」「お金を稼ぎたい」「これをしたい」というように、そこに到達する道を見つけます。

理論と実験の相互作用

物理学において理論と実験の間には緊張関係があります。現実について真に新しいアイデアを発見するより強力な方法はどちらでしょうか？

トップダウンとボトムアップの両方が必要です。これらすべてのもの間には本当の相互作用があります。時間をかけて、観察と理論とモデリングはすべて現実に近づくはずですが、最初は常に離れています。

一方が他方をどこに押すべきかを理解するために必要です。モデルが実験で拾われていない異常を予測している場合、それは実験者にどこを見るべきかを教えます。より多くのデータを見つけて、モデルを洗練するためです。それは前後に行きます。

数学自体の中でも理論と実験の要素があります。最近まで、理論は99％ほぼ完全に支配していました。数学の99％は理論数学であり、実験数学の非常に小さな量がありました。

人々はそれを行います。素数を研究したい場合、大きなデータセットを生成し、コンピューターができてから少しできるようになりましたが、それ以前でも、ガウスなどは基本的にほとんど自分で、人間のコンピューター、算術を専門とする人々を雇って、最初の100,000の素数かそこらを計算し、表を作り、予測を立てました。これは実験数学の初期の例でした。

実験数学の未来

しかし、最近まで、理論数学がはるかに成功していたため、実験数学は多くありませんでした。複雑な数学的計算を行うことは、最近まで実行可能ではありませんでした。

現在でも、強力なコンピューターがあっても、一部の数学的なもので、数値的に探求できるのは一部だけです。組み合わせ爆発と呼ばれるものがあります。例えば、1から1,000までのすべての可能なサブセットを研究したい場合、1,000個の数しかないので、どれくらい悪いでしょうか？

1から1,000のサブセットの数は2^1,000であることが判明し、これは現在のどのコンピューターよりもはるかに大きく、実際に誰でも列挙することはありません。特定の数学問題は、直接的なブルートフォース計算による攻撃にすぐに手に負えなくなります。

チェスは別の有名な例です。チェスの位置の数は、コンピューターに完全に探索させることはできませんが、現在我々にはAIがあります。このスペースを探索するツール、成功を100％保証するものではありませんが、実験で、我々は今チェスを経験的に解決しています。

ほとんどのゲームツリーのすべての単一位置を探索しない非常に優れたAIがありますが、非常に良い近似を見つけました。そして、人々は実際にこれらのチェスエンジンを使用して実験チェスを行っています。

AIによる数学の実験的側面の拡大

彼らは古いチェス理論を再検討しています。「このタイプのオープニングを行うとき、これは良いタイプの動きです、これはそうではありません」といったもので、これらのチェスエンジンを使用して、場合によってはチェスに関する従来の知恵を実際に洗練し、時には覆すことができます。

私は、おそらくAIによって動力を得て、数学が将来より大きな実験的要素を持つことを望んでいます。

チェスの場合、囲碁の場合と同様に、異なる位置の形式的説明を提供していません。どの位置がより良いかを言っているだけで、人間として直感することができ、そこから物事の理論を構築することができます。

プラトンの洞窟の比喩

プラトンの洞窟の比喩について言及しました。人々が現実ではなく現実の影を観察しており、観察しているものが現実であると信じている場合です。ある意味で、これは数学者、そしておそらくすべての人間がしていることでしょうか、現実の影を見ているのでしょうか？我々が真に現実にアクセスすることは可能でしょうか？

これら3つの存在論的なものがあります。実際の現実、我々の観察、我々のモデルがあります。技術的には、それらは異なっており、常に異なるままだと思います。しかし、時間をかけて近づくことができます。

近づくプロセスは、しばしば初期の直感を捨てなければならないことを意味します。天文学は素晴らしい例を提供します。世界の初期モデルは平らですが、平らに見えるからです。そして大きく、宇宙の残り、空は、例えば太陽は本当に小さく見えます。

実際には現実からは程遠いモデルから始めますが、持っている観察にはある程度適合します。しかし、時間をかけてより多くの観察を行うにつれて、現実に近づけられ、モデルはそれと一緒に引きずられます。

時間をかけて、地球が丸いこと、回転すること、太陽系の周りを回ること、太陽系が銀河の周りを回ることなどを実現しなければなりませんでした。宇宙は膨張しており、膨張自体が加速しており、実際に今年、宇宙の加速さえも一定ではないという証拠があります。

宇宙の理解における圧縮の概念

我々にはデータを本当によく適合させるモデルがありますが、指定しなければならないパラメーターがいくつかあります。人々はそれらをファッジファクターと言います。十分なファッジファクターがあれば、何でも説明できます。

しかし、モデルの数学的ポイントは、観察セットのデータポイントよりもモデルのパラメーターを少なくしたいということです。10個のパラメーターを持つ10個の観察を説明するモデルは、完全に無用なモデルです。それはオーバーフィットと呼ばれます。

しかし、2つのパラメーターを持ち、1兆の観察を説明するモデルのようなものがあれば、それは基本的にダークマター模型だと思いますが、14のパラメーターを持ち、天文学者が持つペタバイトのデータを説明します。

物理的な数学理論を考える一つの方法は、それが宇宙の圧縮であるということです。データ圧縮です。ペタバイトの観察があり、5ページで記述でき、特定数のパラメーターを指定できるモデルにそれを圧縮したいと考えています。合理的な精度で観察のほぼすべてに適合できれば、より多くの圧縮を行うほど、理論は良くなります。

数学の不合理な有効性

我々の宇宙とその中のすべてについての大きな驚きの一つは、それがまったく圧縮可能であるということです。これは数学の不合理な有効性です。アインシュタインがそのような引用をしていました。「宇宙について最も理解できないことは、それが理解可能である」ということです。

理解可能であるだけでなく、E=mc²のような方程式でそれを行うことができます。実際にそれに対する数学的な説明があります。

普遍性の現象

数学には普遍性と呼ばれる現象があります。多くの複雑なシステムは、マクロスケールで微細な相互作用の多くから出てきており、通常、組み合わせ爆発のために、マクロスケール方程式は微細スケールのものよりも無限に指数関数的により複雑でなければならないと思うでしょう。

もし箱の中のすべての原子をモデル化したい場合、それはアボガドロ数のように巨大です。実際にそれぞれを追跡しなければならない場合、それは途方もないことです。

しかし、微視的スケールで現れる特定の法則は、微視的スケールで何が起こっているかにほとんど依存しないか、または非常に少数のパラメーターにのみ依存します。ガスをモデル化したい場合、箱の中の五桁兆個の粒子の場合、温度と圧力と体積と5つまたは6つのパラメーターのようなものを知るだけで、これらの10^23または何でも粒子について知る必要があるほぼすべてをモデル化します。

中心極限定理と普遍性

我々は普遍性を数学的に理解したいほど近くはありませんが、我々が理解している状況ではるかに単純なおもちゃモデルがあります。最も基本的なものは中心極限定理で、なぜベルカーブが自然界のいたるところに現れるのかを説明します。

多くのプロセスがあり、例えば、多くの独立したランダム変数を取り、さまざまな方法でそれらを一緒に平均化することができます。単純な平均またはより複雑な平均を取ることができ、さまざまなケースで、これらのベルカーブ、ガウス分布が現れることを証明できます。それは満足のいく説明です。

時々彼らはそうしません。多くの異なる入力があり、それらがすべて体系的な方法で相関している場合、ベルカーブとは程遠い何かを得ることができます。これも知ることが重要で、このシステムが失敗するときです。

普遍性は100％信頼できるものではありません。2008年の世界金融危機は、これの有名な例でした。人々は、住宅ローンの債務不履行が、すべてが無相関であれば、この種のガウス型行動を持つと考えていました。

10万人のアメリカ人と住宅ローンの人口に、住宅ローンで債務不履行する割合はどのくらいかと尋ねると、それは資産ベルカーブになり、オプションやデリバティブなどでリスクを管理できます。非常に美しい理論があります。

しかし、経済に体系的なショックがある場合、すべての人を同時に債務不履行に押しやることができ、それは非常に非ガウス的行動です。これは2008年に十分に考慮されていませんでした。

今では、この体系的リスクが実際にはるかに大きな問題であり、モデルがきれいで良いからといって、現実と一致しない可能性があるという認識がもう少しあると思います。

数学の幅広さと統一性

あなたは数学の信じられないほどの幅で働くことで知られ、祝福されています。一世紀前のヒルベルトを思い起こさせます。実際、偉大なフィールズ賞受賞数学者ティム・ガワーズは、あなたを我々が得る最もヒルベルトに近いものだと言いました。

数学のすべての異なる領域を結ぶ糸はありますか？数学のすべてに深い根本的な構造はありますか？

確実に多くの結合糸があります。数学の進歩の多くは、以前は結ばれていなかった数学の2つの分野を取り、結びつきを見つける話で表すことができます。

古代の例は幾何学と数論です。古代ギリシャ人の時代には、これらは異なる主題と考えられていました。数学者は両方で働いていましたが、本当に関連しているとは考えられていませんでした。

デカルトまで、解析幾何学を開発したデカルトまでは、本当に実現されませんでした。平面、幾何学的オブジェクトを2つの実数でパラメータ化できることです。すべての点がそうなので、幾何学的問題を数についての問題に変えることができます。

今日では、これはほぼ自明に感じられます。もちろん、平面はxとyですが、それは我々が教えられ、内面化されているからです。しかし、これら2つの分野が統合された重要な発展でした。

このプロセスは数学全体で何度も何度も続いています。代数と幾何学は分離されており、今では代数幾何学があり、それらを結び付けています。何度も何度も、そしてそれは確実に私が最も楽しむタイプの数学です。

ハリネズミと狐の比喩

ハリネズミと狐があります。狐は多くのことを少しずつ知っているが、ハリネズミは一つのことを非常によく知っている。数学では、確実にハリネズミと狐の両方がいます。

理想的な数学者間の協力は、非常に多様性を含みます。狐が多くのハリネズミと働く、またはその逆のようなものです。私は主に狐として識別されます。確実に私は裁定取引のようなものが好きです。

ある分野がどのように機能するかを学び、その分野のトリックを学び、その後、人々が関連していると思わない別の分野に行くが、トリックを適用できることです。

問題解決のアプローチの違い

新しい問題に遭遇したとき、接続を探すか、または非常に特異な焦点かの2つの思考方法の違いについて話すことができますか？

私は狐のパラダイムでははるかに快適です。類推や物語を探すのが好きです。ある分野で結果を見て、結果が好きだが、証明が好きではない場合、私がよく知らないタイプの数学を使用する場合、自分が好む道具を使用して自分でそれを再証明しようとすることがよくあります。

多くの場合、私の証明はより悪いです。しかし、そうする練習によって、他の証明が何をしようとしていたかを言うことができ、そこからその分野で使用されるツールの理解を得ることができます。非常に探索的で、多くのクレイジーなことをクレイジーな分野で行い、車輪を多く再発明します。

一方、ハリネズミスタイルは、はるかに学術的だと思います。非常に知識ベースです。この分野のすべての発展に遅れを取らず、すべての歴史を知っています。各特定の技術の強みと弱点を非常によく理解しています。

あなたは計算により多く依存し、物語を見つけようとするより少ないと思います。私もそれを行うことができますが、それに極めて優れた他の人々がいます。

数学の美しさとエレガンスの発見

早い人生で、数学がある種のエレガンスと美しさを持つことがあることを最初に実現した時期について話していただけますか？

それは良い質問です。大学院学校でプリンストンに来たとき、ジョン・コンウェイがその時にそこにいました。彼は数年前に亡くなりましたが、私が行った最初の研究講演の1つは、極端証明と呼ばれるもののコンウェイによる講演でした。

コンウェイは、あらゆる種類のことを通常考えるだろう方法で考える驚くべき方法を持っていました。証明自体がある種の空間を占めていると考えていました。何かを証明したい場合、例えば無限に多くの素数があるとしましょう。異なる証明を避けることができますが、それらを異なる軸でランク付けできます。一部の証明はエレガントで、一部は長く、一部の証明は初等的です。

すべての証明の空間自体が何らかの形を持っているので、彼はこの形の極端点に興味を持っていました。すべてのこれらの証明のうち、他のすべてを犠牲にして最短であるものは何か、または最も初等的であるものは何か、または何でもです。

彼は有名な定理のいくつかの例を与え、その後これらの異なる側面で極端証明だと思ったものを与えました。私はそれを本当に目を開くものと感じました。結果の証明を得ることが興味深いだけでなく、その証明を得た後も、さまざまな方法でそれを最適化しようとすることです。

証明自体に職人技があったことです。それは確実に私の文章スタイルに影響しました。学部として数学の課題を行うとき、あなたの宿題などでは、機能する証明を書き下すことが奨励され、それを手渡し、チェックマークを得る限り、先に進みます。

しかし、あなたの結果が実際に影響力を持ち、人々に読まれることを望む場合、正しいだけではいけません。読むのも楽しいものでなければなりません。動機付けられ、他のものに一般化するのに適応可能でなければなりません。

コードとの類似性

私が気づいた類推が好きなら、数学とコーディング間には多くの類推があります。特定のタスクに対して機能するスパゲッティコードを書くことができ、迅速で汚いもので機能しますが、他の人がそれを使用し、それを構築し、それにバグが少なく、何でもあることについて、コードをうまく書くための多くの良い原則があります。

数学にも同様のことがあります。

最も美しい方程式

数学で最も美しいまたはエレガントな方程式は何ですか？人々がしばしば美しさで見るものの1つは単純さなので、E=mc²を見ると、いくつかの概念が一緒に来るときです。そのため、オイラーのアイデンティティは数学で最も美しい方程式とよく考えられます。

オイラーのアイデンティティ、e^(iπ) = -1はね？まあ、人々はそれがすべての基本定数を使用するから、それはかわいいです。しかし、私にとって最も魅力的なのは、異なるもの間の接続です。

指数関数は、オイラーによって指数成長を測定するために興味を持たれました。複利や減衰、継続的に成長または継続的に減少するものはすべて、指数関数によってモデル化されます。

一方、πは円と回転から生まれます。針を180度回転させたい場合、πラジアンで回転する必要があります。iは複素数で、90度回転への振動を表します。

x関数は成長と減衰をあなたが本当にいる方向での動きを表し、指数にiを入れると、あなたの現在の位置への方向ではなく、動きがあなたの位置に対して直角になるので、回転です。

e^(iπ) = -1は、時間πで回転すると反対方向に向かうことを教えてくれるので、拡張または指数成長を通じて幾何学、複素数、複素数の動的構造を統一します。これらのツールはすべて、この同一性のために数学で隣接していると考えられます。

記号の意味の進化

あなたが言及したのがかわいいだけです、これらの異なる分野からの記法のすべての古い友達の衝突、それは単なる軽薄な副作用ですか、それとも価値がありますか？

それは我々が正しい概念を持っているという確認です。何かを最初に研究するとき、物事を測定し、名前を付ける必要があります。最初は、モデルが現実から程遠いため、間違ったものに最良の名前を付けることがあり、何が本当に重要かを後で見つけます。

物理学者はこれを時々行うことができます。E=mc²では、大きなことの1つはEでした。アリストテレスが最初に彼の運動法則を思い付き、その後ガリレイやニュートンなどがあったとき、測定できるものを見ました。質量と加速度と力などを測定でき、ニュートン力学では、例えばF=maが有名なニュートンの第二運動法則でした。

それらは主要なオブジェクトでしたので、理論の中心的な構築を与えました。これらの方程式を分析し始めた後で初めて、運動量とエネルギーのような、常に保存されているように見える量があることが分かりました。

エネルギーのようなものは、質量や速度などを直接測定するのと同じ方法で直接測定できるものではありませんが、時間をかけて、人々はこれが実際に非常に基本的な概念であることを理解しました。

ハミルトンは最終的に19世紀にニュートンの物理法則をハミルトン力学と呼ばれるものに再構成し、エネルギー（現在ハミルトニアンと呼ばれる）が支配的なオブジェクトでした。任意のシステムのハミルトニアンを測定する方法を知っていれば、すべての状態に何が起こるかのような動力学を完全に記述できます。

実際、この視点の変化は、量子力学が登場したときに本当に役立ちました。量子力学を研究した初期の物理学者は、ニュートンの思考を量子力学に適応させるのに多くの困難を抱えていました。すべてが粒子だったので、量子力学では、波のように見えたからです。本当に本当に奇妙に見えました。

F=maの量子版は何かと尋ねると、それに答えるのは本当に本当に難しいです。しかし、古典力学で密かに舞台裏にあったハミルトニアンが、量子力学でも鍵となるオブジェクトであることが判明しました。それは異なるタイプのオブジェクトです。関数ではなく演算子と呼ばれるものですが、それを指定すると、全体の動力学を指定します。

シュレーディンガーの方程式と呼ばれるものがあり、ハミルトニアンを持った後、量子システムがどのように進化するかを正確に教えてくれます。並べて、それらは完全に異なるオブジェクトに見えます。1つは粒子を含み、1つは波などを含みます。しかし、この中心性により、実際に古典力学から量子力学に多くの直感と事実を転送することができました。

統一理論の可能性

例えば、古典力学では、ネーターの定理と呼ばれるものがあります。物理システムに対称性があるたびに、保存則があります。物理法則が並進不変である場合、左に10歩移動しても、ここにいるのと同じ物理法則を経験し、これは運動量保存に対応します。

ある角度で振り返っても、同じ物理法則を経験する場合、これは角運動量保存に対応します。10分待っても、同じ物理法則を持っている場合、この時間並進不変性はエネルギー保存の法則に対応します。

対称性と保存の間には、この基本的な接続があります。それは量子力学でも真実です。方程式は完全に異なりますが、両方ともハミルトニアンから来ているため、ハミルトニアンがすべてをコントロールします。ハミルトニアンに対称性があるたびに、方程式は保存則を持ちます。

正しい言語を持つと、実際に物事をずっときれいにします。

あなたの直感では、万物の理論は可能ですか？この言語を見つけることは可能ですか？一般相対性理論と量子力学を統一するものですか？

私はそう信じています。物理学の歴史は、数学と同様に統一の歴史でした。何年にもわたって、電気と磁気は別々の理論でしたが、その後マクスウェルがそれらを統一しました。ニュートンは天の運動と地球上のオブジェクトの運動を統一しました。

それは起こるはずです。ただ、我々の2つの大きな物理学の理論、一般相対性理論と量子力学が自分自身の成功の犠牲者である部分があります。一緒に、それらは我々が行うことができるすべての観察の99.9％をカバーします。

2つの理論を実際に組み合わせる方法を理解するために、極端に狂った粒子加速または初期宇宙または測定するのが本当に困難なものに行かなければなりません。これら2つの理論のいずれかからの偏差を得るために。

しかし、私は我々が何世紀もこれを行っており、以前に進歩を遂げたという信念を持っています。止まる理由はありません。

数学者か物理学者か

万物の理論を開発するのは数学者でしょうか？ しばしば起こることは、物理学者が数学を必要とするとき、数学者が以前に働いた前駆体があることがよくあります。

アインシュタインが空間が曲がっていることを実現し始めたとき、彼は数学者のところに行き、「数学者がすでに思い付いた曲がった空間の理論はありますか？それが有用である可能性があります」と尋ねました。彼は「ああ、リーマンが何かを思い付いた」と言われました。

リーマンはリーマン幾何学を開発していました。これは、さまざまな一般的な方法で曲がった空間の正確な理論であり、アインシュタインの理論に必要なものとほぼ正確でした。

これはディラックの数学の不合理な有効性に戻ります。宇宙を説明するのにうまくいく理論は、数学的問題を解決するのにうまくいく同じ数学的オブジェクトを含む傾向があります。最終的に、それらはデータを有用な方法で整理する両方の方法です。

現実の制約と直感の限界

うまくいく理論を見つけるために、我々の限られた猿の子孫の認知を使って直感するのが非常に困難ないくつかの奇妙な土地に行く必要があるように感じます。

そのため類推がとても重要です。丸い地球は直感的ではありません。我々はその上に立ち往生しているからです。しかし、一般的に丸いオブジェクトについては、かなり良い直感を持っています。光がどのように機能するかについての直感があります。

実際に日食や太陽と月の位相などがどのように、丸い地球と丸い月によって本当に簡単に説明できるかを実際に計算するのは、実際に良い練習です。モデルを取ることができます。バスケットボールとゴルフボールと光源を取り、実際に自分でこれらのことを行うことができます。

直感はそこにありますが、それを転送する必要があります。それは我々が平らな土地から丸い地球に行くために知的に取らなければならない大きな飛躍です。我々の生活のほとんどは平らな土地で生きられているからです。その情報をロードし、我々はそれを当然のことと思っています。

科学が確立した多くのことのために、我々はそれを当然のことと思いますが、ますます進歩するにつれて、あなたの初期直感からますます遠くに移動しなければなりません。

現代科学の課題

現代科学は、おそらくその成功の犠牲者であることです。より正確であるためには、初期直感からますます遠くに移動しなければならず、科学教育の全プロセスを経ていない人にとって、そのためにますます疑わしく見えます。

我々にはより多くの根拠が必要です。優れたアウトリーチを行う科学者がいますが、家でできる科学的なことがたくさんあります。たくさんのYouTubeビデオがあります。

私は最近、グラント・サンダーソンとYouTubeビデオを作成しました。古代ギリシャ人が月への距離、地球への距離などを、あなたも複製できる技術を使用してどのように測定できたかについて話しました。すべてが派手な宇宙望遠鏡や非常に威嚇的な数学である必要はありません。

視点の重要性

あなた自身をその時代の人の心に置くことを試みる美しい経験です。謎に包まれていますね。この惑星にいて、その形やサイズを知らず、いくつかの星やいくつかのものを見て、この世界で自分を位置づけようとします。

視点を変えることは本当に重要です。旅行は心を広げると言います。これは知的旅行です。古代ギリシャ人や他の人、他の時代の人の心に身を置きます。仮説を立て、球形の牛を何でも、推測します。これは数学者が行うことです。一部のアーティストが実際に行うこともです。

極端な制約があったとしても、非常に強力なことを言えるのは信じられないことです。だからこそ、歴史を振り返って、どれだけ理解できるかが刺激的です。

もし公理を提案すれば、数学はそれらの公理をその結論まで追跡させ、時には初期仮説からかなり長い道のりを得ることができます。

一般相対性理論への貢献

一般相対性理論について言及しました。あなたはアインシュタインの場の方程式の数学的理解に貢献しています。この作業と、数学的観点から一般相対性理論のどの側面があなたにとって興味深く、挑戦的であるかを説明できますか？

私は一部の方程式で作業しました。波動写像方程式またはシグマ場モデルと呼ばれるものがあり、これは時空重力自体の方程式ではありませんが、時空の上に存在する可能性のある特定の場のものです。

アインシュタインの相対性理論方程式は時空自体を記述するだけです。しかし、その上に存在する他の場があります。電磁場、制御場があり、アインシュタインが最も非線形で困難と考えられるが、階層で比較的低い位置にあるさまざまな方程式の全体的な階層があります。

波動写像方程式は、任意の点で球上に固定されるような波でした。空間と時間で矢印の束を考えることができ、矢印は異なる方向を指しますが、波のように伝播します。矢印を振ると、伝播し、すべての矢印を動かします。麦畑の麦のシートのようです。

私は、この問題の大域正則性問題に再び興味を持ちました。すべてのエネルギーを一点に集めることは可能かという質問です。

私が考慮した方程式は実際に臨界方程式と呼ばれるもので、すべてのスケールでの動作が大体同じです。すべてのエネルギーが一点に集中するシナリオを強制することができないことを辛うじて示すことができました。エネルギーは少し分散しなければならず、少し分散した瞬間に正則のままでした。

困難な問題への挑戦

どのように困難な問題を解決するのか、内部がどうなっているかについて尋ねなければなりません。難しい問題について考えているとき、あなたの心で数学的オブジェクト、シンボルを視覚化していますか？何を視覚化していますか？

通常、多くの紙とペンです。数学者として学ぶことの1つは、戦略的にカンニングすることです。数学の美しさは、ルールを変え、問題を変え、好きなようにルールを変更できることです。

他の分野ではこれを行うことはできません。エンジニアで、誰かが「この上に橋を建てろ」と言った場合、「代わりにここに橋を建てたい」または「鋼鉄の代わりに紙で建てたい」と言うことはできません。しかし、数学者は好きなことを何でもできます。

無制限のチートコードが利用可能なコンピューターゲームを解こうとするようなものです。

そのため、これらの問題を解決する方法は、人生を最大限に困難にするアイアンマンモードではありません。実際に合理的な数学問題にアプローチすべき方法は、10のことがあなたの人生を困難にしている場合、9つの困難を無効にするが、1つだけを保持する問題のバージョンを見つけることです。

つまり、9つのチートをインストールします。10のチートをインストールすると、ゲームは自明になります。9つのチートをインストールすると、その特定の困難に対処する方法を教える1つの問題を解決します。その後、それを無効にし、他の何かを有効にし、それを解決します。

10の問題、10の困難を別々に解決する方法を知った後、それらを一度に数個ずつ結合し始める必要があります。子供の頃、私は多くの香港のアクション映画を見ました。文化からです。

戦闘シーンがあるたびに、ヒーローが100人の悪者の手下などに囲まれるかもしれませんが、常に一度に1人とだけ戦うように振り付けされていました。その人を倒し、次に進みます。そのため、彼はすべてを倒すことができました。

しかし、もしもう少し知的に戦い、一度に彼を群れで襲ったなら、映画ははるかに悪くなるでしょうが、彼らは勝つでしょう。

思考の道具としての黒板

あなたは通常ペンと紙ですか、それともコンピューターとラテを使って作業していますか？ 私は主にペンと紙です。実際、私のオフィスには4つの巨大な黒板があります。時々、問題について知っているすべてを4つの黒板に書き、ソファに座って全体を見る必要があります。

それはすべてシンボル、記法のようなものですか、それとも図面もありますか？ 多くの図面と、私だけに意味をなすベスポークな落書きがあります。黒板の美しさは、消去できることで、非常に有機的なものです。

コンピューターをますます使用し始めています。部分的には、AIが簡単なコーディングをはるかに簡単にするからです。以前に適度に複雑な関数をプロットしたい場合、何らかの反復または何かがある場合、Pythonプログラムを設定する方法を思い出し、forループがどのように機能するかを思い出し、デバッグする必要があり、2時間かかりました。今では10〜15分でできるのではるかに簡単です。簡単な探索を行うためにますますコンピューターを使用しています。

AIと数学：Leanプログラミング言語

Lean形式証明プログラミング言語について話しましょう。コンピューター支援証明について説明し、証明アシスタントとしてどのように役立つか、どのように使用を開始したか、どのように役立ったかを説明できますか？

Leanは、PythonやCなどの標準言語と同様のコンピューター言語です。ただし、ほとんどの言語では、実行可能コードの生成に焦点が当てられています。ビットを反転したり、ロボットを動かしたり、インターネット上でテキストを配信したりします。

Leanもそれを行うことができますが、標準的な従来の言語として実行することもできますが、証明書も生成できます。Pythonのようなソフトウェアは計算を行い、答えが7だと教えてくれるかもしれません。3+4の和は7に等しいとしましょう。

しかし、Leanは答えだけでなく、7の答えをどのように得たかの証明も生成できます。3+4として、関与するすべてのステップです。より複雑なオブジェクト、ステートメントだけでなく、証明が添付されたステートメントを作成します。

コードの各行は、以前のステートメントを一緒にして新しいものを作成する方法にすぎません。アイデアは新しくありません。これらは証明アシスタントと呼ばれ、非常に複雑で複雑な数学的証明を作成できる言語を提供し、コンパイラーを信頼する場合、引数が正しいという100％の保証を与えるこれらの証明書を生成します。

ペンと紙対Leanプログラミング

ペンと紙で書くのとLeanプログラミング言語を使用することの違いについて、人々にいくつかの直感を与えることができますか？ステートメントを形式化するのはどれくらい困難ですか？

Leanには多くの数学者が設計に関与したため、個々のコード行が個々の数学的議論行に似るように設計されています。変数を導入したい、矛盾を証明したいなど、実行できるさまざまな標準的なことがあり、理想的には一対一の対応があるはずです。

実際には、そうではありません。Leanは、すべてを指摘する非常に衒学的な同僚に証明を説明するようなものだからです。「本当にこれを意味したのですか？ これがゼロの場合はどうなりますか？ これをどのように正当化しますか？」

Leanには多くの自動化がありますが、それをより迷惑にしないようにしようとしています。例えば、すべての数学的オブジェクトには型が付いている必要があります。Xについて話す場合、Xは実数、自然数、関数、または何かですか？

非公式に物事を書く場合、文脈次第です。「明らかにxはyとzの和に等しい」と言い、yとzがすでに実数だった場合、xも実数であるべきです。Leanはその多くを行うことができますが、時々「この物件について詳しく教えてください」と言います。どのタイプのオブジェクトかを教えてください。

LLMとLeanの統合

型推論を行うためにLLMのようなものを使用していますか、それとも実数について言及しました、それとも従来の古き良きAIと呼ばれるもっと伝統的なものを使用していますか？これらすべてのものをツリーとして表現でき、あるツリーを別のツリーに一致させる常にアルゴリズムがあるので、何かが実数か自然数かを理解することは実際に実行可能です。

すべてのオブジェクトは、どこから来たかの履歴の一種があり、追跡できます。信頼性のために設計されているので、現代のAIは使用されていません。これは別個の技術です。

人々はLeanのトップでAIを使用し始めています。数学者がLeanで証明をプログラムしようとするとき、多くの場合、ステップがあります。「今、微積分の基本定理を使いたい」と言って次のステップを行います。

Lean開発者は、Mathlibと呼ばれるこの大規模なプロジェクトを構築しました。数学的オブジェクトについての数万の有用な事実の収集で、どこかに微積分の基本定理がありますが、それを見つける必要があります。

現在のボトルネックは実際に補題検索です。どこかにあることを知っているツールがあり、それを見つける必要があります。数学ループ専用のさまざまな検索エンジンを使用できますが、大規模言語モデルがあります。

「この時点で微積分の基本定理が必要です」と言うことができ、「この時点でこれを試してください」と言うかもしれません。私がコードを書くとき、IDEにプラグインとしてインストールされたGitHub Copilotがあり、私のテキストをスキャンし、必要なものを見て、「今微積分の基本定理を使用する必要があります」と入力するかもしれません。

そして、「これを試してください」と提案するかもしれません。25％の時間で正確に機能し、その後さらに10〜15％の時間でかなり機能しませんが、こことここを変更すれば機能すると言えるほど近いです。その後、半分の時間、完全にがらくたを与えてくれます。

しかし、人々は主におしゃれなオートコンプリートのレベルでAIを上にして使用し始めています。証明の半分の行を入力し、残りを教えてくれます。

形式化の課題と利点

特に大文字のFを持つおしゃれは、数学者がペンと紙から形式化への移行時に感じるかもしれない摩擦を一部除去します。現在、証明を形式化するのにかかる努力と時間は、それを書くのにかかる量の約10倍だと推定しています。

それは実行可能ですが、迷惑です。数学者であることの全体的な雰囲気を殺しませんか？ 衒学的な同僚がいるようなものですよね？それがそれの唯一の側面だった場合はそうですが、実際により快適な場合があります。

私が形式化した定理があり、最終ステートメントに出てくる特定の定数12がありました。この12は証明全体を通して運ばれなければならず、すべてがチェックされ、この最終番号12と一致し、他のすべての番号がこの番号12と一致している必要がありました。

この定理をこの番号12で論文を書き、数週間後に誰かが「実際にこれらのステップのいくつかを再加工することで、この12を11に改善できる」と言いました。ペンと紙でこれが起こるとき、パラメーターを変更するたびに、証明のすべての単一行がまだ機能することを行ごとにチェックしなければなりません。

Leanの協力的側面

Leanが本当に可能にするのは、過去にはできなかった原子レベルで証明で実際に協力することです。従来、ペンと紙で他の数学者と協力したい場合、黒板で行うか、本当に相互作用できますが、電子メールなどで行う場合、基本的にセグメント化する必要がありました。

しかし、Leanでは、証明の一部を形式化しようとしていて、「67行目で立ち往生し、ここでこのことを証明する必要がありますが、うまくいきません。困っている3行のコードです」と言うことができます。

すべての文脈がそこにあるため、他の誰かが「この技術やこのツールを適用する必要があることを認識しています」と言い、非常に原子レベルの会話をすることができます。

Leanのため、世界中の数十人と協力できます。そのほとんどは直接会ったことがありません。実際に、彼らがどれほど信頼できるかも知らないかもしれませんが、Leanは信頼の証明書を与えてくれるので、信頼のない数学を行うことができます。

協力の方法論

あなたは偉大な協力者として知られています。数学で困難な問題を解決するときに協力する正しい方法は何ですか？分割統治タイプのことをしているのですか、それとも特定の部分に焦点を当て、ブレインストーミングをしているのですか？

常に最初にブレインストーミングプロセスがあります。数学研究プロジェクトは、始めるときに問題を実際にどのように行うかを本当に知らないという性質によります。何十年もの間理論が確立されており、実装が主な困難であるエンジニアリングプロジェクトとは異なります。正しいパスが何であるかさえも理解する必要があります。

これは、橋の建設の比喩に戻ると、最初に無限の予算と無制限の労働力などを持っていると仮定することについて私が言ったことです。今、この橋を建設できますか？今、無限の予算を持っているが、有限の労働力だけを持っている、今それを行うことができますか？といった具合です。

グリーン・タオ定理の協力例

私が知られている定理の1つは、ベン・グリーンと私による定理で、グリーン・タオ定理と呼ばれています。これは、素数が任意の長さの等差数列を含むという声明です。これは、シェメレディの定理の修正でした。

我々の協力方法は、ベンがすでに長さ3の進行に対して類似の結果を証明していたことでした。彼は、素数のような集合に長さ3の進行が多く含まれていることを示しました。素数の特定のサブセットでさえそうです。

しかし、彼の技術は長さ3の進行でのみ機能し、より長い進行では機能しませんでした。しかし、私は遊んでいたアディック理論から来る技術を持っており、その時ベンよりもよく知っていました。

私がベンに特定の事実を提供できれば、定理を結論づけることができますが、私が尋ねたのは数論で本当に困難な問題でした。彼は「これを証明する方法はない」と言いました。

彼は「私が証明できるより弱い仮説を使用してあなたの部分の定理を証明できますか？」と言い、彼が証明できるが私には弱すぎることを提案しました。この前後の会話があり、最終的に我々は、a彼が証明でき、b私が使用できる特性を見つけました。

Leanにおけるブループリント

Leanプログラミングでは、これはまったく異なる話になります。ブループリントを作成できるからです。問題に対して実際に分割統治を行うことができ、コンピューターシステム証明チェッカーを使用して、途中ですべてが正しいことを確認します。

現在、芸術の現状では、少数の数学プロジェクトだけがこの方法で切り上げることができます。Leanアクティビティのほとんどは、すでに人間によって証明された書籍を形式化することです。

数学論文は基本的にある意味でブループリントです。それは、大きな定理のような困難なステートメントを取り、100の小さな補題に分解しています。しかし、多くの場合、各ステップを直接形式化できるほど十分な詳細で書かれているわけではありません。

ブループリントは、各ステップができるだけ詳細に説明され、可能な限り自己完結型になるようにする、論文の非常に衒学的に書かれたバージョンです。

実験数学の未来

Leanと他のソフトウェアツール、GitHubなどのようなプラットフォームが可能にすることは、実験数学を現在できるよりもはるかに大きな程度まで拡大することを可能にすると思います。

現在、何らかの数学的パターンなどの数学的探索を行いたい場合、パターンを書き出すコードが必要で、時々それを助けるコンピューター代数パッケージがありますが、多くの場合、1人の数学者が多くのPythonや何でもをコーディングします。

コーディングは非常にエラーを起こしやすい活動であるため、モジュールの1つにバグがあると全体が信頼できなくなるため、コードのモジュールを書くためにあなたと協力することを他の人に許可することは実用的ではありません。

方程式理論プロジェクト

方程式理論プロジェクトと呼ばれるプロジェクトを始めています。基本的に、抽象代数で約2200万の小さな問題を生成しました。抽象代数は、乗算と加算のような演算とその抽象的性質を研究します。

例えば、乗算は可換です。x * yは常にy * xです。少なくとも数に対してです。また、結合的でもあります。x * y * zはx * (y * z)と同じです。

これらの演算はいくつかの法則に従いますが、他のものには従いません。例えば、x * xは常にxに等しいわけではないので、その法則は常に真ではありません。任意の演算が与えられると、いくつかの法則に従い、他のものには従いません。

特定の演算が満たすことができる約4,000のこれらの可能な代数の法則を生成し、どの法則が他のどの法則を意味するかという我々の質問です。

例えば、可換性は結合性を意味しますか？答えはノーです。可換法則に従うが結合法則に従わない演算を記述することで例を作成できるからです。しかし、他のいくつかの法則は、置換などによって他の法則を意味します。

これらの4,000の法則間のすべてのペアを見て、これは2200万のこれらのペアです。各ペアに対して、この法則がこの法則を意味するかどうかを尋ねます。そうであれば、証明を与えてください。そうでなければ、反例を与えてください。

2200万の問題で、それぞれを学部代数学生に与えることができ、問題を解決する decent chanceがありますが、これらの2200万のうち100ほどが本当にかなり困難です。しかし、多くは簡単で、プロジェクトは全体のグラフを解決することでした。

大規模協力の実現

人間の回勉者だけでは実行可能ではありませんでした。文献の芸術状態は、15の方程式のようなもので、それらがどのように適用されるかというのが、人間の悔み紙ができることの限界でした。スケールアップする必要があります。クラウドソーシングする必要がありますが、すべてのものを信頼する必要もあります。

誰も2200万のこれらの証明をチェックできません。コンピューター化される必要があり、Leanでのみ可能になりました。AIも多く使用することを望んでいました。

プロジェクトはほぼ完了しています。これらの2200万のうち、2つを除いてすべてが解決されました。実際、その2つに対してペンと紙の証明があり、私たちはそれを形式化しています。実際、今朝、私はそれを完成させることに取り組んでいました。

約50人を得ることができました。これは数学では巨大な数と考えられています。50人の著者の論文があり、誰が何に貢献したかの大きな付録があります。

ガミフィケーションとメトリクス

人々の貢献者のこのプールがあるとき、人々の専門知識のレベルによって貢献を組織する方法はありますか？これらの多くの問題を抱えている人間の束といくつかのAIを想像していますが、将来的には、ELOレーティングタイプの状況のようなガミフィケーションがあることができるでしょうか？

これらのLeanプロジェクトの美しさは、自動的にすべてのこのデータを得ることです。すべてがGitHubにアップロードされなければならず、GitHubは誰が何に貢献したかを追跡します。後でいつでも統計を生成できます。これらは非常に粗いメトリクスです。

私は確実にこれがあなたの在職審査の一部などになることは望みません。しかし、企業コンピューティングでは、すでに人々は従業員のパフォーマンスの評価の一部としてこれらのメトリクスのいくつかを使用していると思います。

学者が下がる方向として少し怖いです。我々はメトリクスをそれほど好みません。しかし、学者は実際にはメトリクスを使用します。彼らは古いものを使用します。論文の数です。

協力者の認識

このプロジェクトのために我々が行ったことは自己報告です。人々が与える貢献のタイプの標準カテゴリが科学からあります。概念と検証とリソースとコーディングなどがあります。

標準のリストがあり、すべての著者のすべてのカテゴリの大きなマトリックスがあり、各貢献者に、貢献したと思う場所のボックスをチェックするよう求めるだけです。

Polymath プロジェクトとの比較

伝統的に、数学者は姓でアルファベット順に順序付けするだけなので、科学のように主著者と第二著者などの伝統がありません。すべての著者を同等のステータスにしますが、これは我々が誇りに思っていることですが、このサイズにスケールしません。

10年前、私はPolymathプロジェクトと呼ばれるものに関与していました。Leanコンポーネントなしで数学をクラウドソーシングしていましたが、入ってくるすべての貢献が実際に有効であることをチェックするために人間のモデレーターが必要だったという制限がありました。これは巨大なボトルネックでした。

しかし、それでも10人ほどの著者のプロジェクトがありました。その時、誰が何をしたかを決定しようとしないことにしましたが、DHJ Polymathと呼ばれる単一の仮名を持つことにしました。これは、20世紀の有名な数学者グループの仮名であるBurbakiの精神によるものです。

実際には、いくつかの理由でそれほどうまくいかないことが判明しました。在職などを考慮されたい場合、正式な著者クレジットがなかったため、提出された出版物の1つとしてこの論文を使用できませんでした。

しかし、はるかに後で認識した他のことは、人々がこれらのプロジェクトを参照するとき、プロジェクトに関与した最も有名な人に自然に言及することです。「これはティム・ガワーズのプロジェクトでした」「これはテレンス・タオのプロジェクトでした」と言い、関与していた他の19人やそこらの人々については言及しません。

今回は、みんなが著者である異なることを試していますが、このマトリックスで付録があり、それがどのように機能するかを見ます。

AIの数学への統合

Kevin BuzzardがLeanプログラミング言語について数年前に講演を見ました。彼はこれが数学の未来かもしれないと言っていました。世界で最も偉大な数学者の1人であるあなたがこれを受け入れているのを見るのはエキサイティングです。

この全プロセスへのAIの統合について尋ねなければなりません。DeepMindのAlphaProofは、IMO問題の失敗と成功した正式なLean証明の両方で強化学習を使用して訓練されました。これは高レベルの高校レベルの数学問題のようなものです。

このシステムについてどう思いますか？高校レベルの問題を証明できるこのシステム対大学院レベルの問題の間のギャップは何だと思いますか？

難易度は、証明に関与するステップ数で指数関数的に増加します。これは組み合わせ爆発です。大規模言語モデルのことは、間違いを犯すということです。証明に20のステップがあり、モデルが各ステップで10％の失敗率を持っている場合、間違った方向に進むことで、最後に実際に到達する可能性は極めて低いです。

自然言語から形式言語への写像の困難さ

小さな接線を取らせてください。自然言語から形式プログラムへの写像の問題はどれくらい困難ですか？ 実際には極めて困難です。自然言語は非常にフォルトトレラントです。いくつかの軽微な文法エラーを犯すことができ、第二言語の話者は何を言っているかのアイデアを得ることができます。

しかし、形式言語では、一つの小さなことを間違えると、全体がナンセンスです。形式から形式でさえ非常に困難です。LeanだけでなくCoqやIsabelleなどの異なる互換性のない証明言語があり、実際には形式言語から形式言語への変換は基本的に未解決の問題です。

AlphaProofシステムの評価

しかし、非形式言語を持った後、彼らはRL訓練モデルを使用しているので、囲碁に使用したAlpha Zeroに似たものを使用して証明を思い付こうとしています。また、私が信じている幾何学的問題に対して別のモデルがあります。

システムについて印象的なことと、ギャップは何だと思いますか？ 時間をかけて驚くべきものになることを話しました。これらは素晴らしい作品です。可能なことを示しています。

アプローチは現在スケールしません。1つの高校数学問題を解決するのにGoogleのサーバー時間の3日です。これはスケーラブルな展望ではありません。特に複雑さが増加するにつれて指数関数的に増加します。

彼らは銀メダルのパフォーマンスに相当するものを得ました。まず第一に、割り当てられたよりもはるかに多くの時間を取りました。そして、人間が形式化を支援した支援がありました。しかし、彼らは解決に対して満点を与えられているので、私はそれが正式に検証されているので公正だと思います。

AI数学オリンピックの提案があるでしょう。人間の競技者が実際のオリンピック問題を得るのと同時に、AIも同じ時間枠で同じ問題を与えられます。出力は同じ審査員によって採点されなければなりません。つまり、形式言語ではなく自然言語で書かれなければなりません。

私はそれが起こることを望みます。次のIMOでは起こらないことを望みます。パフォーマンスが時間枠で十分良くないし、しかし、答えが証明ではなく数字である小さな競技があります。AIは実際に、特定の数値答えがある問題ではるかに優れています。正しい答えを得たか間違った答えを得たかという非常に明確な信号があるからです。

人間の特別な能力

この可能な未来を探求すると、数学で人間が行うことで最も特別なことは何ですか？ しばらくの間AIがクラックしないと見ることができるものですか？

新しい理論を発明すること。新しい推測を思い付くか、推測を証明するかです。新しい抽象化、新しい表現を構築します。おそらく、AIがターンスタイル様式で異なる分野間の新しい接続を見ることです。

それは良い質問です。時間をかけて数学者が行うことの性質は大きく変わりました。1000年前、数学者はイースターの日付を計算しなければならず、非常に複雑な計算がありましたが、すべて何世紀もの間自動化されています。球面航海、球面三角法を使用して古い世界から新しい世界への航海方法、非常に複雑な計算、再び自動化されています。

学部数学の多くでさえ、AIの前でも、Wolfram Alphaなどは、言語モデルではありませんが、多くの学部レベルの数学タスクを解決できます。

計算側面では、問題があり、偏微分方程式で、20の標準技術のいずれかを使用して解決できるかと言い、そのタイプのことは非常にうまく機能すると思います。AIが100の隣接問題を攻撃するために一つの問題を解決することからスケールすることです。

AIが苦労する領域

AIが現在本当に苦労しているのは、間違った方向に向かったときを知ることです。「この問題を解決しようとしている、この問題をこれら2つのケースに分割し、この技術を試そうとしている」と言うことができます。時々運が良く、シンプルな問題の場合、それは正しい技術で問題を解決します。

時々、それは問題を抱え、完全にナンセンスなアプローチを提案しますが、証明のように見えます。これはLM生成数学についての迷惑なことの1つです。非常に低品質の人間生成数学もありますが、人間の証明が悪い場合、かなり迅速にそれが悪いことを言うことができます。本当に基本的な間違いを犯します。

しかし、AI生成証明は表面的に完璧に見える可能性があり、それは強化学習が実際に彼らを訓練したことの一部です。正しいように見えるテキストを生成することです。多くのアプリケーションでは十分です。

エラーはしばしば本当に微妙で、それらを見つけると、それらは本当に愚かです。人間が実際にその間違いを犯すことはないようなものです。プログラミングの文脈では、私はプログラムを多くし、人間が低品質のコードを作るとき、コードスメルと呼ばれるものがあります。すぐに言うことができます。しかし、生成されたコードでは、最終的には明らかにばかげたことを見つけるまで、良いコードのように見えます。

人間の嗅覚と直感

人間が持っているものの1つは嗅覚の感覚です。数学的な嗅覚の比喩的な感覚があり、AIがそれを複製する方法は明確ではありません。

Alpha ZeroやそのようなものがGoやチェスなどで進歩を遂げる方法は、ある意味で、彼らはGoやチェスの位置に対する嗅覚の感覚を開発したことです。この位置は白に良い、黒に良いということです。なぜかは開始できませんが、その嗅覚の感覚を持つことで戦略を立てることができます。

AIが特定の証明戦略の実行可能性の嗅覚の感覚を得ることができれば、「この問題を2つの小さなサブタスクに分解しようとしている」と言うことができ、「まあ、これは良い2つのタスクのように見える、あなたの主なタスクよりもシンプルなタスクで、真実である良いチャンスがまだある」または「いいえ、問題を悪化させた、2つのサブ問題のそれぞれが実際に元の問題よりも困難だから」と言うことができます。

通常、実際にランダムなことを試すと何が起こるかです。通常、実際には問題をさらに困難な問題に変換するのは非常に簡単です。問題をより簡単な問題に変換することは非常にまれです。

協力の可能性

もし私があなたに、あなたがすることのいくつかの側面を行うことができるオラクルを与えた場合、そのオラクルに何をしてもらいたいですか？ 検証器のようなもの、これは正しい、これは良い、これは有望で実りある方向だとチェックすることですか？

または、可能な証明を生成し、その後どれが正しいかを見ることですか？それとも、この問題を見るまったく異なる方法、異なる表現を生成することですか？

上記のすべてだと思います。その多くは、これらのツールをどのように使用するかを知らないことです。これは過去にはなかったパラダイムだからです。複雑な指示を理解するのに十分有能であり、大規模に動作できるが、また信頼できないシステムがありませんでした。

微妙な方法で信頼できないが、十分に良い出力を提供しながら、興味深い組み合わせです。これは大学院生と一緒に働くようなもので、そのようなものですが、大規模ではありません。

未来の数学助手

ティム・ガワーズは実際に2000年にこれを予見しました。彼は2000年に、数学が実際にどのように見えるかを書きました、実際に2.5デケイドです。彼は未来の数学助手と自分の間の仮想的な会話を書きました。問題を解決しようとしています。

時々人間がアイデアを提案し、AIがそれを評価し、時々AIがアイデアを提案します。時々計算が必要で、AIが「100ケースが必要なのでチェックしました」または「最初にこれがすべてのnに対して真実だと言いました、n100まで46でチェックしましたが、問題があります」と言うでしょう。

物事がどこに向かうかを事前に知らないが、両側でアイデアが提案され、両側で計算が提案される自由形式の会話です。

実際のAIとの協力体験

私は「この数学問題を解決するために協力しましょう」とAIと会話をしました。それは私がすでに解決策を知っている問題だったので、「問題はこれです、このツールを使用することを提案します」とプロンプトしようとしました。そうすると、最終的に雑草に入り、「いいえ、いいえ、このツールを使用している場合は大丈夫」と言うまで、まったく異なるツールを使用した素敵な議論を見つけます。

そして、それはこのツールを使用し始め、その後私が最初に望んだツールに戻るかもしれません。それを最終的に私が望んだ証明を与えるように強制することができましたが、猫を飼うようなものでした。出力をチェックしなければならなかった個人的な努力の量、そのような多くは動作するように見えましたが、問題があることを知っています、17行目に問題があり、基本的にそれと議論しています。

支援なしで行うよりも疲れました。しかし、それは現在の芸術の状態です。それが猫を飼うようには感じられなくなり、おそらくそれがどれほど速く来るかに驚くフェーズシフトがあると思います。

形式化における効率の向上

形式化では、以前に証明を手で書くよりも10倍長くかかると述べました。これらの現代のAIツールと、Lean開発者がより多くの機能を追加し、ユーザーフレンドリーにしているより良いツールにより、9から8から7に上がっています。

大したことではありませんが、ある日1を下回るでしょう。それはフェーズシフトです。論文を書くとき、最初にLeanで書くか、一般的にあなたと一緒にその場でいるAIとの会話を通じて書くことが突然意味を作るからです。

雑誌がLeanですでに形式化された論文に対して迅速な審査を提供することが自然になります。審査員に結果の重要性と文献との関連についてコメントするよう求めるだけで、正確性についてはそれほど心配しません。それは証明されているからです。

数学の論文はますます長くなっており、本当に重要でない限り、本当に長いもののために良い審査を得るのは実際にますます困難になっています。実際に問題で、形式化がちょうど適切な時期に来ており、ツールなどの他のすべての要因のためにますます簡単になるでしょう。それはそれが良性サイクルです。

フィールズ賞とペレルマンについて

過去にLatTeXの採用が起こりました。LaTeXは、現在すべての数学者が使用するタイプセット言語です。過去に、人々はあらゆる種類のワードプロセッサーやタイプライターなどを使用していましたが、ある時点でLaTeXがすべての他の競合他社よりも使いやすくなり、人々は切り替えました。数年以内に劇的なフェーズシフトでした。

AIシステムがフィールズ賞を受賞する証明で協力者になるのはどのくらい先ですか？ そのレベルです。すべての協力の半分と半分のようなレベルに依存しますが、実際にフィールズ賞に値するように。

それを書くのに何らかのAIシステムを使用することはすでに想像できます。私はすでにそれを使用しています。オートコンプリートだけでも、私自身の文章を速めます。定理があり、証明があり、証明には3つのケースがあり、最初のケースの証明を書き下し、オートコンプリートは「さて、第二ケースの証明がどのように機能するかはこちらです」と提案し、まさに正しく、5〜10分の入力を節約してくれました。

しかし、その場合、AIシステムはフィールズ賞を得ません。20年、50年、100年について話していますか？ 私は印刷物で予測を与えました。2026年までに、つまり来年まで、数学協力があるでしょう。AIによる部分的に生成された実際の研究レベルの数学、フィールズ賞受賞ではなく、公開されたアイデアです。

AIによる数学の貢献

おそらくアイデアではなく、少なくとも計算のいくつか、検証のいくつかです。それはすでに起こっていますか？ 問題がAIとの複雑なプロセス会話によって解決され、人間がそれを試し、契約が機能しないが、異なるアイデアを提案するかもしれないケースがあります。

AIと数学方法人間数学者が関与したためにのみ達成できた数学結果が確実にあります。しかし、正確に信用を分離するのは困難です。

これらのツールは、数学を行うために必要なすべてのスキルを複製するものではありませんが、そのうちのいくつかの些細でない割合、30〜40％を複製できます。ギャップを埋めることができます。

コーディングは良い例です。私にとってPythonでコーディングするのは迷惑です。私はネイティブではありません。専門プログラマーではありません。しかし、AIで、それを行う摩擦コストははるかに削減されます。それは私のためにそのギャップを埋めます。

文献レビューの自動化

AIは文献レビューでかなり良くなっています。存在しない参照を幻覚させる問題がまだありますが、これは正しい方法で訓練し、インターネットを使用して検証すれば、数年で社会問題だと思います。

数年で、必要な補題があり、「誰かが以前にこの補題を証明したか」と言う点に到達するはずです。基本的におしゃれなウェブ検索AI助手を行い、「ああ、似たようなことが起こったこれらの6つの論文があります」と言うでしょう。

今すぐ尋ねることができ、6つの論文を与えてくれます。そのうち1つは正当で関連性があり、1つは存在するが関連性がなく、4つは幻覚です。今は非ゼロの成功率を持っていますが、信号対雑音比は非常に貧弱で、文献を既にある程度知っているときに最も役立ちます。

ペレルマンとポアンカレ予想

グレゴリー・ペレルマンについて尋ねることができます。あなたの作業で注意深くあり、問題があなたを完全に消費させないように注意していると述べました。問題に完全に恋をして、解決するまで本当に休むことができない。

しかし、時々このアプローチが実際に非常に成功することがあると急いで付け加えました。あなたが与えた例は、ポアンカレ予想を証明したグレゴリー・ペレルマンで、7年間基本的に外の世界とほとんど接触せずに一人で働いていました。

この1つのミレニアム賞問題を説明できますか、そして多分ペレルマンが歩んだ旅について話すことができますか？

曲がった空間についての質問です。地球は良い例です。2D表面で丸い可能性があります。ドーナツのような穴があるトーラスである可能性があります。または多くの穴を持つことができ、表面が持つことができる多くの異なるトポロジーがあります。

表面を分類する方法を理解しました。第一近似として、すべては種と呼ばれるもの、持っている穴の数によって決定されます。球は種0を持ち、ドーナツは種1を持ちます。

これらの表面を区別する一つの方法は、球が単連結と呼ばれる性質を持つことです。球上で任意の閉じたループ、大きな閉じた小さなロープを取る場合、表面上に留まりながらそれを点に収縮させることができます。球はこの性質を持ちますが、トーラスはそうではありません。

ポアンカレは、より高い次元で同じ質問をしました。表面は3次元に埋め込まれたものとして考えることができますが、曲がった自由空間の場合、4D空間への良い直感がないため、視覚化するのが困難になります。

また、4次元や5次元に収まらない3次元空間もあります。5次元や6次元などが必要です。とにかく、数学的には、境界のある3次元空間も持っているこの単連結性を持っている場合、3次元版の球に変えることができるかという質問をまだ提起できます。

奇妙なことに、より高い次元、4次元と5次元では、実際により簡単でした。2次元では、ソビエト数学者ラディシェンスカヤが1960年代に2次元には爆発がないことを示しました。2次元では、ナビエ・ストークス方程式は臨界と呼ばれるもので、輸送の効果と粘性の効果は非常に小さなスケールでもほぼ同じ強さです。

ハミルトンのリッチフロー

リチャード・ハミルトンが偏微分方程式アプローチを提案しました。風船の表面のように考えることができる表面がある場合、それを膨らませることを試みることができます。空気で満たすにつれて、しわは種類滑らかになり、良い丸い球に変わります。

トーラスや何かの代わりにそれがあった場合、それはある時点で立ち往生するでしょう。内側のリングがゼロに縮むとき、特異点が得られ、さらに吹き飛ばすことができません。

彼はリッチフローと呼ばれるこのフローを作成しました。これは、任意の表面または空間を取り、それをより丸く、よりよい球のように見えるように滑らかにする方法です。このプロセスが球を与えるか、特異点を作成するかを示したいと考えていました。

これは実際に、PDEが大域正則性を持つか有限爆発を持つかとほぼまったく同じことです。すべて接続されています。彼は2次元、2次元表面に対して、単連結から始めると、特異点は形成されなかったことを示しました。トラブルに遭遇することはなく、フローでき、球を与えました。

3次元での困難

しかし、3次元では、問題は、この方程式が実際に超臨界だったことでした。ナビエ・ストークスと同じ問題です。爆発するにつれて、曲率がより細かく小さい領域に制約される可能性があり、それはますます非線形に見え、物事はますます悪く見えました。

あらゆる種類の特異点が現れる可能性がありました。一部の特異点は、表面が鉄アレイのように振る舞い、点でピンチするネックピンチと呼ばれるもののように、次に何をすべきかを見ることができるほど簡単です。スニップを作るだけで、1つの表面を2つに変え、別々に進化させることができます。

しかし、本当に厄介な結び目の特異点が現れる見込みがあり、どのような方法でも解決できない方法が見えませんでした。手術を行うことができませんでした。すべての特異点を分類する必要がありました。物事がどのような方法で間違ってしまう可能性があるかです。

ペレルマンの革新

ペレルマンが行ったのは、まず第一に、問題を作ったことです。超臨界問題を臨界問題に変えました。以前に、エネルギー、ハミルトニアンの発明がニュートン力学を本当に明確化したように、ペレルマンの縮小体積とペレルマンのエントロピーと呼ばれる新しい量を導入しました。

エネルギーのような新しい量を導入し、すべての単一スケールで同じに見え、問題を臨界的なものに変え、非線形性が実際に以前よりもはるかに恐ろしく見えなかったところです。

その後、彼はこの臨界問題の特異点を分析しなければなりませんでした。それ自体が私が実際に働いた波動マップ問題のような問題でした。彼はこの問題のすべての特異点を分類し、それぞれに手術を適用する方法を示し、それを通してポアンカレ予想を解決することができました。

非常に野心的なステップが多く、今日の大規模言語モデルが想像できるものではありません。せいぜい、数百の異なることの1つとしてこのアイデアを提案するモデルを想像できますが、他の99は完全な行き止まりでしょうが、数か月の作業の後でのみそれを見つけるでしょう。

彼は、これが追求する正しい道であるという感覚を持っていたに違いありません。AからBまで得るのに数年かかるからです。

困難な問題での低迷期

数学的に、より広くプロセスの観点から彼が経験していたことから何を推測できますか？なぜなら、彼は一人でそれを行っていたからです。そのようなプロセスの低迷期は何ですか、あなたが実現するときに、先数日、先数週間、先数週間に行ったことが失敗だということですか？

私にとって、私は異なる問題に切り替えます。私は言ったように、私は狐であり、ハリネズミではありません。しかし、あなたは正当にそれは取ることができる休憩です、離れて異なる問題を見ることです。

問題を修正することもできます。あなたをブロックしている特定のことがある場合、この悪いケースが現れ続け、あなたのツールが機能しない場合、この悪いケースが発生しないことをフィアットで仮定することができます。魔法的思考をしますが、戦略的に。

残りの議論が通るかどうかを見るために。あなたのアプローチに複数の問題がある場合、あきらめるかもしれません。しかし、これが唯一の問題で、他のすべてがチェックアウトする場合、戦う価値があります。時々、実際に間違いを犯すことが生産的です。

間違いから学ぶ

私が実際に関わったプロジェクトがありました。実際に他の4人と、私たちはこのPDE問題、再び爆発正則性タイプの問題で働きました。それは非常に困難と考えられていました。このタイプの問題の特別なケースで働いたショーン・バーンは別のフィールズメダリストでしたが、一般的なケースを解決できませんでした。

私たちはこの問題で2か月間働き、解決したと思いました。このかわいい議論があり、すべてが適合し、興奮していました。シャンパンか何かを一緒に取ることを計画していました。書き始めました。

私たちの一人、実際に私ではなく、別の共著者が「この補題で、この展開に現れるこれらの13項を推定する必要がある」と言いました。12を推定しましたが、ノートで13番目の推定を見つけることができません。誰かがそれを提供できますか？」

私は「確実にこれを見ます」と言いました。実際に、私たちは完全にこの項を省略し、この項は他の12項を合わせたものよりも悪いことが判明しました。実際、私たちはこの項を推定できませんでした。

さらに数か月間、すべての異なる順列を試し、常にこの1つのこと、制御できない1つの項がありました。これは非常にフラストレーティングでしたが、すでにこれに数か月と数か月の努力を投資していたため、私たちはこれに固執しました。

ますます絶望的で狂ったことを試し、2年後、実際に私たちの初期戦略とはかなり異なるアプローチを見つけました。これは実際にこれらの問題項を生成せず、実際に問題を解決しました。

2年後に問題を解決しましたが、問題をほぼ解決したその最初の誤った夜明けがなかった場合、月2またはそこらであきらめ、より簡単な問題で働いていたでしょう。2年かかることを知っていたら、プロジェクトを開始したかどうかわかりません。

感情的な投資と挫折

そのような瞬間に、あなたを圧倒する感情的または自己疑いはありますか？数学は非常に魅力的であるため、問題に多くの自分を投資し、それが間違っていることが判明したとき、それはあなたを壊すことができるように感じるからです。チェスが一部の人々を壊したのと同様の方法です。

異なる数学者は、彼らが行うことに対して異なるレベルの感情的投資を持っていると思います。一部の人にとって、それは単なる仕事です。問題があり、うまくいかない場合、次のものに進みます。

常に別の問題に移ることができるという事実は、感情的な結びつきを減らします。バック病と呼ぶ特定の問題がある場合があります。その1つの問題に固執し、その1つの問題以外何も考えずに何年も費やします。

あなたのキャリアが苦しむかもしれません。しかし、この大きな勝利、この問題を完了すると、失われた機会のすべての年を補うでしょう。それは時々機能しますが、私は適切な不屈の精神を持たない人々にそれを本当に推奨しません。

私はどの1つの問題にも超投資されたことがありません。あなたが前もって問題を選ぶ必要がないことの1つのことが助けます。補助金提案をするとき、この問題のセットを研究すると言いますが、5年までに確実にこれらのすべてのものの証明を提供するとは約束しません。

素数と数学の原子

それでは少し後退し、素数について話しましょう。それらはしばしば数学の原子と呼ばれます。自然数が持つ構造について話すことができますか？

自然数には2つの基本演算が付属しています：加算と乗算。自然数を生成したい場合、2つのうちの1つを行うことができます。1から始めて、それ自体に1を何度も追加するだけで、自然数1、2、3、4、5を生成します。

または、乗法的に生成したい場合、すべての素数2、3、5、7を取り、それらをすべて一緒に乗算することができ、一緒にそれは1を除いて自然数のすべてを与えます。

自然数を考える2つの別々の方法があります：加法的観点から乗法的観点から。別々に、それらはそれほど悪くありません。加算のみに関する質問は比較的解決しやすく、乗算のみに関する質問は解決しやすいです。

しかし、2つを組み合わせると、突然この非常に豊富なものが得られます。数論には実際に決定不可能なステートメントがあることを知っています。ある数の変数でのpolomialがあり、自然数での解があるかどうか、答えは決定不可能なステートメントに依存します。

しかし、素数のような乗法的なものと2での移動のような加法的なものを組み合わせる最も単純な問題でさえ、別々に我々は両方をよく理解していますが、素数を2で移動したとき、別の素数をどのくらいの頻度で得ることができるかを尋ねると、2つを関連付けることは驚くほど困難でした。

双子素数予想

双子素数予想は、11と13のように、2だけ異なる素数のペアが無限に多く存在すると仮定します。興味深いことに、あなたはグリーン・タオ定理を証明して非常に成功しており、素数が任意の長さの等差数列を含むことを証明しました。これは心を吹き飛ばすものです。

我々が実現したのは、異なるパターンが異なるレベルの破壊不能性を持っているということです。双子素数問題を困難にするのは、世界のすべての素数3、5、7、11などを取る場合、11と13は双子素数のペアである双子があります。

しかし、もし望めば、双子を取り除くために素数を簡単に編集することができます。双子は現れ、無限に多くありますが、実際にはかなりまばらです。最初はかなりありますが、百万、兆に到達すると、ますます稀になり、実際にここそこで少数の素数を編集するだけで、素数のデータベースへのアクセスを与えられた場合、素数の0.1％またはそこらを除去するだけで、うまく選択されて、双子素数予想を偽にすることができます。

素数のすべての統計テストに合格する検閲された素数のデータベースを提示することができますが、もはや双子素数を含まない。これは双子素数予想の本当の障害です。それは、素数でのエクト双子素数を実際に見つける証明戦略が、これらのわずかに編集された素数に適用されると失敗しなければならないことを意味します。

等差数列の頑健性

一方で、等差数列ははるかに頑健であることが判明しました。素数を取り、実際に素数の99％を除去することができ、取りたい99％を取ることができ、それでも等差数列を得ることが判明しました。

等差数列は、任意の長さのゴキブリのようなものです。どんな固定長さに対しても、セットは任意の長さの等差数列を得ません。特に短い等差数列のみを得ますが、双子素数は無限のモンキー現象ではありません。

それは非常に微妙なモンキーです。もし素数が本当に真にランダムだった場合、素数がモンキーによって生成された場合、実際に無限のモンキー定理が適用されます。しかし、双子素数は、無限のモンキー定理のような同じツールを使用できないようです。

我々は素数がランダムなセットのように振る舞うと信じているが、素数がランダムなセットのように振る舞うと0％のエラーの可能性で自信を持って言えるかどうかのテストケースとして双子素数予想を気にかけています。

限界された結果の進展

私たちは少なくとも246以下の差を持つ無限に多くの素数のペアがあることを知っています。現在のバウンドです。双子素数、差4のいとこ素数、差6のセクシー素数があります。

セクシー素数？ 差6の素数です。名前はコンセプトほど刺激的ではありません。

1つの陰謀を作ることができますが、50のうちの1つを除くすべてを除外することはできません。50のすべてを一度に除外するには、この陰謀空間でエネルギーが多すぎます。

パリティ障壁

最終的には鳩の巣原理に基づいています。100匹の鳩があり、それらがすべて鳩の巣に行かなければならず、鳩よりも鳩の巣が少ない場合、1つの鳩の巣に少なくとも2匹の鳩がいなければなりません。つまり、近くにいる2匹の鳩がいなければなりません。

双子素数予想と、50％まで上昇する必要があるため、50％に到達すれば双子素数を得るでしょうが、残念ながら障壁があります。どんな種類のほぼ素数の良いセットを選んでも、素数の密度は50％を超えることはできないことがわかります。パリティ障壁と呼ばれます。

私の長期的な夢の1つは、その障壁を突破する方法を見つけることです。双子素数予想だけでなく、ゴールドバッハ予想や数論の多くの他の問題を開くからです。現在、我々の技術ではこの理論的パリティ障壁を越えて進歩する必要があるため、現在ブロックされています。

最も困難な問題

これらの中で、今日我々が持っている最も困難な問題は何ですか？ リーマン予想はそこにあります。P対NPは、それが問題を解決するメタ問題であるため、良いものです。それをポジティブな意味で解決すれば、P対NPアルゴリズムを見つけることができれば、潜在的に他の多くの問題も解決します。

リーマン予想が反証された場合、数論理論家には大きな精神的ショックになるでしょうが、暗号学にフォローオン効果があるでしょう。多くの暗号学は数論を使用し、素数を含む数論構成を使用し、素数に関する数論作戦がランダムに振る舞うものとそうでないものについて、何年もかけて構築された直感に非常に依存しています。

我々の暗号化方法は、情報を持つテキストをランダムノイズと区別できないテキストに変えるように設計されているため、少なくとも数学的に、ほぼクラックすることは不可能であると信じています。

しかし、リーマン予想のような我々の信念の核心にある何かが間違っている場合、それは我々が認識していない素数の実際のパターンがあることを意味し、1つがある場合、おそらくもっと多くがあるでしょう。

P対NPの可能性

P対NPには可能性がありますか？ 可能です。つまり、技術的に可能だが、実際には実装できないシナリオがあります。証拠は「いいえ」にやや押しています。確実に「はい」よりも「いいえ」により多くです。

P対NPについて面白いことは、他のほとんどの問題よりもはるかに多くの障害物もあることです。コンピューター科学者は、問題への多くのタイプのアプローチを除外する多くの結果を得ることに実際に非常に優れています。これは、コンピューター科学者が実際に非常に得意だった1つのことです。

決定不可能である可能性があります。わかりません。

フィールズ賞の謙虚な反応

私が読んだ面白い話があります。フィールズ賞を受賞したとき、インターネットから誰かがあなたに手紙を書き、この権威ある賞を受賞したので今何をするのかと尋ねました。すると、あなたは非常に謙虚に、光沢のある金属は現在取り組んでいる問題を解決するつもりはないので、引き続きそれらに取り組み続けるつもりだと言いました。

グレゴリー・ペレルマンがフィールズ賞とミレニアム賞を辞退したことについてどう思いますか？ 彼は「お金や名声には興味がない。証明が正しければ、他に認識は必要ない」と述べました。

彼は数学者の中でもいくらか異端です。数学者でさえ、やや理想主義的な見解を持つ傾向がありますが。彼に会ったことはありません。いつか会ってみたいと思いますが、機会がありませんでした。彼に会った人々を知っていますが、彼は常に特定のことについて強い見解を持っていました。

彼は完全に数学コミュニティから孤立していたわけではありません。講演をし、論文を書くなどしていました。しかし、ある時点で、コミュニティの残りと関わらないことを決めました。幻滅したか何かでした。

そして、サンクトペテルブルクでキノコを集めるか何かをして、それで結構です。

フィールズ賞の意味

私が最初にフィールズ賞について実現しなかったことの1つは、それがあなたを確立の一部にするということです。ほとんどの数学者は、キャリア数学者で、次の論文を出版し、ランクの昇進を得るなどに焦点を当てます。

しかし、突然、人々はあなたの物事に対する意見を求め、あなたが愚かに言うかもしれないことについてもう少し考える必要があります。誰も聞くつもりがないと思っていたので、より重要になります。

自由時間が以前よりもはるかに少ないです。主に選択によりますが、私は多くのものを辞退します。さらに辞退することもできますし、信頼できないという評判を得ることもできますので、人々は尋ねさえしなくなります。

しかし、さまざまな行政的なものを行い、時々このようなインタビューをします。同じ時間を一度に1つの問題で働くことや、だらだら過ごすことに費やすことはありません。それでも少しはしますが、キャリアが進むにつれて、何らかの形でソフトスキルが数学のフロントロードになります。

学部生または博士号として、主に非常に技術的な定理を証明することに集中するよう奨励されていますが、より上級になるにつれて、メンタリングやインタビューを行い、場の方向を形作ろうとし、時々さまざまな行政的なことを行う必要があります。

それは適切な社会契約です。最前線で何が数学者を助けることができるかを見るために、塹壕で働く必要があるからです。

美と発見の哲学

確立の本当にポジティブな側面の1つは、それが多くの若い数学者や数学に興味を持つ若い人々にとってのライトであるということです。人間の心がどのように機能するかですが、しかし、同時に、グレゴリー・ペレルマンのような誰かに敬意を表したいと思います。彼の心では、賞に批判的であり、これらは彼の原則であり、ほとんどの人間ができないことを行うことができるすべての人間、原則のためにそれを行うことは美しく見ることです。

何らかの認識は必然的に重要ですが、これらのことがあなたの人生を引き継がせないことも重要です。大きな数学問題のみを解決し、それほどセクシーでないものに取り組まないような人々を見かけます。しかし、実際にはまだ興味深く、指導的なものです。

人間の心がどのように機能するかの言った通り、少数の人間に結び付けられるとき、我々は物事をよりよく理解します。また、10人または20人の間の関係を把握することができますが、100人を超えると、限界があると思います。その名前があり、それを超えると、他者になります。

主題を人間化するために、少数の人々を特定し、これらがその主題の代表的な人々だと言う必要があります。ロールモデルなどです。しかし、あまりにも多くはこれが有害である可能性があります。これは、私の場合、私自身のキャリアパスが典型的な数学者のそれではないというのが最初に言うことです。

私は非常に加速された教育を持ち、多くのクラスをスキップしました。非常に幸運なメンタリング機会があったと思います。適切な場所で適切な時間にいたと思います。誰かが私の軌道を持たないからといって、良い数学者になれないわけではありません。

非常に異なるスタイルで良い数学者である可能性があり、我々は異なるスタイルの人々が必要です。時々、プロジェクトを完了するために最後のステップを行う人にあまりにも多くの焦点が当てられますが、それは本当に何世紀または何十年もかかり、多くの建物、多くの以前の作業があります。

最も偉大な数学者

これまでで最も偉大な数学者は誰ですか？ もう我々と一緒にいない人でしょうか？候補者は誰ですか？オイラー、ガウス、ニュートン、ラマヌジャン、ヒルベルト。

まず第一に、日によって時間に依存します。累積的に時間をプロットする場合、例えばユークリッドは主要な競争者の1つです。そして、おそらくその前の無名の匿名数学者、数の概念を思い付いた人々です。

今日の数学者は、ヒルベルトの影響を直接感じていますか？ ええ、20世紀に起こったすべてのことです。ヒルベルト空間があり、彼にちなんで名付けられた多くのものがあります。もちろん、数学の配置と特定の概念の導入だけでなく。

23の問題は非常に影響力がありました。解決するのが困難な問題を宣言するという奇妙な力があります。これは他の場所でもバイスタンダー効果で、誰もXをすべきだと言わない場合、誰もが他の誰かがそれをするのを待っているだけで、何も成し遂げられません。

学部生に数学で教えなければならないことの1つは、常に何かを試すべきだということです。学部生が数学問題を試すときに多くの麻痺を見ます。適用できると認識する特定の技術があれば、それを試しますが、明らかに適用する標準技術が見えない問題があります。

共通の反応は麻痺です。何をすべきかわかりません。または、シンプソンズからの引用があると思います。「何も試していないし、アイデアがすべて尽きた」のです。

次のステップは、どんなにばかげていても、何でも試すことです。実際、ばかげているほど良いです。失敗することがほぼ保証されている技術ですが、失敗する方法が指導的になります。この仮説を全く考慮に入れていないからそれは失敗し、ああ、この仮説は有用でなければならない、それは手がかりです。

困難を回避する心理的ハック

あなたはまた、どこかで構造化された先延ばしと呼ばれるこの魅力的なアプローチを提案しました。本当にしたくないことがある場合、それよりも悪いことをしたくないことを想像し、その方法で、より悪いことをしないことで先延ばしします。

それは良いハックです。実際に機能します。心理学は本当に重要です。マラソンランナーなどのアスリートと話すと、最も重要なことは何か、トレーニングレジメンまたは食事などですか、実際にその多くは実際には心理学です。

問題が実行可能であると考えるように自分をだまし、それを行うやる気になるようにすることです。

人間の理解の限界

私たちの人間の心が決して理解できないものはありますか？ 何か苦労するものから最初に頭に浮かんだのは、数学者として、理解できない苦労があることです。それは数学者として、あなたができない…しかし、もっと広く、心について何かありますか。私たちが限られているでしょうか、数学の助けを借りてさえですか？

どのくらいの拡張を喜んで受け入れるかによります。例えば、ペンと紙さえも持っていない場合、技術が全くない場合、すでに持っているものよりもはるかに制限されるでしょう。信じられないほど制限されるでしょう。

言語、英語さえも技術です。非常に内面化されたものです。問題の定式化が正しくないのは、もはや単独の人間ではないからです。我々はすでに非常に複雑で複雑な方法で拡張されています。

集合知

複数の人類は、個々の人間を合わせたものよりも原理的にはるかに多くの知性を持っています。良い日にはです。それは少なくても持つことができますが、数学的コミュニティの複数は信じられないほど超知的な実体で、単一の人間数学者が複製に近づくことができません。

Math Overflowなどの質問分析サイトで少し見ることができます。これはStack Overflowの数学版です。時々、コミュニティから非常に困難な質問に対して非常に迅速な応答を得ることができ、実際に観察するのは楽しいです。

専門家として、そのサイトの観客ファンです。異なる人々の輝き、人々が持つ知識の深さ、特定の質問の厳密さと微妙さに関与する意欲を見るだけです。見ているのは非常にクールです。ほぼ楽しいだけです。

人類の希望

私たちが持っているこの全体のもの、人間文明について希望を与えてくれるものは何ですか？

若い世代は常に本当に創造的で熱心で発明的です。若い学生と働くのは楽しいです。科学の進歩は、以前に本当に困難だった問題が非常に自明になる可能性があることを教えてくれます。

ナビゲーションのようなものは、惑星のどこにいるかを知ることは、この恐ろしい問題でした。人々が死んだり、航海できなかったために財産を失ったりしました。私たちのポケットの中にそれを自動的に行うデバイスがあります。私にとって完全に解決された問題です。

今私たちにとって実行不可能に見える物事は、おそらくただの宿題演習になる可能性があります。

人生の有限性について私が本当に悲しく感じることの1つは、文明として私たちが作成するすべてのクールなものを見ることができないことです。次の100年、200年で、200年後に現れることを想像してください。

感謝の言葉

すでに多くのことが起こっているのを知っています。十代の自分に戻って話すことができれば、インターネットと私たちのAI、2年前でさえ心を吹き飛ばしたものです。

瞬間に、インターネットなどでドラマを見るのは陽気です。人々は非常に迅速にすべてを当然のことと思い、作成されたものから人間は自分自身を楽しませるためにドラマを作ります。誰かが一つの意見を取る必要があり、別の人が反対の意見を取って互いに議論する必要があります。

しかし、物事の弧を見るとき、ロボット工学の進歩だけでも、一歩下がって「ワオ、これは私たち人間がこれを作成できることが美しい」と言うことです。

インフラストラクチャと文化が健康的であるとき、人間のコミュニティは個人よりもはるかに知的で成熟して合理的である可能性があります。

私がいつも合理性を頼ることができる一つの場所は、あなたのブログのコメントセクションです。それは大ファンです。そこに本当に賢い人がたくさんいて、もちろんブログでそれらのアイデアを出してくれてありがとうございます。

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ありがとうございます。楽しかったです。

このテレンス・タオとの会話を聞いてくれてありがとうございます。このポッドキャストをサポートするには、説明またはlexfriedman.com/sponsorsでスポンサーをチェックしてください。今、ガリレオ・ガリレイの言葉で締めくくらせてください。「数学は神が宇宙を書いた言語である」 聞いてくれてありがとう、次回お会いできることを願っています。