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私は物理学者たちが新しい統一理論を発見したという情報を受け取りました。それは重力と電磁気力を組み合わせ、電気力と磁気力が重力と同じように本質的に幾何学的性質を持つことを明らかにするものだとされています。
著者の一人によれば、これは「美学的に魅力的な電磁気の幾何学的定式化」だということです。素晴らしそうですね。では論文を見てみましょう。
電磁気は以前にも幾何学的理論で重力と組み合わされたことがあります。これはカルーザとクラインの研究です。しかしこれを実現するには、小さな円状に丸められた4番目の空間次元が必要となります。粒子がその4次元空間に移動すると、電荷を持つことになります。
カルーザ・クライン理論は電荷が作る電場と磁場についてはうまく機能します。しかし、帯電粒子そのものを導き出すことはできません。これが、万物の理論としてカルーザ・クライン理論が放棄された主な理由だと思います。この新しい論文の著者たちはこれを変えたいと考えているようです。
もちろん、通常の一般相対性理論をそのまま使って電場を見つけることはできません。何か新しいことをする必要があります。彼らは一般相対性理論の変形であるワイル重力を採用しています。実は私もかつてこれについて論文を書いたことがありますが、それは別の話です。このことを言うのは、私が今話していることについて詳しくないかもしれませんが、かつては知っていたということを示すためです。
ワイル重力では追加のベクトル場が導入されます。自由度を数えるだけで、これでは電磁場と帯電粒子の両方を導入することができないとわかるので、これがどのように機能するのか見当がつきません。しかし、心を開いてみましょう。
彼らは3+1次元の計量（空間と時間の性質を記述するもの）に電磁ポテンシャルを追加することから始めています。これはすべての粒子が電磁場の影響を受けることを意味し、電荷を持たない粒子も影響を受けることになります。これは私には理解できませんが、心を開いておきましょう。
次に彼らは「一般化されたマクスウェル方程式」と呼ぶものを導き出しています。マクスウェル方程式は電磁ポテンシャル（ここではAと表記）に関して線形ですが、彼らの方程式はAに関して二次式です。これは一般化された方程式ではなく、単に別の方程式です。
これは標準方程式を与える極限さえ持たないということで、少なくとも私にはそれがわかりません。しかし、心を開いておきましょう。
ここまでは良さそうですが…これは何でしょう？ここのインデックスに何か変なところがあります。このインデックスは、空間と時間のすべての次元にわたって走ります。同じインデックスが上付きと下付きにある場合、それを合計することを意味します。つまりダミーインデックスになります。同じダミーインデックスを2つの異なる和に使うべきではありません。そうすると何について合計するのかわからなくなります。
これは数学的表記法としてはよくありません。しかし、組版ではもっとひどいものも見たことがあるので、先に進みましょう。
彼らは電荷密度を電磁ポテンシャルと4元速度の積として識別しています。これは私には意味がありません。なぜなら、例えば電磁場中の電子があって、場の強さを増やすと電子の電荷が増加することを意味するからです。実際にはそうはなりません。また、これはゲージ不変でもありません。つまり、通常はポテンシャルの絶対値は物理的に関連していないはずですが、ここでは関連しています。
また、この定義では、彼らが下に定義する電流が速度の二乗になり、これも実際にはそうではありません…正直なところ、少し混乱してきました。
おっと、これは何でしょう？ここでまた、これらのインデックスに奇妙なことが起きています。収縮していないインデックスを収縮したものと同等にすることはできません。たまたま結果は正しいので、実際には問題ありませんが。
おっと、彼らはまたそれをやっています。そしてまた。これはひどい。これは単に数学的に間違っています。これらの人々はテンソルのインデックスがどのように機能するのか知らないようです。しかし、彼らがどのようにマクスウェル方程式を得るのか見てみましょう。彼らは合計したベクトルで割っています。なんということでしょう。
この表記法を解読するのは難しいかもしれませんが、彼らがやったことの簡単な例を挙げましょう。33 + 44 – 55 = 0 という方程式があるとします。
これを成分が(3,4,0,i5)のベクトルの二乗として書くことができます。このベクトルをV_\muとしましょう。そうすると和の規則を使って、この方程式をV_nu V^nu = 0と書くことができます。インデックスが上と下にあるとき、それを合計します。
これは非線形方程式です。彼らは線形方程式を得るために何をするのでしょうか？二乗だからベクトルで割るのです。本質的にVはゼロベクトルと等しくなります。これによって可能な解のほとんどすべてを捨てることになります。
他には何があるでしょうか？彼らは電荷がすべて光速で移動すると導き出しています。実際にはそうではありません。彼ら自身が私が彼らの間違いを証明する労力を省いてくれました。
著者たちに厳しすぎないようにしたいです。ダミーインデックスの表記法を間違えたり、ベクトルで割ったりするのは、ほとんどの学生がある時点で犯す間違いです。私も確かにそうでした。しかし通常、このような事態が出版されることはありません。学生なら、いくつかの数学ソフトウェアで方程式をチェックすることでこれらの間違いを避けることができます。
要約すると、この論文は基本的な数学の間違いに満ちており、物理的にも全く意味をなしません。出版されるべきではなく、撤回されるべきです。申し訳ありませんが、統一理論に近づいたわけではありません。
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