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最初に状況を整理しておきましょう。私たちの知的歴史や文明としての進歩の多くは、物事の形式化の増加の結果だと思います。人類の最大の発見の一つである人間の言語は、その形式化への道の最初のステップと言えるでしょう。おそらく私たちの祖先は、言葉を持たず、個々の犬やその他の生き物を指さすだけで、それを指し示すことしかできなかった時代があったと思われます。そして「犬」や「岩」などの抽象的な概念を言葉で表すというアイデアが生まれました。この抽象的な記述という考え方が、人間の言語の基礎となる考え方であり、人間の言語の構成性の基盤となっています。人間の言語は、抽象的なアイデアを互いに、そして次の世代へと伝えることを可能にしたもので、私たちの種にとって基本的な特徴です。
形式化の他の形態を見てみると、古代からの論理学があります。これは意味のある議論がどのように組み立てられるか、意味のある議論の形式的構造は何かということを示すものです。そして数学も形式化の一つで、これは最初は組織化された社会の状況で生まれましたが、1600年代までに人々は「おや、これを自然界の記述にも使えるじゃないか」と気づきました。そして数学や数学的方程式などによる世界の形式化の新たなレベルを手に入れたのです。
その進歩の重要な特徴は、約500年前に起こった数学的記法の発明でした。言葉だけで数学について語るのではなく、プラス記号や等号などを持ち、数学について考え、示し、語るための合理化された方法を持つようになったのです。この発明は代数学、微積分学、そして現在の様々な数学科学へとつながりました。
そして20世紀に入り、私が思うに20世紀の偉大な発見は計算の概念です。これには前身となるものもありましたが、実際には20世紀の後半に「計算」というもう一つの形式化のアイデアが一つにまとまりました。数学では、数字などの私たちが作り出す構成要素による形式化がありますが、計算では何らかの明確なルールを定義できれば、そのルールの実行に関するものです。そのルールはかなり任意のものでもよく、計算とはそれらのルールを体系的に実行することについてのものです。
コンピュータがそれを行うことを考えることもできますし、1980年代初めに私が気づいたように、自然がそのように機能していると考えることもできます。1600年代以前は、自然がどのように機能するかを形式的に議論する良い方法はなく、自然界がどのように機能するかを説明するのは、どちらかというと哲学や議論の問題でした。1600年代後半になって、数学で物事を形式化するという考え方、つまり自然の働きを再現し、表現するような数学的記述を持つことができるという考え方が生まれました。
この考え方は科学における多くの進歩へとつながりましたが、複雑性を持つ現象に直面すると行き詰まりました。そのような現象に対する方程式や、少なくとも有用な方程式による説明がなかったのです。そこで私の1980年代初頭の取り組みは「これをどう一般化できるだろうか」というものでした。任意のルールとその実行という観点から考えることで大きな一般化ができるという気づきがあり、これを計算パラダイムと考えることができます。
その当時私にとって大きな疑問は「もし自然界を計算やプログラムの観点から記述するとしたら、それらのプログラムはどのようなものになるだろうか」というものでした。私たちは特定の目的のために作成されたプログラムに慣れており、それらは通常構造が複雑で、私たちが望むことを行うように慎重に設計されています。しかし基本的な科学的疑問は「ランダムにプログラムを選ぶか、最も単純なものを列挙した場合、それらは一般的に何をするのか」というものでした。これは1980年代初頭に私が調査し始めた問題です。
おそらく多くの方がこの話をご存知でしょうが、知らない方のために繰り返しましょう。私はプログラム、特に可能な限り最も単純な種類のプログラムに興味を持ちました。例えばこれはセルオートマトンで、セルが一列に並び、各セルは黒か白かのどちらかです。そしてルールがあり、各セルを隣接する2つのセルの色に基づいて更新します。
このルールを取り、しばらく実行してみましょう。黒いセル1つから始めて40ステップ実行すると、このような結果になります。そこで「非常に単純なルールがあり、それに対応して単純な振る舞いを生み出す」と言えます。
ある日、私は明らかな実験をすることにしました。それは1981年頃だったと思いますが、この一般的な種類のすべての可能なルールを調べて、それらが実際に何をするのかを確認するというものでした。ここがその実験です。当時はこれを行うのは少し難しかったのですが。
各画像は異なるルールによって生成されています。各ルールは、言わば異なる種類の最小限の人工物理学のようなものです。時には白が黒に変わり、このような縞模様が得られます。時にはこのような入れ子状のパターンが得られます。
最初のいくつかを見ると「ルールは十分単純なので、振る舞いもそれに対応して単純なはずだ」という議論をするかもしれません。しかし私の最も好きな科学的発見であるルール30に到達すると、そうではないようです。このルール30を見て、数ステップ実行してみましょう。最初は上部に1つの黒いセルから始まったにもかかわらず、かなり複雑なことをしているようです。さらに長く実行してみましょう。
これは私にとって非常に直感を破る発見でした。この画像を最初に生成してから実際に何が起きているのかの重要性を理解するまで数年かかりましたが、本質的に起きていることは、基礎となるルールは単純でも、実際の振る舞いはそうではないということです。いくつかの規則性は見えますが、この振る舞いは非常に複雑に見えます。
例えば、中央の列のセルを見ると、効果的にランダムに見えます。Wolfram言語で長年乱数列生成器として使用されるほどランダムでした。しかし大きな驚きは、任意のプログラムの計算宇宙において、非常に単純なプログラムから大きな複雑性を持つ振る舞いへと移行することが極めて容易だということです。これは工学からは慣れていないことです。工学では、システムを明示的に設定し、それが何をするかを予見できることに慣れており、複雑なことをさせたい場合は複雑な方法で構築する必要があると期待しています。
しかし任意のプログラムの計算宇宙では、非常に単純なプログラムが非常に複雑な振る舞いを生成することがかなり普遍的です。私は1980年代にこれに非常に興奮しました。なぜなら、これが自然が複雑なものを作る際に使用している秘密のようなものだと思ったからです。自然は単純なプログラムを選び、その出力を生成しているのです。そして何が起こるかを予見する必要がなければ、典型的な振る舞いは非常に複雑なことが起こり得るということがわかります。
ルール30などを見ることで実現された非常に重要な現象があります。私はそれを「計算的還元不可能性」と呼んでいます。計算的還元不可能性は数週間前に40歳の誕生日を迎えたばかりです。計算的還元不可能性とは何でしょうか？システムで何が起こるかを予測できるかという問題があります。
最初の画像を見ると、すべてのセルが黒だったり、縞模様があるようなものがあります。そのような場合、10億ステップ後に何が起こるか聞かれても、ステップ数が偶数か奇数かなどの条件だけで非常に簡単に答えることができます。つまり、このシステムは10億ステップ後に何が起こるかを計算するために多くの計算を行ったにもかかわらず、より賢く先に進んで「ああ、私には公式があり、10億ステップ後に何が起こるかの答えを知っている」と言えるのです。
問題は、それが常に機能するかどうかです。10億ステップ後にルール30が何をするかを知りたければ、明らかに10億ステップ実行することでそれを見つけることができますが、先に飛んで答えの公式を手に入れることができるでしょうか？ルール30自体が必要とする計算労力よりもはるかに少ない計算労力で答えにたどり着くことができるでしょうか？答えはノーだと思います。それが計算的還元不可能性の現象です。
なぜ答えがノーかを理解しましょう。これは「計算的同値性の原理」と呼ぶものに関連しています。本当の問題は、ルール30セルオートマトン、チューリングマシン、その他さまざまな種類のシステムなど、これらすべての異なる種類のシステムを見るとき、それらの進化のプロセスを計算の実行のように考えることができます。そして「それらの異なるシステムが行う計算は、お互いにどう比較されるのか」と問うことができます。単純なルールを持つシステムは、より複雑なルールを持つシステムよりも根本的に単純な計算を行うのでしょうか？
大きな驚きは、計算の洗練度には一種の閾値があり、非常に低い閾値を超えると、システムは一般的に行える計算において同等になるということです。この最初の兆候は1930年代のゲーデルの定理や普遍的計算の発見と共に現れました。固定されたハードウェアがあり、適切なソフトウェアを初期条件として与えるだけで、そのシステムにどんな望む方法で振る舞わせることもできるという考えです。
しかし計算的同値性の原理はそれよりもう少し多くのことを言っています。その示唆の一つは、計算宇宙のこれらの非常に単純なシステムも、典型的には行える計算の洗練度において同等であるということです。例えば、一つの例を示しましょう。
これはルール110で、ルール30と同様のルールですが、詳細が少し異なります。ランダムな初期条件から始めると、何が起きているかがわかりやすいです。1600ステップほど実行してみましょう。このシステムがたくさんの小さな構造を作り出していることがわかります。これらの粒子のような小さな構造の間の相互作用が論理演算を実装しているようなものだと想像できます。実際、これが機能することを証明でき、普遍的コンピュータとして使用できます。これが計算的同値性の原理における役割を確立する方法の一部です。
それでは、このことが計算的還元不可能性とどのように関連しているのでしょうか？ルール30が何をするかを予測しようとしていて、ルール30よりも速く結果を得ようとしているとします。そのためには、ルール30が行うことよりも計算的に洗練されたシステムが必要です。しかし計算的同値性の原理は、ルール30はコンピュータや脳や数学など、他のすべてのものと同じくらい計算的に洗練されていると言っています。
つまり、その振る舞いを先取りすることはできません。他の何かがルール30自体よりも効率的に先に進んで何が起こるかを見ることができるとは期待できません。ルール30は計算的に還元不可能なのです。つまり、それを実行して何が起こるかを見る以上に効率的にそれが何をするかを見るための計算的還元はありません。
これは数学的科学の伝統から考えると少しショッキングなことです。数学的科学の大きな期待の一つは、物事を予測できるということです。それは厳密な科学の大きな成果の一つで、「システムで何が起こるかを予測できる」と言えることです。理想化された太陽を周回する理想化された地球の二体問題を理解でき、地球が100万年後にどこにあるかを知るために100万の軌道をたどる必要はありません。少なくとも理想的なケースでは、何が起こるかを示す公式があります。システムの振る舞いを計算的に還元して何が起きているかを見ることができるのです。それが数学的科学の伝統から得られる期待です。
しかし計算的還元不可能性が示唆するのは、それが可能なプログラムの計算宇宙では一般的に真実ではないということです。実際、正反対のことが真実です。多くのシステムは、それらが何をするかを発見する唯一の方法は、明示的にシミュレーションし、それらがするのと同じように各ステップをたどることだという特徴を持っています。
ところで、かなり重要なことの一つは、どんな計算的に還元不可能なシステムの中にも、常に無限の数の計算的還元可能性のポケットがあるということです。例えば、ルール30では左側に一定の周期的な規則性が見られます。他にも白い三角形などの詳細があります。計算的還元不可能性の中には、計算的還元可能性のポケットがあります。これは、私たちが認識する宇宙に規則性がある理由について後で話す際に重要になります。また、経済的価値のようなものについても同様です。それは本当に計算的還元可能性のポケットについてのものです。
計算的還元不可能性は、物事について正確な予測をする科学の力に制限を与えるので悪いことのように思えるかもしれませんが、他にも多くの結果があり、その中には良い結果もあります。例えば、時間の経過を計算の進行としてとらえることができます。その計算の進行が還元不可能であるということは、時間の経過によって何かが達成されるということを意味します。
「人生を生きる必要はない、答えは42だとわかっているから最後まで飛ばそう」という視点を持つこともできますが、計算的還元不可能性は時間の経過によって何か難しい還元不可能なことが達成されるということを示唆しています。また、これは私たちが決定論的な基礎となる法則から、それらの決定論的な法則から自由に見える振る舞いに移行できる理由にも関連しています。何も他のものが来て「ああ、あなたが何をするか知っている、あなたがしていることに自由なものは何もない」と言えないので、私たちは自由意志を持っていると想像できるのです。
これが計算宇宙に存在するものの物語であり、計算的同値性の原理と計算的還元不可能性の現象です。ちなみに、計算的還元可能性は決定不能性のような問題と密接に関連しています。例えば、ルール110を見てみると、片側だけで成長し、小さな四角を作ります。ルール110の最終的な振る舞いは何か、このストリーマーは大きくなるのか小さくなるのか、どうなるのかと問うことができます。
2000ステップ実行しても解決せず、解決するまでどれくらいかかるのかと問い続けることができます。ここに計算的還元可能性があれば、先に進んで「これが答えになる」と即座に言うことができるでしょう。しかし計算的還元不可能性があるため、実行して何が起こるかを見るしかありません。数千ステップほど経過すると、最終的に何が起きているかがわかり、ここの小さなものは消滅します。
しかし「最終的に何をするのか」という質問は、計算的還元不可能性が決定不能性に変わる場所です。なぜなら、何が起こるかを知ることは還元不可能ですが、無限の時間後に何が起こるかを知りたい場合、それを知るには無限の努力が必要になるからです。
さて、「計算」というこの概念、計算的同値性の原理があり、それは基本的にすべての異なるプログラムやルールが、あるしきい値を超えると行える計算の洗練度において最終的に同等であると教えてくれます。計算的同値性の原理についてはさまざまな証拠があります。
2000年代半ばに私は、このチューリングマシンが普遍的でありうる最も単純なチューリングマシンであると推測しました。実際、すぐに誰かがこの賞を獲得し、このマシンが実際に普遍的であることを証明しました。これは普遍的であり得る最初のマシンであり、実際そうでした。これは計算的同値性の原理の証拠の一部です。
では、この非常に強力な計算という考え方のインフラをどのように活用するのでしょうか？それは自然界があり、何らかの方法で技術的に利用できるものを自然界から採掘する必要があるようなものです。鉄を発見して鋼鉄を作り、磁気を持つものを発見してそれらを使う方法を考えなければなりません。それは計算宇宙に存在するものを見て、その一部を人間の目的のために利用してきたようなものです。それらの計算能力を取り込み、人間の思考や技術の一部としてきました。
計算宇宙にはすべての可能な計算があり、私たち人間が現在考えているものがあります。そして計算宇宙にある力をどのように活用できるかという問題があります。私の人生の大部分が、計算的に可能なものと人間が考える方法の間の橋を築こうとする試みでした。その橋がWolfram言語になりました。Wolfram言語は、私たち人間が気にするこの世界の部分を計算的に表現する方法を見つけようとする物語です。
これは世界のものを計算的な用語で表現するという長い物語です。それが画像であれネットワークであれ、化学物質であれ映画であれ、都市であれ何であれ、それらを計算的な用語で表現するのです。私の目標は、数学的記法が数学的パラダイムの物語で果たした役割と同様の役割を計算パラダイムの物語の中で果たす計算の記法を持つことでした。つまり、計算的に物事について話す方法、世界について計算的に話す方法を合理化する方法を持つことです。
これはうまく機能していると思います。私たちが試みているのは、考古学から動物学まで、あらゆる分野Xの「計算的X」をサポートできる言語を提供することです。それは数学的記法と数学が数学科学をサポートしてきたようなものです。これは興奮する冒険であり、Mathematica、現在のWolfram言語を最初にリリースしてから3年半の間に多くのことが起こっています。
これは記号的表現の変換を行うことに関する計算のモデルであり、それらの記号的表現は画像や都市など、あらゆるものを表すことができます。これは人間が考えることと計算宇宙で可能なことの間の橋を築く方法であり、私が話した形式化の塔を計算領域に拡張する方法です。人間の言語から始まり、論理学や数学などに進んだ形式化の塔を計算領域に拡張するのです。次の世紀以上にわたり、あらゆるXに対する「計算的X」の物語が知的歴史の道筋の支配的な特徴になると思います。
しかし質問の一つとして「この計算パラダイムがあり、私たちが考える種類を表す部分を取り出したが、生の計算宇宙にはまだ人間の解釈や関連付けがないような複雑なことが起こっているのが見える。物理的宇宙はどのように機能しているのか？物理的宇宙で起きていることはこの計算パラダイムで記述できるのか？」ということがあります。
1990年代に始め、2019年後半に急速にまとまった大きな驚きは、物理的宇宙には計算的基盤、基礎となる計算的マシンコードがあるという実感でした。これがどのように機能するかについて、徐々に多くを見るようになっていますが、少し示唆を与え、これらのアイデアの影響についてより広い文脈で話をしましょう。
問題は本当に「宇宙は何でできているのか」から始まります。人々はこれについて古代から議論してきました。宇宙は離散的な原子でできているのか、連続的な流れなのか、人々はわかりませんでした。19世紀末までに、少なくとも物質は原子、分子などの離散的なものでできていることが明らかになりました。そして20世紀初頭には光も同じように考えることができるようになりました。
その時、人々は空間も離散的だろうと仮定しましたが、誰もそれをうまく機能させることができず、それは脇に置かれました。現代の数学的物理学の発展において、空間は連続的なもの、空間内のどこでも点を定義できるものであると仮定されました。
私はそれが正しいとは思いません。実際、私たちのモデルでは最初の質問は「空間とは何か」ですが、実際その答えは「宇宙のすべてのものとは何か」という質問の答えでもあります。なぜなら、私たちのモデルではすべてが単なる空間の特徴だからです。
空間とは何か？私たちは空間を離散的な点の集まりと考えます。それらを「空間の原子」と呼ぶことができます。これらは陽子や電子などの意味での原子ではなく、不可分であるという意味での原子です。空間はこれらの空間の原子すべてで構成されており、これらの空間の原子について言えることは、それらがお互いにどのように関連しているかということだけです。
任意の空間の原子は、他の任意の空間の原子のセットと「友達」になることができ、その友達のネットワークは空間の原子間の関係を記述するグラフ、あるいはより便利で一般的にはハイパーグラフとして考えることができます。宇宙に存在するものの全体の物語は、空間の原子間の関係を表す巨大なハイパーグラフなのです。
そして次の問いは「時間とは何か、宇宙の進行とは何か」です。これはセルオートマトンと似ていて、ネットワークの一部がこのように見えたらこのように変換するというルールがあり、そのルールを何度も繰り返し適用するだけです。そうすると様々な種類の振る舞いが得られます。
例えば、このルールがあり、それを開始して数ステップ実行すると、その種の振る舞いが得られ、最終的にはこの非常に複雑なハイパーグラフが得られます。時にはこのルールのように、実行し続けるとそれ自体が2次元の多様体に制限されるように見えるものを編み出します。
重要なのは、これらの異なる種類のルールはすべて最終的には何らかの極限を持ち、私たちが「インフラ幾何学」と呼ぶもの、つまりこれらのハイパーグラフ書き換えプロセスの極限幾何学がどのようなものかを研究しようとしています。カルロスがこれに深く関わっています。ただし、すぐに認識できる場合も多く、それが伝統的な曲がった空間のようなものであることがわかることもあります。
このハイパーグラフの書き換えによって得られるものをどう説明すればいいでしょうか？例えば、それが対応する空間の次元がいくつあるかはわかりません。なぜなら私たちが持っているのは空間の原子とそれらの関係だけだからです。しかし、次元を経験的に定義することができます。例えば、このハイパーグラフの1点から始めて、距離1、2、3、距離rだけ離れていくとします。そして、このハイパーグラフのこの点の球の体積を尋ねます。
その球の体積がある指数dに対してr^dのように成長する場合、そのdを対応する空間の実効次元として識別できます。これらのことを調査し、ハイパーグラフがあるとき、その大規模な極限をどのように記述できるかという質問をすることができます。
これは水のような流体のような物質に離散的な分子があることがわかっているとき、それらの分子がどのように描写されるかという問題と少し類似しています。それらの分子は跳ね回り、互いにぶつかり、分子の数を保存し、運動量を保存したりしますが、その総合的な効果、それらの微視的な衝突などの連続体極限は何かと自問します。
その場合、極限は流体力学の連続体方程式、ナビエ・ストークス方程式であることがわかっています。ただし、それを数学的に証明することは、100年以上経った今でも適切に埋められていません。
さて、問題は「すべてのハイパーグラフ書き換えの極限、連続体極限は何か」という問いです。様々な脚注などがありますが、基本的にその答えはアインシュタイン方程式、時空の構造に関する標準的な方程式です。つまり、これらの基礎となる微視的なルール適用のすべての集合的な極限は、時空の構造において私たちが馴染みのあるものに対応するということです。
様々な特徴を調査できますし、その方法論を使ってアインシュタイン方程式の離散近似を作ることもできます。そこにブラックホールのようなものを見つけ、ブラックホールの合体のようなものを研究することもできます。その結果は実験と、通常のアインシュタイン方程式を取って離散化してコンピュータに載せた結果の両方とよく一致しているようです。
私たちがこれから学んでいることは、十分深く掘り下げていくと、空間の構造は離散的なものであり、このハイパーグラフであるということです。興味深いことに、空間と時間は非常に異なる種類のものです。相対性理論のようなものがあるのは、私たちのような観測者にとって本当に重要なのは因果グラフだからです。因果グラフは各イベント、各更新イベントが他の更新イベントとどのように接続されているかを示します。
実際、各更新イベントはWolfram言語やコンピュータの関数の適用のようなものです。その関数にとって重要なのは入力が何かということであり、重要なのはこれらの異なる関数適用間の因果関係です。ある関数が特定の出力を生成し、それらの出力が別の関数の入力として使用されるという関係が、これらの関数適用や関数適用に対応するイベント間の因果グラフを定義します。
その因果グラフが宇宙の私たちの経験の本当の物語であり、その因果グラフの特性が空間と時間の間の相対論的対応につながっています。たとえ基盤では空間がこのハイパーグラフの構造で、時間がこれらの計算ルールによるハイパーグラフの進行的な更新であったとしてもです。
例えばエネルギーは、これらのモデルにおいて私が予想していたよりもはるかに単純な解釈を持っています。それは本質的にネットワーク内のアクティビティの密度、より形式的には時空的超曲面を通る因果エッジのフラックスを測定しています。そして重力のようなものを理解することができます。それはハイパーグラフ内の最短経路がハイパーグラフ内のアクティビティの存在によって影響を受けるという事実に基づいています。それが空間時間曲率のエネルギー運動量の存在への依存関係の数学につながる直観的な説明です。
その話を続けると、ハイパーグラフの書き換えの特徴の一つは、「このように見えるハイパーグラフの一部を見つけたらこのように書き換える」というルールがあるということです。しかし、そのルールは多くの異なる場所で適用できます。ハイパーグラフには多くの異なる可能な歴史があり、それらは書き換えルールが適用できる異なる順序や場所に対応します。
「マルチウェイグラフ」と呼ばれるものを構築して、これらの異なる可能な歴史の経路のすべてを表現することができます。マルチウェイグラフは分岐することがあります（単一の状態が2つの後続を持つ場合）、または合流することもあります（2つの状態が同じ後続を持つ場合）。マルチウェイグラフは、実際には1990年代初頭から私が調査し始めたものですが、最近ではそれについてもっと興奮しています。マルチウェイグラフはあらゆる場所に現れます。
これは非常に単純な例です。これは簡略化されたバージョンの三目並べで、空のボードから始まり、さまざまな方法で手を埋めていくことができます。これはマルチウェイグラフであり、時には分岐し、時には合流しているのが分かります。これは簡略化された三目並べの完全なゲームグラフです。
これはチューリングマシンの例です。単一のルールを持つ決定論的チューリングマシンがある場合、明確な進化が得られます。複数の可能なルールが適用できる非決定論的チューリングマシンがあると、進化のマルチウェイグラフが得られます。このようにして進み、可能な進化の全体のマルチウェイグラフを構築できます。非決定論的計算は、このグラフの特定の経路を見つけることに対応します。
マルチウェイグラフが現れる場所は多くありますが、物理学の目的のために興奮することは、それらが量子力学に対応するということです。物理学における伝統的なものは、物事には明確な運動方程式があるということです。ボールを投げれば明確な軌道を描きます。量子力学の大きなアイデアは、そうではなく、多くの可能性があり、異なる事柄が起こる確率のようなもの以外は言うことができないということです。
私たちのモデルでは、それは非常に直接的なものです。歴史の多くの可能な経路があり、私たちはそれらの可能な経路の異なる部分をサンプリングしているということです。これについて一つ言えることは、すべてのこれらの異なる歴史の部分を得ると、特定の時間でスライスを取って、これらの異なる結果すべてを見ていると言えます。そして、それらの異なる可能な結果の系統関係、共通の祖先を示すグラフを描くことができます。
そのグラフの極限を「枝空間」、枝の空間、量子枝の空間と呼びます。この枝空間は可能な歴史の空間であり、物理的空間と同じではなく、マルチウェイグラフの構造を見ることから来る別の種類の空間です。
物理空間においてアインシュタイン方程式は、エネルギー運動量が経路にどのように影響するかなどを表しますが、枝空間においてはこれに相当するものは何でしょうか？マルチウェイグラフ内のアクティビティが枝グラフ内のジオデシックにどのように影響するかということですが、非常に注目すべきことに、物理空間におけるアインシュタイン方程式の物語は、枝空間におけるファインマン経路積分の物語であることが判明しました。
つまり結論としては、アインシュタイン方程式につながるものと全く同じものが、枝空間に翻訳されると量子力学、量子力学の方程式を与えるということです。この点については解明すべきことがまだ多くあり、何が起きているのかの基礎となる数学的構造を理解するためには、新しい種類の数学が必要です。しかし、何が起きているのかについての多くの良い兆候、実験的に観察可能な世界の特徴と潜在的につながりを持つことができる多くの良いものがあります。
枝空間について一つ言えることは、量子コンピュータについて考えるとき、人々が量子コンピュータであると想像するのは、これらの多くの歴史の経路に従うものです。例えば、整数を因数分解するような計算を行う場合、多くの可能な試行除算を並行して行いたいとします。それらを異なる量子スレッドで行うことができ、それが量子コンピュータの潜在的な力です。これらの歴史の多くの異なるスレッドが動作しているということです。
問題は（実際、1980年代初頭に量子コンピュータについて最初に考え始めた時から問題だと思っていました）、これらの異なる歴史のスレッドをすべて持っていますが、それらをどのようにして一緒にまとめて、私たち人間が望む明確な答えを得るのでしょうか？これらの異なる歴史の経路をどのように結び付けるのでしょうか？
実質的に私たちが行っていることは、これらのすべての異なる歴史の経路があり、それらを編み合わせて明確な答えを出す必要があるということです。
これは別の大きな物語につながります。それは観測者と基盤で起きていることとの相互作用の物語です。統計力学から始めましょう。そこで興味深いことの一つは、なぜ熱力学第二法則が真実なのかということです。非常に整然とした配置の粒子の集まりから始めて、それらがしばらく跳ね回り、すぐに非常にランダムに見えるということです。
「システムについて私たちが知っていることと矛盾しないシステムの構成はいくつあるか」と問うと、この場合「箱の中にたくさんの粒子がある」ということしか知らないとすれば、それと矛盾しない構成の数は増加します。そこでシステムのエントロピーが増加すると言います。
これは箱の中で跳ね回る粒子の三次元版と同じ絵です。物事を理想化し、離散的な粒子や離散的な出来事に移行し、一次元のケースに到達することができます。そうするとすぐに、何らかの非常に規則的な初期条件から始まり、すぐにそれがこのランダムなものに砕かれるようなものになります。
これは可逆的なシステムなので、ここのどの特定の構成からでも、それを一意に逆転させて最初に戻ることができます。しかし私たち人間は「しばらくするとランダムに見える」と言うだけです。それが熱力学第二法則の主張であり、ものはよりランダムになる傾向があり、系統的な機械的仕事はランダムな熱に劣化する傾向があるなどということです。
なぜそう思うのかという疑問があります。結局のところ、このような場合や分子が跳ね回る場合でも、原理的にはここの状態を取り、それを逆転させて最初に戻ることができます。しかし、これは計算的還元不可能性の物語です。
問題は、このシステムの観測者として、私たちは計算的に限られています。有限の心を持っています。質問は、システム自体が単純な初期状態から私たちが見るものへと進化するためにたどった還元不可能な計算を、逆転できるかどうかということです。答えは、私たちが有限で計算的に限られた観測者である場合、その逆転はできないということです。
結局、熱力学第二法則の物語は、計算的に限られた観測者と計算的に還元不可能な基礎となる動力学との間の相互作用の物語になります。観測者としての私たちの計算的な限界と、この基礎となる計算的還元不可能性の間にこのギャップがあるという事実が、私たちに「ランダムに見える、エントロピーが大きくなっているように見える」と言わせるのです。それが熱力学第二法則の最終的な起源として理解できるものです。
基礎となるシステムの計算的還元不可能性と観測者としての私たちの限界との間のこの相互作用の現象は、他の多くの分野でも重要であることが判明しています。例えば、時空を見るとき、私たちが時空は連続的なものであると信じているという事実も、私たちがこれらの微視的な還元不可能なプロセスをすべて追跡していないという事実の結果です。私たちは見ることができる集合的なものだけを見ており、それは空間の単純な連続体構造に対応する還元可能性のポケットに対応するものだけに気づきます。
実際、量子力学においても同じことです。跳ね回る分子や空間の構造を表すハイパーグラフのような物事の計算的に限られた観測者であるのと同様に、私たちは枝空間において計算的に限られた観測者であると思います。物理空間において、私たちは宇宙全体と比較して大きくも小さくもない物理的空間の特定の領域を占め、それを集約して物理的空間の経験を持つように、枝空間においても同じことが当てはまります。
量子力学の物語と量子力学の確率的特性は、観測者としての私たちが枝空間の特定の領域にただ存在しているという事実の結果です。私たちがこの特定の惑星、この特定の銀河に存在する理由についての理論を持つことができないのと同様に、私たちが枝空間のどの領域に存在するのかを決定することもできません。しかし重要なのは、私たちが物理的空間で近くにいるのと同様に、枝空間でも皆が近くにいるということです。だから量子力学のプロセスで同じことが起こると皆が結論づけるのです。なぜなら、私たちは枝空間で互いに近くにいるからです。
さらにこのウサギの穴を掘り下げましょう。「何か単純なルールがあり、そのルールを実行してこのハイパーグラフを生成する。ハイパーグラフは空間と空間内のすべてのもの、宇宙の全歴史を表している。しかし、なぜ私たちは特定のルール、例えばルール番号713などの宇宙を得たのか」という問いがあります。
私たちが実現することは、実際にはそのようなことは必要ないということです。なぜなら、特定のルールを取り、それをあらゆる可能な方法で実行する代わりに、すべての可能なルールをあらゆる可能な方法で実行したらどうなるかということです。私たちは非常に奇妙なオブジェクトを得ます。実質的に、すべての可能な計算プロセスの絡み合った極限です。
前にチューリングマシンについて話していましたが、すべての可能なチューリングマシンの振る舞いを見て、チューリングマシンで起こり得るすべての可能なことを表すこのようなグラフを構築することができます。それを構築し続けると、より複雑なものになります。そのものの極限は、すべての可能な計算の絡み合った極限です。すべての可能なチューリングマシンのルールが、すべての可能な初期条件から始まり、あらゆる可能な方法で絡み合ったようなものです。私たちはその極限オブジェクトを「ルーアド（ruad）」と呼びます。
ルーアドはユニークなオブジェクトであり、すべての可能な計算プロセスの究極の極限です。それはすべての可能な計算的なものを包含しています。特定の計算的なもののセットを探索することを考えることができます。私はそれを「ロロジー（rology）」と呼んでいます。ルール30のような特定のルール、特定のものを研究することです。それらはルーアドと呼ばれるこの全体のオブジェクトの特定の部分であり、ルーアドは可能な計算の絡み合った極限を表しています。
ルーアドがあるとき、宇宙をどのように考えるべきでしょうか？私たちは観測者として何らかの形でこのルーアドの中に埋め込まれていなければならないことを実現します。ある意味で、自然科学と物理学の物語は、ルーアドに埋め込まれた観測者がルーアドの構造をどのように認識するかという物語になります。
ここで重要なポイントは、観測者として何を好むかについて何も知らなければ、それ以上進むことはできないということです。ただ「ルーアドがあり、すべての可能な計算がそこで起きている」と言うだけでしょう。しかし、私たちには非常に重要な追加情報があります。私たちは観測者として特定の特性を持っていることを知っています。例えば、私たちが計算的に限られた観測者であることを知っています。
その計算的な制限が、例えば熱力学第二法則が真実であると結論づける原因であることを知っています。もし計算的に限られていなければ、すべての還元不可能な計算を逆転させることができ、物事がよりランダムになる傾向があるという事実を信じないでしょう。私たちは観測者として特定の特性を持っており、二つの重要な特性があるようです。私たちが計算的に限られていること、そして時間において持続していると信じていることです。つまり、私たちは単一の経験のスレッドを持っており、時間の連続する瞬間ごとに異なる空間の原子からできていても、私たちを同じ私たちとして維持する単一の経験のスレッドがあると信じています。
大きな驚きは、観測者としての私たちのこれら二つの特徴だけで、ルーアドの特性から20世紀物理学の三大理論、一般相対性理論、量子力学、統計力学と第二法則を導き出すには十分であるようです。これは非常に注目すべきことです。私はいつも一般相対性理論や量子力学のようなものが宇宙の偶然の特徴であり、異なる方法で機能する宇宙を持つこともできたと仮定していました。
しかし、これが言っていることは、計算の概念が与えられれば、必然的にこのユニークなオブジェクトであるルーアドがあり、私たちが観測者である方法が与えられれば、私たちが持っている種類の物理法則を持つことは避けられないということです。私の推測では、観測者としての私たちの特定の性質についてより理解が深まるにつれて、自由意志への信念、宇宙に対する私たちのおおよそのサイズなど、観測者としての私たちに関する他の詳細について、私たちが宇宙が三次元を持つことなど、なぜ宇宙をそのように認識するのかについてより多くを理解するでしょう。
そのいくつかがどのように機能するかを示すために、空間の概念は私たちのような観測者の特定の特徴に非常に特有のものです。例えば、この部屋を見回すと、おそらく10メートル離れたところまで見えます。光は10メートル離れたところから来ますが、私の脳がその光を処理するには数ミリ秒かかります。ですので、特定の瞬間に周囲の空間の構造全体をひとまとめに把握していると言い、後の瞬間には別の空間構造があると言うのは理にかなっています。
しかし、もし私が現在より100万倍速く考えるとしたら、現在のデジタルエレクトロニクスのように、個々の光子が入ってくるのを見るでしょう。そして瞬間的な空間の構造全体を合成できるという事実は明らかではないでしょう。異なる種類の観測者だったら熱力学第二法則を信じないかもしれないのと同じように、「あなたが熱と呼ぶもの、それは本当は非常に非常に興味深い特定の分子が跳ね回る動力学であり、ただランダムだと手を挙げて言わなければならないものではない」と言うでしょう。
さて、このルーアドの考え方があり、私たちのような観測者からのルーアドの観察があります。私は「観測者理論」と呼ぶものを構築しようとしています。これは私たちのような観測者であることの意味を形式化し、チューリングマシンのような計算の形式化に類似した観測の形式化を持つ試みです。
観測の大きなポイントは、観測者が多くのものを等価させるということです。例えば、ある瞬間に視野内に多くの異なるピクセルがあるかもしれませんが、「ああ、猫の写真が見える」と言うでしょう。私たちはそのデータのほとんどを捨て、これらのものを等価させて、私たちが気にする結論に達します。
計算が新しいものを構築し、還元不可能に一歩ずつ進んでより多くの状態を作り出すにつれて、観測は効果的に多くの異なる状態を等価させることで物事を取り除き、「これらのことについて私たちが気にするのは、流体の集合的な速度だけです」などと言います。それらは相補的な特徴です。
数学についても考えることができます。物理学の基礎について考えたように、数学の基礎についても考えることができます。「すべてはこの離散的なハイパーグラフでできている」と言うように、「数学の原子は何か」という問いがあります。標準的な公理的数学では、このような変換を行う公理がある、と言えるでしょう。
そして、例えば表現間の等価性を表すグラフを作ることができ、かなり複雑なグラフを得ることができます。定理は表現間の等価性であり、定理の証明は一つの表現から別の表現へ行く経路です。定理の複雑な証明や同じ定理のより単純な証明を持つことができます。
物理空間を表すハイパーグラフの連続体極限は何かと問うように、数学の究極の極限は何かと問うことができます。人間の数学において、数学の文献で証明された定理は約300万から400万ありますが、無限の数の定理の極限を取ったらどうなるかという問いができます。
可能な定理を列挙することができますが、実際に数学でそれを行うときは、少し異なるセットアップが必要です。なぜなら、定理のペアがどのように組み合わさって他の定理を生成するかを見る必要があるからです。ここで、上部の2つの公理から始めて、それらの公理を組み合わせてさまざまな定理を証明するという数学の進行の例があります。
例えば半群理論の公理を使用して、半群理論の構造と半群理論のすべての可能な定理を構築することができます。あるいは論理学で行うとします。これはブール代数のための特定の公理系です。ブール代数のすべての可能な定理の巨大なグラフを構築しています。
これらの定理のほとんどは私たちが気にしない定理です。この大きな構造を見ると、最終的には私たち人間が名前を付けた定理に到達します。これらはべき等法則ですね。自動定理証明を使用すると、ブール代数の標準的な名前付き定理に到達する経路を見つけることができます。
このすべての可能な定理の極限は何でしょうか？特定の公理のセットからの極限を考えることもできますし、すべての可能な公理を持つ極限を考えることもできます。すべての可能な公理を持つ極限は、再び私たちの友人であるルーアドです。ある意味で、すべての可能な数学の究極の極限はルーアドであると言っており、それは物理学の下にあるものと同じです。
これは興味深いことで、物理的宇宙がルーアドに根ざして存在すると言うならば、同様に同じ意味で数学的宇宙も存在すると言えるでしょう。「数学的宇宙のどこを人口が占め、どこを探索したか」という問いができます。
これは数学的証明の自動化システムからのもので、異なる有名な数学の定理が数学空間内のどこに位置するかを示しています。私たちは数学空間内の特定の場所を識別して、私たちが気にする定理として特定しています。
しかし、人々が数学を行うとき、実際には実用的な問題として、これらの微視的な公理のレベル、あるいはそれを超えた公理以前のレベルで行うわけではありません。そのレベルでは変数さえなく、それらすべての種類のものを構築しています。実際に起こることは、人々はずっと高いレベルで数学について話すということです。
例えばピタゴラスの定理について話します。これが典型的な形式化された数学システムにおけるピタゴラスの定理の導出です。基礎となる公理に到達するまでに数千のレンマ等が含まれており、それらの公理でさえも最低レベル、ルーアドのような公理以前のレベルではありません。しかし実際に人々が行うのは、ただピタゴラスの定理について話すということです。
ここに類推があります。流体を見ている場合、その分子の個々の相互作用について議論することもできますが、実際には人間として、私たちは主に流体力学の観点、この種の大規模構造の観点から流体について話します。流体力学ができない可能性もあり、私たちが尋ねたい質問に対して、個々の分子が何をするかを議論し続ける必要があるかもしれませんが、実際には人間的なスケールで知りたいほとんどのことを流体力学を使って行うことができるというのが私たちの経験です。
数学も同じで、数学者が行う数学のほとんどは、この詳細な微視的な公理のすべてに下降する必要がない連続体レベルで操作できます。その高いレベルで数学が可能であるという事実は、連続体空間を認識できるという声明と似ています。空間は単純であり得るので、数学は人間が行えるほど単純であり得るのです。還元不可能な計算層に押し下げられるものではありません。
これは物理的宇宙における人間が観測者であることと、連続体空間のような計算的還元可能性のポケット、計算的還元可能性のスライスを選択しているという事実との間の密接な類似性です。同様に数学においても、私たちは高いレベルの数学に対応する還元可能性のポケットをサンプリングしています。
これには多くの意味があります。例えば物理的空間では、注目すべき特徴の一つは物理的空間にかなりの均質性があるということです。私たちの惑星周辺の宇宙は、他の銀河の完全に離れた太陽系外惑星周辺の宇宙と似ています。私たちの宇宙への視点は私たちがいる場所、私たちがいる惑星などに基づいていますが、ロケットに乗って別の惑星に行き、宇宙について異なる視点を持つことを想像できます。ある場所から別の場所への変換には努力が必要ですが、それは可能です。
数学では、メタ数学では、ある惑星から別の惑星に行くというアナロジーは、数学を代数の観点から考えるか、幾何学の観点から考えるかということです。翻訳することは可能で、その翻訳には努力が必要ですが、できます。そのような翻訳が可能であるという事実は、これらがすべて計算的に同等であるという事実の結果ですが、それでも翻訳に努力が必要なことがあります。
数学へのこれらの異なるアプローチは、数学のすべての基礎にあるルーアドに対する異なる視点を表しています。これらの異なるアプローチがすべて同じルーアドに存在するという事実は、数学の異なる分野間に必然的な双対性があるという兆候だと思います。地球からの物理的宇宙の視点はアルファ・ケンタウリからの視点や銀河の中心からの視点とどのように異なるかというのは、代数からの数学の視点と幾何学からの数学の視点の違いとよく似ています。
これはすべてのこれらの異なる特定の分野を横断する数学のより全体的な理論があることを示唆しています。そのような試みられた理論の例は圏論です。圏論について興味深いのは、それが計算的に還元可能なものの記述だということです。圏論の特徴の一つは、ある射f、ある射gがあり、圏論は「f合成gという射があるはず」と言っています。
しかしfが還元不可能な計算でgが還元不可能な計算だった場合、それらのものの合成があるというのは当然のことではありません。それは本当にfの全体を行い、gの全体を行うということです。しかしこのショートカットの射があるという仮定は、計算的還元可能性の現象の全体的な記述だと思います。つまり、それは「計算的に還元可能なものを見ていきます。例えば、計算的還元可能性のスライスにある数学を見ていきます」という言い方です。
数学の長期的な未来、物理的宇宙の長期的な未来について話し始めることもできます。物理的宇宙では、エネルギー運動量が多すぎると形成されるブラックホールのようなものがあり、時空に特異点ができます。その特異点は、少なくとも最も単純なケースでは、私たちのモデルでは非常に単純な解釈があります。
これらすべての書き換えが起きていて、ハイパーグラフの書き換えによる時間の進行がありますが、時には適用する書き換えがなくなり、停止する状況に陥ることがあります。それは時空的特異点に対応し、基本的に時間が停止します。通常、宇宙における時間は無限ですが、その特異点では時間が止まります。
メタ数学では、決定可能な理論がある場合、無限の長さの証明はありません。すべての証明、つまり時間を通じた進行のアナログは、有限の長さ、有界の長さでなければなりません。ある意味で、物理的空間における特異点、ブラックホールや特異点の存在のアナログは、数学における決定可能な理論です。
物理的空間におけるエネルギー運動量の存在が曲率を引き起こし、特異点を引き起こすように、同様に証明の密度は活動密度のアナログであり、証明が多すぎると理論は決定可能になり、時間が終わります。ある意味で、時間が終わる特異点がたくさんある物理学の未来は、時間が効果的に終わる決定可能な理論がたくさんある数学の未来と似ているかもしれません。
時間の話をすると、私はかなり長い間話し続けてきました。他の分野でもこれらの種類のアイデアによって情報を得ているものについて少し話したいと思います。分散計算について話したり、AIについて話したりできますが、いくつかのことに触れてから、何に興味があるか見てみましょう。
一つの質問は「ルーアドに何があるのか、その中でどれくらいを私たち人間が実際に探索したのか」ということです。生成AIを使ってそれについて少し考えることができます。例えば、生成AIシステムがあり、パーティーハットをかぶった猫の写真など、人間が認識可能な写真につながる計算を行うようにトレーニングされているとします。
そこで、ウェブからの数十億の写真を見るというトレーニングに基づいて、人間に合った写真を生成するためのルールと一致する可能な写真の全空間を生成できるかを問うことができます。
より形式的には、この生成AIの潜在空間を見て、この可能な写真の空間に何があるかを問うことができます。空間のある点にパーティーハットをかぶった猫の写真があるかもしれませんが、これをルーアドの非常に小さな角、異なる種類のルールを適用する小さな角と考えることができます。その一つの場所では、それらのルールをこの猫の写真を生成するものとして解釈できますが、猫のような島があり、どんどん離れていくと人間の解釈を持たないものになります。
猫の島があるように、犬から猫への意味空間を通じた測地線を作ることもできますし、他の種類の島を探索したり、猫の島を通る異なるスライスを探索したりもできます。しかしルーアドのこの非常に小さな角について問うことができる一つの質問は「そのスペースのどれだけの部分が現在私たち人間が持っている概念で満たされているか」ということです。
真ん中にいる猫の概念は持っていますが、このような画像になると、それを説明する言葉は本当にはありません。発見することは、この非常に単純な小さなルーアドの角でさえ、約10の600分の1だけが現在持っている概念でカバーされているということです。典型的な言語には約5万語がありますが、それはすべての可能な生成画像の空間のこの微視的な角をカバーするだけです。
進歩するにつれて、ルーアドのより多くを探索することになると考えるのは興味深いことです。ある意味で、パラダイムの進行はルーアドのより多くの探索、より多くの植民地化です。この生成画像の場合、「これがアートにおける大きな流行になるかもしれず、それに名前が付けられ、誰もがそれについて知るようになり、そのスペースのその他の部分、ルーアドのその他の部分を植民地化したことになる」と言えるかもしれません。
ここで一つの奇妙なことを言うと、心がどのように動作するかという質問があります。奇妙な声明をしてから、なぜそれがそのように機能するのかを説明します。電子のような粒子は、ブランチ空間における概念の物理的空間におけるアナログだと主張します。
電子のようなものは何でしょうか？電子は宇宙の中の物質の塊で、純粋な運動が可能です。電子を取って別の場所に移動させても、それはまだ電子です。空間のモデルの中の何かを取って移動させ、それがまだ同じものであるということは明らかではありません。また、一般的な相対性においても、物体を取って時空特異点の近くに移動させると、必然的に引き裂かれてしまいます。
いずれにせよ、移動でき、それでも同じ種類のものである識別可能なもの、という考え方があります。粒子はその特性を持つ典型的な要素です。
ブランチ空間では、ブランチ空間内の異なる位置は、宇宙についての異なる視点、起きていることについての異なる視点のようなものです。また、ブランチ空間内の異なる点は異なる心の位置に対応すると考えることもできます。心が物理的空間の特定の場所、脳内にあるように、また特定のブランチ空間の場所にあり、宇宙について特定の視点を持っています。
共通の教育などを持つ異なる人間の心は、ブランチ空間で非常に近いと考えることができます。猫や犬になると、ブランチ空間でさらに離れています。「心を持っている」と主張できる天気のようなものになると、ブランチ空間でさらに離れています。天気の中で起こる計算プロセスの種類、いわゆる思考とはあまり一致していません。
しかし、これらの異なる心、ブランチ空間内の異なる点を見て、それらがどのようにコミュニケーションできるか、ブランチ空間で純粋な運動が可能なものをどのように送ることができるかと問うと、本質的に概念がブランチ空間内の心から心へと変換するものです。
私の脳にはさまざまな電気化学的な神経の発火が起こっており、あなたの脳にも異なる電気化学的な神経の発火が起こっていますが、最終的に私は発火の集まりをパッケージ化して「猫」という言葉にし、それをあなたに伝えることができます。あなたはそれを解きほぐし、私が話している物について同じ印象を得るかもしれません。そういう意味で、猫の概念は、ある心から別の心へとブランチ空間を通じて輸送可能なものです。それが物理的空間における粒子のブランチ空間におけるアナログです。
これらの種類のことについて言うべきことはたくさんあります。昨日わかったことについて話します。これは機械学習がどのように実際に機能するかということに関係し、ここで話してきたことと関連しています。これは典型的なニューラルネットで、この関数を計算するようにトレーニングされています。上部にXを入力し、重みやニューロンがあり、底部にはF(x)が出力されます。
この重みのランダムな集まりから、その出力を生成するために調整する必要のある重みまで、このニューラルネットをトレーニングするプロセス全体を経ることができます。このトレーニングプロセスは実際にはかなり複雑です。これはトレーニングプロセスを通じた異なる重みの値の連続です。
いずれにせよ、質問は「このニューラルネットの内部で何が起きているのか、このニューラルネットの内部で何が起きているのかをどう理解するか」ということです。重要なアイデアは、ニューラルネットを取り、それを望む機能を行うように徐々に適応させることができるということです。
これにはアナロジーがあり、それは生物学的進化です。私は長い間、生物学的進化とそれがなぜ本当に機能するのかについて好奇心を持っていました。数ヶ月前、1980年代に見つけるべきだったものを見つけました。それは生物学的進化のための非常にミニマルなモデルで、これらすべての計算的基盤の物語やルーアドなどに関連するいくつかの直感的な意味を持っています。
これは非常に単純な生物です。これはそのゲノムで、セルオートマトンのルールです。そしてこれが行うことです。上部の種子から始まり、このパターンを成長させ、最終的には消えます。生物が長い間生きることは本当に良いことだが、永遠ではないと想像してみましょう。このルールを徐々に更新して、より長く生きる生物を作ることができるでしょうか？
ルールに点突然変異を加え、何が起こるかを見ることができます。実はその生物を進化させることができます。ルールを変更し、さまざまな異なるルールのシーケンスを経て、異なる振る舞いを生み出します。ヌルルールから始めて、単一のランダムな突然変異を行い、それが有利かどうかに応じて保持するかどうか決定することで、徐々に適合度を高めることができます。
時々発見が行われ、適合度が上がり、生物はより長く生きます。そのプロセスがどのように機能するかを見ることができ、進化のさまざまな経路、化石記録で見つけるかもしれないさまざまな可能な配列を見ることができます。
例えば、自己構築の方法について特定の発見をし、徐々に長く生きるようになる生物のシーケンスがあります。トリアス紀にこれを発見し、白亜紀にこれを発見するなど、生物学的進化が徐々に自己構築するようなものを想像できます。
これについて驚くべきことは、それが構築するものを説明できないということです。単に機能するように見えるだけです。これは非常に単純なセットアップなので、すべての可能な進化の全体の物語を見ることができます。これは少し単純なケースのすべての可能な長寿命のものです。
異なる枝を作り、こちらでは長く生きる方法について異なるアイデアがあり、こちらでは別のアイデアがあります。それは生命の木の異なる枝のようなもので、発見された生きる異なる方法があります。しかし、すべてのこれらの生きる方法には、単に機能するように見えるという特徴があります。
これらのいくつかを見ると、エンジニアが特定の目的、特定の時間生きて死ぬという目的を達成するために作成した可能性のある機械的構造があるかもしれません。しかし、ほとんどの場合、そうではありません。それは単に8ステップ生きて死ぬだけです。
実際、計算的還元不可能性の結果として、このスペースにおける十分なランダム性があります。特定のルールに到達した周りのローカル派生を見ることができます。これは本質的にブランチ空間におけるローカル派生を見ており、「私たちの適合度を向上させる方法を常に見つけるのに十分なローカル派生におけるランダム性があるか」と問うています。
それは実際に計算的還元不可能性の結果であり、ブランチ空間を通って適合度を増加させる生物に到達するために正常にナビゲートできるだけの十分なランダム性があります。しかし興味深いのは、何が起きているかの説明が本当にはないということです。
これらの生物の一つに到達したとき、それが機能する仕組みの物語、メカニズムがあるとは言えません。それは還元不可能に単に機能するだけなのです。これが生物学的進化の物語の中核的な特徴だと思います。これについては機械学習の観点からも考えることができ、これは最近のここ数日の非常に新しいものです。
伝統的な機械学習システムには、これらの特徴があります。典型的には、1940年代から議論されてきた種類の典型的な最小限のニューラルネットである完全に接続されたネットワークを持つ多層パーセプトロンとしてこれを行っています。
実際にはそれを単純化できます。「メッシュネット」と呼んでいるものを見ることができます。ここではより単純な接続性のパターンがあり、何が起きているかが視覚的にはるかに明らかです。同じ種類の現象、同じ種類のトレーニングプロセスがそこでも機能することがわかります。しかし、さらに進んで完全に離散的なシステムを考えることもできます。
ここではただの「ルール配列」を取っています（名前は変更される可能性があります、まだこれについて書いていないので）。このルール配列は、各ステップで適用する2つの可能なセルオートマトンルールの1つを選んでいます。問題は、ニューラルネットの重みを調整するように、特定の結果を得るためにこのルール配列を適応させることができるかということです。
ここでは正確に40ステップ生きるようにしようとしており、到達する40ステップからの距離、ロスを見つけます。最終的に純粋なランダムな突然変異によって、ゼロに到達することができます。しかし、それが機能する多くの異なる方法があります。時には単純なエンジニアリングソリューションがあることもありますが、多くの場合、単に機能するように見える非常に装飾的なソリューションがあります。
これらは論理式、ANDやORなどですが、例を見てみましょう。これは先ほど示した関数をルール配列で学習する例です。入力は始めのセルの位置で、出力は最終的にそれがある場所です。そして、それを移動すると、基本的にこの画像が示すことを行います。この場合、いくつかの間違いがありますが、これは機械学習の一種の完全に離散的なバージョンです。
この特徴の一つは、内部で何が起きているかを見ることができるということです。起きていることは、生物学的進化と同じ物語、私が話してきた多くのことと同じ物語、多くの計算的還元不可能性です。
つまり、「トレーニングしたニューラルネットがどのように機能するのか、それが内部でどのように実際に機能するのか」という質問をすると、必ずしも多くのことが言えるわけではないことがわかります。「私たちはそれを進化させ、それは機能した」と言うことができますが、「メカニズムは何か、それが機能したメカニズムについての科学的な物語はあるか」と言うと、必ずしもそうではありません。
これは機械学習を探索しようとしている場合、神経科学を探索しようとしている場合など、理解するための重要なことです。ちなみに、この計算的能力の全体の物語は、AI倫理などのような質問に深く関係しています。なぜなら、計算的に還元不可能に機能するシステムを構築するとき、これらのシステムは必然的にそうするからです。
ここではそれらがそうするというさらなる証拠を得ています。そのとき、「それが何をするかを予測できるだろうか、このAIが正しいことだけを行い、決して間違ったことをしないことを確認できるだろうか」と問うことができます。計算的還元不可能性は、それができないことを意味します。常に驚きがあるでしょう。
計算的に還元可能でないすべてのAIを禁止する世界に住むことができます。システムが何をするかを明示的に制約することができない場合、その世界では還元不可能な計算は起こりません。計算の力を利用しておらず、この非常に限られた種類の計算だけを使用しています。
驚きの可能性を許容するか、それとも計算の力を考えると可能なものではないように物事を強制するかという選択があります。ちなみに、私たちの周りにあるすべての還元不可能な計算を持つ世界に住むことは、私たちが本当に慣れていることです。なぜなら、それが自然で起きていることだからです。自然は還元不可能な計算でいっぱいです。私たちは自然と共存する方法を見つけてきました。雨がいつ降るかに関係なく家を建てるなどの方法を見つけてきました。それがAIのようなものを通じて私たちの周りのコンピュテーションと共存することについて考える際の一部です。
では大きな絵は何でしょうか？大きな絵は、計算というこのアイデアが世界を形式化する方法であるということです。人間として私たちが関連付けることができる世界を形式化する方法があります。計算的に可能なものから私たちが考えることへと進むとき、その橋の一部は自然法則であり、その橋の一部は計算言語です。これは世界のことについて計算的に話すことを可能にするものです。
私の人生の大部分で試みてきたことの物語の一部は、その橋を構築すること、私たちが考えることができるが計算的に実装できるものを記述できる計算言語を構築することです。それが一つのことです。もう一つは計算的に可能なものの究極の物語は何かということであり、それはルーアドに要約されています。
単純なルールとそれらが何をするかの研究であるロロジーという、その非常に初期段階にある基本的な科学があります。しかしルーアドの全体的な絵とルーアドの存在の結果、そして私たちがルーアドに埋め込まれた観測者であるという事実、そして私たちのような観測者が世界がどのように機能しなければならないかについて認識することを理解する方法としての観測者理論の結果があります。
私たちとは異なる観測者は全く異なる世界を認識するでしょうが、私たちのような観測者は、観測者としての私たちがどのようなものかを知るだけで、私たちが認識できる科学に対して意味を持つのです。
いずれにせよ、私にとってはとても興奮する瞬間です。実践的なレベルでは、この計算言語を構築して、すべてのX分野のための計算Xを構築することです。そして、単純なプログラムとそれらが何をするかの研究であるロロジーというアイデアと、その非常に広大な可能性の計算宇宙を探索することです。そして、ルーアドの絵とルーアドの観点から物事を考えることの結果、さらには数千年にわたって検討されてきた哲学のアイデアとルーアドのつながりについても多くを言うことができます。現時点でそれについて本当の科学的声明をすることができると思います。
ここで止めておきます。喜んで議論や質問、コメントなどを受け付けます。ありがとう。
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