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サー・ロジャー・ペンローズ、お会いできて長らく待ち望んでいました。何十年も、文字通り何十年も大ファンでした。ありがとうございます、そしてようこそ。
こちらこそ。アーツ・アンド・アイデアズ研究所でお会いできて光栄です。
多くの人がそれらの一部を信じていませんね。
アーツ・アンド・アイデアズですか？どういう意味ですか？
宇宙論についての私の考えです。確かに人々がなかなか信じられないものです。良い証拠があるにもかかわらず、まだそうですね。まあ気にしないでください。
最も引き継いでほしいと思っているのはそれですか？共形巡回宇宙論ですか？
実は私には悩みがあります。というのも、複数のことがあるからです。例えば、ツイスター理論とその派生理論があります。会議が開かれていることからも分かるように、これは真剣に受け止められています。ツイスター理論についての会議が行われているのです。
単なる会議ではなく、ツイスター理論というテーマに捧げられた学期全体があります。これは1963年頃に私が始めたものです。多くの発展と多くの派生物があり、さまざまな分野に広がっています。
これは私が人生の大部分で取り組んできたことの一つで、少し専門的にならないと説明できません。それは…
このポッドキャストでは技術的な話をしても構いませんよ。
わかりました。少し、ハミルトンが四元数を発見したのに似ています。これは3次元空間の幾何学について語る方法で、彼はベクトル積というものを導入しました。二つのベクトルがあると、実際にはベクトルの代数ですが、ベクトルとスカラーが混ざり合っていて、二つのベクトルを掛け合わせると、この外積と呼ばれるものがあり、それは第三のベクトルを与えます。
この種の概念が、私がツイスターまたは現在はバイツイスターと呼んでいるものと、別のレベルで登場します。ツイスター、その主題は発展するのに時間がかかりました。1963年に初めてその概念を持ったとき…
最近ケンブリッジで講演を行い、アイデアの起源を説明しました。ある種の、軽い誤解と呼べるものがあります。ツイスター理論では混同される二つの異なる概念があり、それらは正と負の周波数、そして正と負のヘリシティです。
正負の周波数というアイデアは、エンゲルベルト・シューキングから学んだものでした。彼はアメリカのニューヨーク州シラキュースで一般相対性理論に取り組んでいたグループの中で私がオフィスを共有していた人物です。
そこには相対性理論に取り組んでいる多くの人がいて、これは1962年頃だったと思います。エンゲルベルト・シューキングから私は非常に興味深いと思った二つのことを学びました。その一つは、量子場理論で何が重要かという問題でした。彼は量子場理論で最も重要なことは、場の振幅を正と負の周波数部分に分割することだと言いました。
正の周波数を保持し、負の周波数を捨てるのです。そして私は、なんて興味深いアイデアだろうと思いました。彼が教えてくれたもう一つのこと…彼は様々なことを教えてくれましたが、私が今話していることに関連するものです。もう一つは、マクスウェルの場の方程式、マクスウェル方程式に関するものでした。これらは非常に重要な方程式で、電気、磁気、そして光を記述します。
ですから、電場と磁場がどのように相互に関連しているかだけでなく、光の理論でもあります。とても美しい方程式で、大学院生の時に学びました。私はマクスウェル方程式に非常に熱心で、特にそれらを2スピノル形式主義と呼ばれる形式で書いたときにそうでした。これについては後で少し詳しく話せるでしょう。
しかし、マクスウェル方程式は、彼が教えてくれたように共形不変なのです。それらは時空構造にのみ依存し、スケーリングには依存しません。ですから、スケールを拡大したり縮小したり、言ってみれば計量を拡大または縮小しても、違いはありません。それが共形的に同値です。共形写像または共形変換とは、スケールを変えることができるが、特殊相対性理論の光円錐を変えないものです。
ですから光速は同じです。もちろん、結局のところ光速は、拡大してスケールを変えても同じです。しかし、私がこれらの二つの事実から受けた印象は、両者の間に少しの行き詰まりがあるように思えたことです。
つまり、正と負の周波数の分割をどのように決定するのでしょうか？個々の周波数を見て、フーリエ分解を行い、各個別のフーリエ成分を取り、それを正と負の部分に分割します。それは共形不変ではありません。共形写像、共形再スケーリングを行うと、フーリエ分解は自身に写りません。
そこで私は、この二つが一緒になり、この種の行き詰まりがないような見方があれば素晴らしいと思いました。私は、自分で考えたのか誰かに言われたのか覚えていませんが、複素数の場を取り、それを球面に折りたたむと、無限遠点も含まれ、実数を赤道と考えると、実数は赤道を一周し、複素数は上下に伸びるということを知っていました。
そして赤道上で定義された関数があり、それが一方の半球に拡張されるなら、それは正の周波数であり、もう一方の半球に拡張されるなら、それは負の周波数です。これは完全に共形不変な記述です。球面を共形不変に変換しても、二つの半分への分割は変わりません。そこで私は、時空全体についてもグローバルにこれを行う方法が欲しかったのです。
つまり、実際の時空が複素数への二つの拡張の間の境界となるような方法です。しかし、単に時空を複素化して、すべての座標を複素数にすると、5次元空間ではなく8次元空間が得られます。それでは役に立ちません。それは全く二つの半分に分割しません。順方向管と呼ばれるものが得られますが、それはある側の小さな領域であり、そこで正則であるかどうかについて話すことができます。
しかし、同じように何かを半分に分割するわけではありません。だから私は満足できませんでした。なぜこれを見ていたのか、合理的な理由があるようには思えませんでしたが、フーリエ成分を個々に見ることなく、正と負の周波数を分割するこの美しい方法を活用する方法があるはずだと思われました。
それはより深い概念だと言えるかもしれませんし、また共形不変でもあります。そのため、マクスウェル理論が持つスケール性を失うことはありません。さて、これが頭の中を巡っていましたが、どうすればいいのか分かりませんでした。
非常に不幸な出来事でした。テキサス州オースティンにいて、オースティンで様々な同僚と仕事をしていました。エンゲルベルト・シューキングがこの特定の会議を運営していました。ロイ・カー、レイ・サックスのような人々も参加した一年間の会議でした。相対性理論に取り組む非常に著名な人々です。テキサス州ダラスにも人々がいて、その中の一人は私がスピノルに関する本で協力していた人物でした—その時はやっていなかったと思いますが—それはウォルフガング・ウィンバーでした。
そしてアイヴァー・ロビンソン、彼は非常に賢い人物で、素晴らしいアイデアを持っていました。彼は何も書き留めませんでした。彼は論文を書くために共著者に頼っていました。すべては言葉で行われました。彼は言葉の使い方が素晴らしかったのです。
アメリカ人は彼が好きでした。彼らが慣れていない方法で話し、言葉がすべて美しくまとまっていたからです。そう、彼は言葉の使い方が素晴らしかったのは間違いありません。彼は論文を書かなかった人ですか？はい。彼は別の物語、私の物語である特異点定理において重要でした。それは通りを歩いて道路を横断する話です。それは別の話です。
同じ人物でした。それはアイヴァー・ロビンソンです。そう。だから彼は明らかに私の注意を引くことができる人物でした。しかし彼が私に教えてくれたのは、非常に特殊な性質を持つマクスウェル方程式のいくつかの解を見つけたということでした。それらはヌルと呼ばれています。
それらは一方向に指しています。通常、光円錐上に二つの方向があり、それらは主ヌル方向と呼ばれています。それらは光のような方向です。そしてそれらが一致すると、ヌルと呼ばれます。これらはより放射場に似ています。そして彼は次のような奇妙な方法で構築した美しい解の一族を見つけました。
一本の光線、ただ一本の光線を取り、それに出会うすべての光線を取ります。光線と言うとき、私は光子の軌跡を意味します。つまり、時空において粒子と考えられる光子の時空的描像です。
さて、一本の光線を考え、それに入ってくるすべての光線を見ると、光線の一族ができます。そして彼はそれらの光線に基づいたこの解を構築します。それらには面倒な特異点があり、それはそれらが出会う光線です。なぜそれが特異点なのでしょうか？それらはすべて集まり始め、そのため解の性質は、それらが一緒に集まるときに異なります。
しかし、それは特異点定理の特異点とは異なる種類の特異点です。それは深刻な特異点ではなく、最大値における特異点です。物事は無限になると思います。なるほど。詳細は覚えていません。それらはその解上で単に無限になります。
光線がもはやこの素敵な一族を作らず、他の光線の上で圧縮されるからです。しかし、アイヴァー・ロビンソンがしたことは、光線を複素数の中に置く、つまり複素光線にするという賢いトリックでした。そうすれば、それに出会う光線の一族は、まだ実数であり続けることができます。それらが出会う光線が複素数の中にあるにもかかわらず、実数の光線を見ることができます。
それらはこの素晴らしい配置で互いにねじれています。私はこれについて以前考えたことがあり、この配置が詳細にどのようなものかを知っていたと思います。それはクリフォード平行と呼ばれるものに対応します。クリフォード平行は美しい幾何学的配置です。
3球面を取ると、それは普通の球面ですが、4次元の中にあります。つまり、それは4次元の中の3次元曲面であり、ユークリッド4次元の原点から同じ距離にある点の集まりです。今、時空についてではなく、ユークリッド4次元について話しています。3球面があり、3球面全体を満たす円の美しい一族があり、その二つは交わらず、すべてが互いにリンクしています。
それはクリフォード平行と呼ばれ、位相幾何学の人々がより好む名前もあります。それはファイバレーションと呼ばれ、円の球面の価値があります。それはファイバーバンドルの非常に良い例であり、人々が描くのが好きな図があります。そこではファイバー、つまり円と、バンドル全体が球面であり、下への射影が2球面です。
それぞれの円は普通の2次元球面、普通の球面上の点に対応します。つまり点、各点は円に対応します。それはファイバーバンドルの美しい例です。ある意味では最もシンプルで美しい例と言えるかもしれません。
新しいアップデート、サブスタックを始めました。そこでの文章は現在、言語や定義の曖昧な概念、そして他の数学的詳細についてです。そこにはもっと多くの内容が書かれています。これは他のどこにもないコンテンツです。Theories of Everythingにもなく、Patreonにもありません。また、完全な文字起こしも将来的にそこに置かれる予定です。何人かの人々が私に尋ねました、「カート、あなたは理論物理学、哲学、意識の分野で多くの人々と話してきましたが、あなたの考えは何ですか？」インタビューでは中立を保っていますが、このサブスタックはこれらのトピックに関する私の現在の熟考を覗き見る方法です。また、パートナーであるThe Economistにも感謝します。
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