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「並行線の研究に手を出してはいけない。私はこの底なし沼を渡り、人生のすべての光と喜びを失った。並行線の研究は放っておくように頼む…」
2本の列車が線路上を並んで走り、すべてのリベットとボルトに負荷がかかっている。互いに首を競り合うように、一方のエンジンがもう一方を少し追い越しては、また譲る。群衆は線路沿いに並び、この異様なレースで好きな機関車を応援して旗を振り、歓声を上げる。
そして考えられないことが起きた。2本の列車が激突し、金属が紙のように折れ曲がって炎上する様子に、人々は息を呑んだ。
しかし、これはどうして起こりえたのだろうか？結局のところ、列車は並行な線路の上を走っていたはずだ。並行線の定義とは、どれだけ延長しても決して交わることはないということだ。どうやって衝突することができたのだろうか？
数学者たちは何千年もの間、並行線について研究してきた。この概念と最初に格闘した一人は、ギリシャの博学者ユークリッドで、彼は「幾何学の父」としてよく知られている。ユークリッドは、今日の数学の基礎となる多くの規則を含む、史上最も影響力のある書物の一つ「原論」を著した。そしてその5番目の規則が平行線公準と呼ばれるものだ。
これは本質的に、並行な線路を走る2本の列車は決して出会うことはないと述べている。他の4つの公準はすぐに証明されたが、平行線公準は証明が困難で、およそ2000年もの間、証明されなかった。
ついに19世紀になって、数学者たちは衝撃的な発見をした。その公準が証明されなかったのは、証明することができなかったからだ。並行線は結局のところ、交わる可能性があったのだ。
突如として、ユークリッド幾何学は唯一の選択肢ではなくなった。空間を曲げたり歪めたりして、通常の規則を完全にひっくり返すことが可能になった。実際、ユークリッドの平行線公準を破ったハンガリーの数学者の一人は、人生のすべての喜びを失ったと語っている。
しかし、これは何を意味するのだろうか？そして数学の外でなぜこれが重要なのだろうか？答えは、実に奇妙なものだ。今日、非ユークリッド幾何学は、宇宙で最も根本的な問題の一つの中心にある。天文学者によく尋ねられる宇宙の問題の上位に入る問題だ。
この問題への答えを求める旅は、光が周回して同じ銀河が空に複数回見える、奇妙にねじれた宇宙へと私たちを導くだろう。それは自分自身に折り返される宇宙、一生懸命探せば自分自身が見返してくるかもしれない宇宙、そして並行線が何度も何度も交わる宇宙へと私たちを導く。
それは常識に反する旅だが、私たちが住む宇宙についての、そしておそらく私たちが住んでいる宇宙がどの宇宙なのかについての、より深い理解を必ず得られるだろう。
そして私たちが答えようとしている問題とは？宇宙が膨張しているのなら、一体何の中へ膨張しているのか…？
2024年12月27日、チリの望遠鏡が、国連に史上初めて惑星防衛プロトコルを発動させる何かを発見した。望遠鏡は2024 YR4という小惑星を発見した。サッカー場ほどの大きさのこの小惑星が2032年に地球に衝突すれば、広島の原爆の数百倍のエネルギーを放出することになる。
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中世のナポリで、教皇インノケンティウス4世が病床に横たわっている。教皇の顧問たちは、シチリア王マンフレッドによって教皇軍が壊滅したという衝撃的なニュースを届けたばかりだった。
この破滅的な出来事は、数日後の59歳での死の原因として広く認められている。しかし、少なくとも一部の人々の間では、教皇の早すぎる死は全く別の原因によるものだという噂が広がっていた。実は殺されたのだと。
犯人として疑われたのは？彼が何度も衝突した、あまり知られていないイギリスの司教の幽霊だった。ロバート・グロステストという聖職者である。
この霊的な暗殺者とされる人物は13世紀に生まれ、イギリスの大聖堂都市リンカーンの司教にまで上り詰めた。論争好きで落ち着きのない彼は、カトリック教会の改革を求め、それが教皇インノケンティウス4世や国王ヘンリー3世との直接的な対立を引き起こすことになった。
しかし、現代科学の萌芽期における彼の貢献の方がはるかに注目に値する。彼は科学的方法の特に早期の提唱者であり、私たちの世界を目に見えない形で支配する隠れた法則を明らかにする上で、実験が果たす重要な役割を説いた。
最初に、グロステストは虹が光の屈折の結果であることを正しく説明した歴史上初めての人物となった。そして光は彼の一種の執着となり、司教と宇宙学者の双方が固執する何か、つまり宇宙の創造についての彼なりの説の中心的な役割を果たした。
グロステストによれば、宇宙は中心点から光が外向きに広がり、その後物質に凝縮することで始まった。これは、現代の天文学者が同様の考えに到達するよりも7世紀も前のことだった。そして今日、グロステストは一部の人々の間で「ビッグバンの司教」として知られている。
グロステストは1253年に亡くなり、リンカーン大聖堂に埋葬された。彼の聖堂では奇跡が報告され、その結果イギリスでは広く聖人とみなされた。しかし、グロステストの聖人位は、彼の幽霊が教皇を殺したという噂が大きな理由で、バチカンによって正式に承認されることはなかった。
しかし私たちが知っているように、グロステストの膨張する宇宙についての考えはその後の年月の間に発展することはなかった – それが再び頭をもたげるまでには半千年以上かかることになる。
そして興味深いことに、20世紀初頭にグロステストのアイデアを最終的に復活させたのは、もう一人のカトリックの聖職者、ベルギーの司祭ジョルジュ・ルメートルだった。
ルメートルがこの時点で生きていたことさえ幸運だった。第一次世界大戦中、イープルの砲兵将校として、風向きが変わって塩素ガスの雲が彼から吹き去ったことで、その恐怖から間一髪で逃れた。そして第二次世界大戦では、アメリカ軍が誤って彼の家を爆撃した。
1927年、ルメートルはアインシュタインの一般相対性理論、私たちの最良かつ最も完全な重力理論の方程式に対する解を発表した。彼が最初というわけではなかった – 人々は何年もの間それを行っていた – 実際、カール・シュバルツシルトは10年以上前に最初の一人となり、その解を使って、ブラックホールの概念を提案した。
しかしルメートルの解は異なっていた – それらは宇宙全体が膨張していることを示唆していた。しかし、ほとんどの人々は彼の発見を無視した。アインシュタインは最も厳しい批判者の一人だった。「あなたの計算は正しいが、物理学は恐ろしい」と彼は言った。アインシュタインは有名なことに、静的な宇宙を維持するために自身の方程式を微調整することになる。
しかし、ルメートルが正しく – アインシュタインが間違っていた – という証明の種は、すでに蒔かれていた。1915年、アメリカの天文学者ヴェスト・スライファーは、銀河が私たちから逃げ去っているように見えるという発見を発表した。
スライファーは、天文学者の武器庫の中で最も重要なものの一つである赤方偏移の測定によって、この画期的な結論に達した。
まず、銀河からの光を構成色に分解する – グロステストが正しく想定したように、雨滴が虹を作り出すのと同じように。次に、銀河を構成するさまざまな化学元素に吸収された欠けた色を表す、このスペクトル中に隠された暗い帯を探す。
最後に、この線のパターンがスペクトルの赤い端にどれだけシフトしているかを測定する。この「赤方偏移」が顕著であればあるほど、銀河は私たちから速く遠ざかっている。
しかし、これはパズルの半分に過ぎなかった。最後の欠けているピースは、1929年にエドウィン・ハッブルによって提供されることになる。彼は銀河までの距離を測定し、銀河が逃げ去る速度と比較した。
そうすることで、彼は現在ハッブルの法則として知られる非常に厳密なパターンを発見した。銀河が私たちから遠ければ遠いほど、より速く逃げ去るように見える。どれくらい速いのか？現代の測定によれば、100万光年ごとに約23キロメートル毎秒だ。
そしてハッブルは直ちに、ルメートルが正しいことを知った。数世紀前にグロステストが疑っていたように、宇宙は実際に膨張していたのだ。
よく話題に上るにもかかわらず、より遠くの銀河がより速く私たちから逃げ去っているという事実が、なぜ自動的に宇宙が膨張していなければならないことを意味するのか、必ずしもすぐには明らかではない。
そこで、膨張する別の身近な例を使ってこの関係を明確にしてみよう。パン生地だ。より正確には、レーズンの入ったパン生地。生地を混ぜて捏ね、1時間オーブンで焼くことを想像してみよう。その間に大きさは2倍になり、おいしいお菓子ができる。ここで、あなた自身をレーズンの一つに置いて、生地が膨らむにつれて周りの他のレーズンを見回してみよう。
最初にあなたから1センチメートル離れていたレーズンは、焼き上がり時には2センチメートル離れることになる。1時間で1センチメートル移動したことになる。最初から2センチメートル離れていたレーズンは4センチメートル離れることになり、見かけ上の速度は時速2センチメートルとなる。3番目のレーズンが最初に3センチメートル離れていた場合、焼き上がりでは6センチメートル離れ、時速3センチメートルで移動しているように見える。
言い換えれば、あなたとレーズンの間の初期の距離が大きければ大きいほど、それがあなたから離れていく速度が速く見える。なぜか？それは生地が膨張しているからだ。レーズンが生地の中を移動しているわけでもなく、新しい生地が追加されているわけでもない。
代わりに、レーズン間の隙間は、既存の生地の膨張によって引き伸ばされる。あなたとレーズンの間に最初からあった生地が多ければ多いほど、その膨張の効果はより顕著になる。
ハッブルの法則は銀河について同じような説明を提供する。スライファーが気付いたように、ほとんどの銀河は私たちから逃げ去っているように見えるが、銀河自体が宇宙空間を通り抜けて逃げているわけではない。代わりに、銀河間の空間が膨張し、それらをますます遠くへと運んでいる。
最初からあった空間が多ければ多いほど – 言い換えれば銀河が私たちから遠ければ遠いほど – それはより速く移動しているように見える。新しい空間が追加されているわけではなく、単に既存の空間が引き伸ばされているだけだ。これは一般相対性理論によって許容される – 空間と時間は可塑的で、不変ではないものなのだ。
そして宇宙の膨張は、スライファーが発見したより遠い銀河のより顕著な赤方偏移の原因でもある。光波が地球に向かって進むにつれて、それらは通過する空間の膨張によって引き伸ばされた。虹のすべての色の中で、赤い光は最も波長が長い。光が地球まで到達するのに通過しなければならない空間が多ければ多いほど、スペクトル線はスペクトルの赤い端により近く見える。
これは、膨張する宇宙を完全に理解する上でしばしば人々を悩ませる別の微妙な点の良い例示となる。人々はよく、宇宙が膨張するにつれてエネルギーはどうなるのかと尋ねる。エネルギー保存は物理学の最も有名な法則の一つで、エネルギーは創造も破壊もできず、系の全エネルギーは同じままでなければならないと述べている。
しかし、膨張する宇宙ではエネルギーは保存されない。エネルギー保存則は、アイザック・ニュートンの有名な3つの運動法則で扱われるような物理学、つまり粒子が変化しない穏やかな背景空間を通過する場合に成り立つ。しかし、膨張する宇宙では空間は常に変化しており、そのため、その中を移動する粒子の全エネルギーは同じ方法では保存されない。
赤方偏移した光は完璧な例だ。膨張が光波を引き伸ばすにつれて、それらはエネルギーを失う。地球に到達するすべての光子の全エネルギーは減少し、保存されない。
そしてこの宇宙の膨張は別の奇妙な効果も引き起こす。最も古い出来事からの光は、膨張する宇宙を通って長い距離を移動しなければならないため、到達するのにより長い時間がかかる。結果として、宇宙で最も古い天体は、今日の同じ出来事と比べて、ほぼ5倍ゆっくりと進化しているように見える。
宇宙が膨張していることは明らかだが、この膨張はいつ始まったのだろうか？そうだね、宇宙は日々大きくなっているのだから、昨日はより小さかったはずだ。1世紀前はさらに小さく、グロステストの幽霊が教皇を追い払っていたとされる1000年近く前は、さらに微小だった。
そしてこの膨張はどこまで遡るのだろうか？それを教えてくれるのがハッブルの法則だ。ビッグバン以降、どれだけの膨張があったかを示している。この膨張の時計を巻き戻すと、膨張がいつ始まったかが分かる。宇宙の歴史のこの最も初期の瞬間に、現代の宇宙のすべての部分が無限に小さな点に凝縮されていた。
ルメートルが「原始原子」と呼んだこの小さな無の欠片を、今日の天文学者たちはビッグバンと呼んでいる。そしてハッブルの法則を巻き戻すと、この膨張の始まりは約138億年前と時刻が刻まれる。
出来事の名前自体 – ビッグバン – は、ある種の爆発を思い起こさせる。今日でも宇宙の継続的な膨張を駆動し続けている爆発だ。当然、人々は天文学者に爆発の場所を尋ねる。ビッグバンが爆発した宇宙の場所を示してほしいと。結局のところ、もし部屋で爆弾が爆発したなら、その後に派遣された調査員は、破片やがれきから必要な手がかりを集めて、部屋のどこで爆弾が爆発したのかを突き止めることができるだろう。では、なぜビッグバンについても同じことができないのか？
そう、ビッグバンは宇宙を創造したのだ。もし爆弾が爆発し、そうすることで部屋を作り出したとしたら、その部屋のどこで爆弾が爆発したのかを尋ねるのは意味をなさない。結局のところ、爆発の前には部屋は存在しなかったのだから。
膨張する宇宙では、誰もが膨張の中心にいると考えるが、実際には中心などないのだ。
そして – 宇宙がどこからも膨張しているわけではないことは明らかだが、では何の中へ膨張しているのだろうか？これは天文学者に最もよく尋ねられる質問の一つだが、最初に思われるよりも答えるのが難しく、私たちが宇宙を理解する方法に深く重要な影響を持つ…
月の表面の高い所を猛スピードで進むと、その景色は壮大なモノクロームだ。先史時代のクレーター、滑らかな溶岩平原、そびえ立つ山々、細い火山性の溝が、目の届く限り広がっている。何十億年もの間にたった12組のアメリカ人の足だけが触れた、古代の空っぽの荒れ地だ。
起伏のある月の景観の上を飛ぶことは、息を呑むような美しさだけでなく、科学の歴史を巡る旅でもある。宇宙を考察した最も偉大な人物たちにちなんで名付けられたクレーターが次々と現れる。実際、この天体の偉大さの名簿には、アインシュタイン、ハッブル、スライファー、ルメートルが含まれている。
また、月の反対側に位置する2つのクレーターも含まれている – 一つは近側の北部に、もう一つは遠側の南部にある。彼らの地理的な対立関係は適切だ。なぜなら、この2つのクレーターの名前の由来となった2人の物理学者 – ウィルヘルム・デ・ジッターとヘルマン・ミンコフスキー – もまた、私たちの宇宙の形の可能性について対立する名前を付けているからだ。
どちらが正しいと判明するかによって、宇宙が終わりを迎えるかどうかが決まり – そして宇宙が何の中へ膨張しているのかという私たちの問いに重要な影響を持つ。
ミンコフスキーはかつてアインシュタインの教授だった。しかし、彼らは必ずしも意見が一致しているわけではなかった。「彼は数学なんて全く気にしない怠け者の犬だ」とミンコフスキーはかつて、史上最も有名な科学者について語った。実際、ミンコフスキーは伝説的なドイツの数学者デイビッド・ヒルベルトとずっと親しかった。ヒルベルトは友人の感動的な追悼文を書いた。彼らの共有した科学的な仕事について、ヒルベルトはこう述べている：「それは私たちにとって花でいっぱいの庭のように思えた。その中で、私たちは隠された小道を探すのを楽しみ、私たちの美的感覚に訴える多くの新しい視点を発見した。そして、私たちの一人が他の人にそれを見せ、一緒に感嘆したとき、私たちの喜びは完全なものだった。」
一方のデ・ジッターは、1872年に代々法律家を輩出してきた裁判官の家に生まれた。しかし、ウィルヘルムは法の執行を放棄し、宇宙の隠された法則を理解する機会を選んだ。1934年に肺炎で亡くなった時、ニューヨーク・タイムズは彼についてこう書いている：「彼はギリシャ文字を冷淡に操る人でも、方程式をバランスさせる人でもなく、むしろ芸術家だった…音楽家だけが、デ・ジッターにとって、自分の公式の中で宇宙が新しい形を取っていくのを見ることが何を意味したのかを完全に理解できるだろう。」
そして、宇宙の全体的な形に関する彼らの仕事で、この2人は今日最もよく記憶されている。
ミンコフスキー空間は通常「平坦」と呼ばれるが、これは直感的には最も明確な描写ではない – なぜなら天文学者や数学者にとって、「平坦」は必ずしも平らな紙のような2次元を意味しないからだ。代わりに、それは内在的な曲率がゼロの空間を指す。実際、すぐに私たちは非常に3次元的な「平坦な」形の複数の例に遭遇することになる。
ミンコフスキー空間で描かれる形は、古代ギリシャの数学者ユークリッドにちなんで名付けられたユークリッド幾何学の規則に従う。ユークリッド幾何学は馴染みがないように聞こえるかもしれないが、それは高校数学の基礎だ。例えば、ミンコフスキー空間で描かれる三角形の角の和は180度で、私たちの教師が繰り返し教えようとしたとおりだ。平行線は平行のまま – 永遠に。
しかし、おそらくあなたの教師は、これがすべての三角形に当てはまるわけではないことを教えなかっただろう。そしてその理由を理解するために、月に戻ってみよう…
月の北極の頂上にいることを想像してみよう。月の赤道に向かって南下し、途中でデ・ジッター・クレーターを横切る。赤道に到達したら90度回転し、しばらく赤道に沿って進み、その後もう一度90度回転して北極の出発点に戻る道を取る。あなたの全行程は月の起伏の多い表面に三角形を描く。
しかし、この三角形の底辺にはすでに90度の角が2つある。北極での他の角は0度ではないので、この三角形の角の和は180度より大きくなければならない。実際、球面上に描かれた三角形は最大で540度まで含むことが可能だ。
これは非ユークリッド幾何学の例だ。同様の形の宇宙は閉じていると呼ばれる。月や地球を一周するように、まっすぐ進んでも最終的には一周して出発点に戻ってくる。正の曲率を持つ空間はまた、デ・ジッター空間としても知られている。
しかし、3つ目の可能性もある：反デ・ジッター空間だ。この非ユークリッド幾何学の版では、三角形の角の和は180度未満になる。これは空間の負の曲率によるもので、鞍や、プリングルスのポテトチップスの形に似ている。このような形の宇宙は開いていると呼ばれる。負の曲率は三角形の角を「つまむ」ように作用し、その和が180度未満になる原因となる。では、この3つの選択肢のうち、私たちはどのような宇宙に住んでいるのだろうか？開いているのか、閉じているのか、平坦なのか？
この質問に答えるため、宇宙船が空に巨大な三角形を描くところを想像してみよう。彼らは何百万光年も宇宙を飛行してから地球に戻ってくるだろう – 月の表面に描いた三角形のメガバージョンだ。
もし月の上のように、三角形を完成させるために180度以上回転する必要があるなら、宇宙は正の曲率を持っていると結論付けられる。180度未満の回転で達成できれば、それは負の曲率を示すことになる。三角形の経路がちょうど180度を含む場合にのみ、宇宙は平坦ということになる。
残念ながら、宇宙飛行士はまだ月以上に遠くへ行ったことがなく、私たちの最も遠い宇宙船でさえ、最も近い恒星に到達するのに何万年もかかるだろう。まして銀河を離れて何百万光年も飛行するなどもってのほかだ。
幸いなことに、すでに何十億光年も宇宙を横断して移動してきたものがある：宇宙マイクロ波背景放射（CMB）からの光だ。これは宇宙誕生近くの時期から残された放射線である。
CMBのマップを見ると、小さな温度変動が斑点状に散りばめられている。平均より少し高温または低温の小さな領域だ。それらは赤ちゃん宇宙の中で少し密度が高かったり低かったりした領域に対応する。これらの領域は思春期の宇宙で構造が現れる種となった。より密度の高い領域は徐々により多くの物質を引き寄せ、巨大な銀河超団を構築した。結果として空の領域はより大きくなり、巨大な超空洞を形作った。
ハッブルの法則から宇宙の膨張の歴史を知ることで、天文学者たちは現代の宇宙のメガ構造から遡って、CMBの斑点の大きさを予測することができる。彼らが得た答えは観測と完璧に一致する。そしてこれは、CMBからの光が平坦な宇宙、ミンコフスキー空間の規則に従う宇宙を通って私たちに届いたことを教えてくれる。
次に、天文学者たちは宇宙の「トポロジー」と呼ばれるものを解明しようとしなければならない。トポロジーが意味するものを理解するために、粘土で作られた2つの形を想像してみよう。粘土を破ることなく一方の形をもう一方の形に作り変えることができるなら、2つの形は同じトポロジーを共有している。例えばドーナツは、カップの取っ手の穴をドーナツの中心の穴に作り変えることができるので、ティーカップとマッチする – 破れを作る必要はない。
宇宙は巨大な紙の一枚のようなものかもしれない。その紙を巻くと円筒ができ、円筒の両端をつなぎ合わせるとドーナツができる – 数学者はこれをトーラスと呼ぶ。これらのトポロジーはすべて、その上に描かれた三角形の角の和が180度になるため、平坦とみなされる。
しかし、ユークリッド幾何学の規則に従う平坦な宇宙と整合する3次元のトポロジーは、全部で18種類存在する。
実際、最も単純な選択肢は最初のものだ：無限に引き延ばされた紙のように、宇宙は永遠に続いているということだ。無限の宇宙。これは閉じた宇宙では不可能だ。私たちが見てきたように、必ず最終的に出発点に戻ってくることになり、私たちの勇敢な探検家たちの旅は有限なものとなる。
もし宇宙が本当に無限だとすれば、それは何かの中へ膨張しているのではない。すでにそこにある空間が無限なので、より多くの空間を占めるために大きくなることはできない。
しかし、宇宙は本当に無限なのだろうか？宇宙マイクロ波背景放射の観測と宇宙の見かけの平坦性に合致する他のトポロジーの中には、そうではないものもある。その一つ、3トーラスと呼ばれる形を考えてみよう。
通常の立方体を取り、対向する面の1組を曲げて互いに接着することを想像してみよう。そして残りの2組の面についても同じことをする。結果として3トーラスができる。もし宇宙がこのような形をしているなら、地球から真っ直ぐに離れていくと、最終的には有限の閉じたループで地球に戻ってくることになる。
ハンツシェ–ヴェント多様体を含む他の平坦なトポロジーにも、このような閉じたループがある。これは、2つの立方体を貼り合わせて始め、その後異なる面を曲げて互いに接合することで構築できる。
もし宇宙が本当にそのような閉じたループを持っているなら、私たちは宇宙の鏡の間に住んでいる可能性がある。閉じたループに沿って進む光は、その光が周回することで、同じ天体が空の異なる部分に見えることになるかもしれない。
天文学者たちは宇宙マイクロ波背景放射の中に繰り返されるパターンを探しているが、まだ有意なものは見つかっていない。そのため、宇宙が無限かどうかを断言するのは難しい。ハンツシェ–ヴェント多様体は特に注目を集めている。なぜなら、その複雑な幾何学は実際に繰り返しのパターンを隠してしまうため、天文学者たちがそれを見つけていない理由かもしれないからだ。
事態をさらに悪化させるのは、天文学者たちは宇宙が実際に平坦であることさえ100%確信していないということだ。宇宙論では、このジレンマは「平坦性問題」として知られるようになった。
厳密に言えば、天文学者たちは宇宙マイクロ波背景放射を使って観測可能な宇宙 – 彼らが見ることのできる部分 – の平坦性を測定している。この想像上の境界の向こうにもっと宇宙があると考えられている。
これは天文学者たちに2つの競合する選択肢を残す。1つ目は、宇宙全体が平坦だということだ – 彼らが見える部分も見えない部分も。しかし、天文学者たちがこれが起こる確率を計算すると、天文学的に小さい。
もう1つの選択肢は、ビッグバンが宇宙を大きく膨張させたため、観測可能な宇宙が最初に持っていた曲率が平らにされたというものだ。これは、あなたの足元の地球が平らに見えるのに、地球の表面が曲がっているのと似ている。その曲率は一定の規模を超えないと気付かれず、宇宙ではその規模が観測可能な宇宙の端を超えている可能性がある。
ただし、ハッブルの法則は138億年前のビッグバン以降、どれだけの膨張があったかを教えてくれる。そして観測可能な宇宙を完全に平らにするのに十分な膨張はなかった。
この問題に対する最も一般的に受け入れられている解決策は、宇宙インフレーション理論として知られている。これは宇宙の最初の一瞬に、ハッブルの法則を超えた超高速の膨張期間を挿入する。インフレーションはまた、元のビッグバン理論では説明できない宇宙マイクロ波背景放射の小さな斑点も説明する。
インフレーション理論によれば、斑点は小さな量子のゆらぎが、宇宙が突然大きく膨らんだときに永遠に凍結されたものだ。しかし、このような短く鋭いハッブル膨張のステロイド版が本当に起こったという証拠はまだない。
インフレーションの決定的な証拠を見つけることは、平坦ではない、したがって有限な宇宙の可能性を確実に再浮上させることになる。しかし、それとともに宇宙が何の中へ膨張しているのかという気になる疑問が再び浮上する。
ただし、判明したように、必ずしも何かの中へ膨張する必要はないのだが…
1780年代後半のことだ。アメリカ合衆国はまだ10代に達していない。フランスは、最終的にルイ16世がギロチンの刃に会うことになる混沌とした革命に突入しようとしていた。そしてその間、ドイツでは、カール・フリードリヒ・ガウスという名の若い学童が、数学の授業を注意深く聞いていた。
教師は生徒たちに課題を出したところだった。1から100までの数字をすべて足し合わせなければならない。数秒以内にガウスが声を上げた：「5050です、先生」。教師の顎はギロチンの刃よりも速く落ちた。
これが本当に起こったのかどうかは不明だ。この話は科学の歴史の中の他の伝説的な話と同様、おそらく作り話の仲間入りをしている。アルキメデスが裸で通りを走ったとか、リンゴがニュートンの頭に落ちたという話を思い出してほしい。
実際、数秒以内に5050に到達する秘訣は、面倒に全ての数字を足し合わせる必要がないことに気付くことだ。代わりに、数字をペアにする。1と100。2と99。3と98、というように。各ペアは常に101になる。50のペアがあるので、若いガウスがしなければならなかったのは、101に50をかけて正しい答えの5050を得ることだけだった。
それが起こったかどうかに関わらず、この逸話は、ガウスの幼い年齢からの数学に対する天賦の才能を示すために作られている。彼は史上最も影響力のある – もしかしたら最も影響力のある – 数学者の一人となった。そしてガウスの仕事は最終的に、私たちが宇宙を理解する方法、それが膨張していると言うことの本当の意味、そしてそれが何かの中へ膨張する必要があるかどうかの理解の礎石となった。
先ほど、膨張する宇宙を説明するためにレーズンパンのたとえを使った。銀河を表すコインを表面に貼り付けた膨らむ風船は、よく使われる別のたとえだ。風船を膨らませると、ゴムが伸びるにつれて銀河がより遠くへ移動する。同様に、私たちの原子の結合は非常に強いため、私たちは膨張する宇宙とともには膨張しない。
しかし、膨張する宇宙に対するこれらの日常的なたとえは、すべて限界がある。どちらのシナリオでも、オーブンや部屋など、何かの中へ膨張している。そこで、宇宙自体が何かの中へ膨張する必要なく膨張できる仕組みを理解するために、微分幾何学という当惑させられる数学の分野に入っていく必要がある…
まず始めに、2次元の平面を想像し、それを円筒に巻き上げる。これを達成するには、平面自体を超えた3次元の空間を通って曲げる必要がある。数学者はこの外部の次元を埋め込み空間と呼ぶ。
今、私たちの宇宙が本当にこの円筒のような形をしていて、勇敢な宇宙飛行士たちがその表面に巨大な三角形を描いているところを想像してみよう。その三角形の角の和は、元の平面上と同じように180度になる。宇宙飛行士たちの視点からは、平面と円筒の違いを見分けることはできない。
もちろん、彼らが何らかの方法で円筒の表面を完全に離れ、埋め込み空間から円筒を見ることができない限りは。そうして初めて、それが曲がっていることが分かる。このような形は外在的曲率を持つと言われる – 曲率は形の表面を超えた所からのみ明らかになる。
別の言い方をすれば、円筒は内在的曲率を持たない。そして数学では、内在的曲率はガウス曲率としても知られている。これは、ガウスが1827年に微分幾何学で大きな breakthrough（突破口）を開くことになるからだ。内在的曲率を持たない形 – 円筒を含む – は「平坦」とみなされる。なぜ少し混乱するかが分かるだろう。
しかし、いくつかの形は内在的曲率を持っている。最も明らかな例は球だ。月を横断する旅のように、球面が曲がっているということを知るために、球面を離れる必要はない。大きな三角形の角の和が180度より大きいという事実が、埋め込み空間を必要とせずに、あなたが曲がった表面上にいることを教えてくれる。
ガウスが1827年にこのアイデアの詳細を発表した時、それは「Theorema Egregium」- ラテン語で「驚くべき定理」という意味 – として知られるようになった。平面はガウス曲率がゼロだが、球面はそうではないという事実の興味深い帰結の一つは、世界のすべての地図が正確ではないということだ。3次元の球面の2次元地図は常に歪みを持つことになる。最も一般的な世界地図はメルカトル図法を使用しており、これは物体間の角度を保持し、航海を容易にするように設計されている。しかし、それは面積が歪むことを意味する。
例えば、グリーンランドは実際の14倍の大きさに見える。面積を保持し、代わりに角度を歪めることもできる – ランベルト正積円筒図法のように – しかしガウスのTheorema Egregiumは、何かが常に歪まなければならないことを教えている。
しかし、ここまでは仮説的な円筒や球面、地球の地図について話してきた – 私たちが実際に住んでいる宇宙についてはどうだろうか？
1857年に進んでみよう。76歳のガウスは、かつての弟子の一人であるベルンハルト・リーマンの講義を聴いている。リーマンは、ガウスがTheorema Egregiumを発表する1年前にハノーファーに生まれ、最初は神学を学ぶことを目指したが、代わりにゲッティンゲン大学でガウスの指導の下で数学を学ぶことになった。ガウスはかつて、リーマンには「素晴らしく豊かな独創性がある」と述べている。
1857年の講義で、リーマンは3次元を超えてガウスの微分幾何学の仕事を拡張する方法を説明した。今日これはリーマン幾何学として知られており、これから見ていくように、これは決定的な breakthrough（突破口）となった。
リーマン幾何学の最も重要な概念の一つは測地線だ – 曲がった表面上の2点間の最短経路を表す線。これは次元を下げると奇妙な結果をもたらすことがよくある。
ロンドンとニューヨーク間を毎日30便以上飛ぶフライトを考えてみよう。ロンドンはニューヨークよりも北極に近いので、ビッグアップルに向かう飛行機はイギリスを出発して南に向かうと思うかもしれない。実際には、北に向かい、真っ直ぐに飛んで、それでも結果的に南の方に到着する。この3次元の表面上の直線は、2次元の地図上では曲線に見える。
おそらくさらに奇妙なことに、アラスカからインドまで一度も陸地の上を飛ばずに完全に真っ直ぐに進むことが可能だ。2次元の地図上では、この経路は真っ直ぐからかけ離れているように見える。しかし、宇宙からその経路を見ると、それがいかに真っ直ぐであるかが明確に分かる。
そしてこれらのアイデア – 測地線とリーマン幾何学は、私たちの最もよく検証された重力の説明である、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論の背骨を形成することになる。一般相対性理論は、空間の3次元と時間の1次元が不可分に織り合わされて、時空と呼ばれる4次元の織物を形成していると言う – 実際、時空という用語を作ったのは、アインシュタインの不機嫌な教授であるヘルマン・ミンコフスキーだった。
これは、合計3次元までの曲率しか記述できないガウス微分幾何学では不十分だということを意味する。ガウスの仕事を任意の次元に一般化したリーマン幾何学だけが機能する。
一般相対性理論によれば、巨大な物体の存在が4次元時空を曲げ、この曲率が重力の見かけの力の原因となる。例えば、地球は17世紀にアイザック・ニュートンが提案したように、両者の間に目に見えない引力があるから太陽の周りを回っているのではない。代わりに、太陽が周りの時空の織物を歪め、地球はこの歪みの中を転がるように捕らえられているのだ。
しかし、重力をこのように考えると、一見すると物議を醸す声明に導かれる：地球は直線で太陽の周りを回っているということだ。少なくとも4次元ではそれは真実だ。3次元の表面上の真っ直ぐなロンドンからニューヨークへのフライト経路が2次元の地図上では曲がって見えるように、4次元時空における地球の真っ直ぐな経路は3次元では曲がって見える。
この曲率は、重力レンズ効果として知られる現象で特に顕著だ。遠方の光源からの光が巨大な銀河団に遭遇すると、光の経路はその周りを曲がるように見える。リーマン幾何学によって、天文学者たちはこれを引き起こすのに必要な時空の曲率の量を推定し、それによって銀河団の総質量を推定することができる。通常、銀河団の見える物質をすべて足し合わせても説明できるよりもかなり多くの質量があるように見え、天文学者たちに目に見えない「暗黒」物質が差を埋めているという強い示唆を与える。
そしてこれはすべて、リーマン幾何学を使用することで、一般相対性理論が内在的曲率だけで時空、私たちの宇宙とその膨張を完全に記述できることを意味する。外部の埋め込み空間は必要なく、したがって宇宙が何かの中へ膨張する必要もない。
しかし、あなたが推測したかもしれないように、それがすべてではない。宇宙が何かの中へ膨張する必要がないということは、膨張していないということを意味するわけではないからだ…
太陽系を7ヶ月もの長い旅をした後、次の7分がNASAのパーセベランス探査機の運命を決めることになる。薄い火星の大気圏を時速約2万キロメートルで突っ切り、火星の表面からは昼間の空を照らす巨大な流れ星のように見える。
突然、パラシュートが開いて翻る。探査機は保護殻から現れ、一連のスラスターによって空中で安定を保ち、最後にスカイクレーンから長い操り人形のようなワイヤーで吊り下げられる。探査機が表面に安全に着地すると、スカイクレーンは、ミッションが地球から約5億キロメートルを飛行して探査するジェゼロ・クレーター周辺の原始的な環境を汚染しないように、離れていく。
遠い惑星に車サイズの探査機を着陸させることは並大抵のことではない。しかし、このミッションにはもう一つの、さらに印象的な成果が隠されていた：小型ヘリコプター。インジェニュイティとして知られるこのヘリコプターは、他の惑星で初めての動力飛行を成功させることになる。実際、5回の飛行のために設計されたにもかかわらず、合計72回の飛行を行うことになる。
このような挑戦は、重力の力が実際にいかに弱いかを stark（はっきりと）思い出させる。惑星全体の重みにもかかわらず、この小さな機体 – 胴体がティッシュ箱サイズで、重さがジャガイモの袋ほどしかない – は火星の埃っぽい表面から20メートル以上上昇することができた。
さらに、4つの基本的な力の中で、重力は最も理解されていないという疑わしい栄誉も持っている – 他の3つの力の規則が発見されるずっと前にその規則が発見されたにもかかわらず。これは、重力が私たちの日常生活に最も明らかに影響を与える力であることを考えると、さらに当惑させられる。
力の間の不均衡を強調するために、2つの電子を想像してみよう。彼らの重力的引力は、彼らの間の反発する電磁力より100トレデシリオン倍も弱い。これは1の後に驚くべき43個のゼロが続く数だ。
彼らの力の違いのこの深い溝は、物理学者たちが4つの基本的な力がすべてビッグバンの直後に単一の力として統一されていたと仮定しているため、特に厄介だ。宇宙の最初の数秒の間に、それらは互いから分離していったと考えられている。
実際、電磁力と弱い力がかつて電弱力だったという具体的な証拠はすでにある。そして強い力を記述する規則は電弱力に属する規則とよく似ているため、完璧にフィットするように見える – 私たちはまだ粒子加速器のエネルギーを十分に上げて証明を見つけていないだけだ。
しかし重力は、依然として完全に孤立している。私たちが見てきたように、それはアインシュタインの一般相対性理論によって記述される – この理論は他の3つの力を記述するために使用される量子場理論とうまく協調しない。
そして、もしすべての力がかつて同じ強さだったのなら、何が起こって重力をこのような低い地位に追いやったのだろうか？
答えは、ブレインワールドとして知られるSFのような物理学の分野にあるかもしれない – 埋め込み空間の真に奇妙な理論的な例だ。
これらの理論によれば、私たちの4次元時空は単なる表面 – またはブレイン – であり、「バルク」として知られるより高次元の超空間に埋め込まれている。ブレインという言葉は「メンブレン（膜）」の短縮形だ。
おそらくこれを想像する最も簡単な方法は、次元を一つ下げることだ。空中に浮かぶ中空の球の表面を這うアリを想像してみよう。そのアリは2次元の表面 – ブレイン – に閉じ込められ、3次元のバルクに埋め込まれている。同様に、私たちは少なくとも5次元のバルクに埋め込まれた4次元の表面に住んでいる可能性がある。
ブレインワールドは、重力を他の力と統一しようとする試みの一つである弦理論に根ざしている。弦理論によれば、素粒子は小さな振動する弦でできており、この理論の中で弦楽器を異なる方法で演奏して異なる音を作り出すことができるように、自然はこれらの弦を演奏して異なる粒子を作り出す。
ボソンと呼ばれる粒子の一族は特に重要だ。なぜなら、それらは力を運ぶ役割を担っているからだ。磁石が互いに引き合ったり反発したりできるのは、ボソンを交換することによってのみだ。原子核がグルーオンと呼ばれるボソンを構成要素の間で交換しているため、強い力によって結合されているのだ。
物理学者たちはすでに4つの基本的な力のうち3つのボソンを実験的に確認しているが、重力に関連するものはまだ発見されていない。もし存在するなら、この「グラビトン」は特に見つけるのが難しいことが判明している。
その捉えどころのなさにもかかわらず、グラビトンは、重力が他の3つの基本的な力よりもはるかに弱く見える理由の謎を解く鍵となる可能性があり、宇宙が何の中へ膨張しているのかについての意味を持っている。
弦理論には2種類の弦がある：開いた弦と閉じた弦。ブレインワールドによれば、開いた弦は常に一端をブレインに固定されていなければならない。しかし、ループを形成し実質的に自分自体に固定されている閉じた弦は、バルクの全範囲を自由に移動できる。
グラビトンはそのような閉じた弦でできていると考えられている。言い換えれば、重力の強さは私たちのブレインとバルクの両方に分散している。他の3つの力は、開いた弦のボソンを持つため、ブレインだけに制限されている。そしてもしこれが真実なら、私たちが重力を他の力よりもかなり弱く感じるのも不思議ではない。それは超空間に漏れ出ているのだ。
グラビトン自体を直接発見しなくても、この考えを実験で検証する方法はある。ラージハドロンコライダーのような場所での原子の衝突実験で、通常の粒子の衝突によってグラビトンを生成することが可能かもしれない。もしこれらのグラビトンの一部がバルクに漏れ出ていくなら、データに特徴的な欠落が残されるはずだ。
同様に、物理学者たちは、ヘンリー・キャベンディッシュによる有名な18世紀の実験の現代版で、バルクへの重力の漏れの証拠を見つけることができるかもしれない。この実験は、近接する2つの金属球の間の重力的引力を測定するために設計された。
力は通常、物理学者が逆二乗の法則と呼ぶものに従う。2つの球の間の距離を2倍にすると、重力的引力は4分の1に低下する。距離を3倍にすると9分の1に低下する。磁石間の電磁力の強さについても同じことが言える。
さて、さまよい歩くグラビトンが重力を単一の余分な次元に漏らしているところを想像してみよう。つまり、5次元のバルクだ。重力の強さはより急速に低下し、代わりに逆三乗の法則に従うはずだ。つまり、2つの質量の間の距離を2倍にすると、引力は4分の1ではなく8分の1に低下する。
私たちが観察する重力の見かけの弱さと一致するためには、この逆二乗の法則からのずれは、太陽と天王星の間の距離とほぼ同じ距離で現れるはずだ。
そして明らかに天文学者たちは、このようなずれにすでに気付いているはずだ。外側の2つの惑星の軌道は、内側の惑星とは異なる重力の法則に従うことになる。
しかし、バルクに次元を追加すればするほど、重力が漏れ出す経路は増える。これは逆二乗の法則からのより大きなずれにつながり、重力の強さはより急速に低下する。
また、このずれが明らかになる距離も劇的に減少する。たった2つの余分な次元でさえ、文字通り天文学的な距離から、わずか0.3ミリメートルにまで劇的に低下する。それでもまだ原子のサイズと比べると比較的大きく聞こえるかもしれないが、この規模で重力を測定することは現在の私たちの能力を超えている。
しかし2021年、キャベンディッシュ実験の画期的な現代版が、40ミリメートル離れた90ミリグラムの金の球2つの間の重力的引力を測定した。逆二乗の法則からのずれは見られなかった。おそらくいつか、これを0.3ミリメートル未満まで下げることができ、ついにバルクへ漏れ出る重力の証拠を見ることができるだろう。
しかし、物理学者たちがずれを発見したとしても、それは私たちの宇宙が超空間に埋め込まれたブレインであることの決定的な証拠にはならない。代わりに、重力が漏れ出ている余分な次元は、宇宙自体の一部である可能性があり、目に見えないほど小さく巻き込まれているのかもしれない。
バルクの存在を証明することは、最終的に宇宙が何の中へ膨張しているのかという問いにより具体的な答えを与えてくれる。私たちの4次元宇宙は、潜在的に無限の高次元超空間の中へ成長している可能性がある。
しかし、量子物理学の規則に似たものを再現するために弦理論を使用する別の潜在的な方法がある – AdS/CfT対応という、やや退屈な名前で呼ばれる画期的な発見だ。
AdSの部分は私たちが以前に遭遇したもの：反デ・ジッター空間だ。CfTは共形場理論を表している。素粒子物理学の標準模型の背後にある量子規則は、その素粒子とそれらを支配する力を見事に説明するが、共形場理論の近い親戚である。
AdS/CfT対応がどのように機能するかをよりよく理解するために、3次元の例を見てみよう。
まず、精巧な床のモザイクのような円盤を想像してみよう。それは三角形と四角形で構成されており、反デ・ジッター空間の通常の規則に従う。つまり、三角形の角の和は180度未満で、四角形の角は角で挟まれている。
次に、この円盤の複数のコピーを積み重ねて円筒状の宇宙を形成する。これは3次元の反デ・ジッター空間の例だ。その中のどこで三角形の角を測っても、180度未満になる。しかしこの円筒には、異常で決定的に重要な特性がある。境界上の任意の点に自分を置くと、その直近の空間は代わりにミンコフスキー空間の規則に従う。言い換えれば、この反デ・ジッター空間の境界は平坦なのだ。
私たちの周りの宇宙も平坦に見えることを考えると、私たちの宇宙はより高次元の反デ・ジッター・バルクの境界なのだろうか？それがAdS/CfT対応の背後にある作業仮説だ。
理論的には、バルクは任意の次元を持つことができ、境界は常に1次元少なくなる。AdS/CfT対応の驚くべき点は、5次元の反デ・ジッター・バルクに弦理論を適用すると、4次元境界上の結果として生じる物理学が量子物理学の規則とまったく同じになることだ。それが対応の部分 – バルクと境界の物理学の双子化だ。2つのものは互いにまったく等価なのだ。
しかし、考慮すべき大きな注意点がある。AdS/CfT対応では、境界上の4次元はすべて空間の次元だ。私たちは確かに4次元の宇宙に住んでいるように見えるが、その次元の1つは時間で – 空間の次元は3つだけだ。さらに、境界上に現れる共形場理論は量子物理学と非常に近い一致を示すが、完全な一致ではない。
そのため現時点では、AdS/CfT対応は私たちの現実の完全な記述ではない。しかし、AdS/CfT対応が1990年代後半にアルゼンチンの物理学者フアン・マルダセナによって最初に提案された時、それはホログラフィック原理として知られるより古い理論に活力を与えた。
クレジットカードの裏面のホログラムは3次元に見える錯覚を与えるかもしれないが、実際にはすべての情報は2次元のカードに符号化されている。同様に、AdS/CfT対応では、5次元バルクに関するすべての情報は4次元境界に符号化されている。実際、AdS/CfTはこの理由でマルダセナ双対性と呼ばれることもある。
同じアイデアを1つか2つ次元を下げて適用することも可能だ。私たちの宇宙は3つの空間次元を持っているように見えるが、この宇宙に関するすべての情報が実際には遠い2次元の境界に符号化されているのだろうか？宇宙全体がホログラムなのだろうか？
確かに魅力的な可能性だ – ブラックホールに落ち込む情報に何が起こるかなど、他の厄介な問題を物理学者が解決するのに役立つものだ。しかし、ホログラフィック原理は依然として検証が非常に難しい。
しかし、それは物理学者たちが宇宙の最大の問いの一つへの答えを探る中で、どれほどの精神的な体操と想像の飛躍を進んで耐え忍ぶかを示す素晴らしい例示となっている。
私たちは約1世紀前から宇宙が膨張していることを知っている。ガウスとリーマンの仕事は、宇宙は何かの中へ膨張する必要がないことを教えてくれたアインシュタインへと私たちを導いた。しかし、より高次元というアイデアは消えようとしない。もし私たちがそれらを見つけることができれば、「宇宙は何の中へ膨張しているのか？」は確実に答えられる唯一の記念碑的な問いではないだろう。
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