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ローラ・モードさんとこのお仕事をご一緒させていただく機会をいただき、誠にありがとうございます。ほな、早速やけど、次の問題を考えてみまひょか。まず、コンパクトな双曲面を考えます。体積はg-1掛ける4πですわ。で、それぞれの曲面に対して、ラプラシアンのスペクトルに興味を持つことができます。コンパクトな曲面を考えてるんで、スペクトルは離散的な数列になって無限大に飛んでいく形になります。そして、それは自明な固有値、つまり定数関数に対応するλ0 = 0から始まります。ほんで、その後には数列があって、無限大までずーっと続いていくんやけど、実は、この双曲面をランダムに選ぶわけなんです。そうすることで、これらの数字がランダムな数字になるっちゅう寸法ですわ。ほんで、例えばランダム行列の固有値についてみんなが尋ねるような、あらゆる質問をそれらについて尋ねることができるんやけど、今日は、この問題を扱うんは、最初の非自明な固有値、つまりスペクトルギャップであるλ1だけに絞ります。
で、私はWeil-Petersson測度っちゅう確率測度を使って話を進めていきます。Weil-Petersson測度っちゅうんは、双曲構造の空間上の測度のことですわ。それを詳しく定義するんは、ちょっと大変やからやめときますけど、自然な測度なんです。なんでかっていうたら、双曲構造の空間上のルベーグ測度みたいなもんやからです。ほんで、Weil-Petersson測度は、ルベーグ形式と呼ばれるシンプレクティック形式から来てるんです。けど、他にも確率測度っちゅうんがあって、双曲面をランダムに選ぶ確率的な方法は3つか4つあるんですわ。今回は、Weil-Petersson測度を使ってやっていきます。
ほんで、メインの結果を証明しまっせ。曲面を無限大にする極限、つまり面積を無限大にする極限で話を進めます。言い換えれば、大きな行列を取るようなもんですねん。で、種数が無限大になると、確率1で、スペクトルギャップが少なくとも1/4マイナスεになることを証明します。ここでεは任意の正の数です。この1/4はどこから来たんかっていうたら、まず、ある意味で最適なスペクトルギャップやということを覚えておかなあかんねん。もし領域内に決定論的な上限があるんやったら、それは領域内の最適なスペクトルギャップやということになります。
ほんで、種数が大きい極限があって、種数gのコンパクトな双曲面を取ると、スペクトルギャップは常に最大で1/4プラス種数が無限大になるとゼロになる何か、になるんですわ。で、この決定論的な上限は、1/4プラス1/g以下のレイリー商を持つテスト関数を具体的に示すことで、かなり初等的な方法で証明できます。で、それをするために、曲面が種数gやったら、gに対して線形に成長するレイリーを持っていることに注意しましょか。だから、直径は少なくともlog gみたいに成長するはずやねん。だから、半径がlog gの半分みたいな2つの互いに素な球を見つけることができるわけなんです。ほんで、テスト関数を次のように構築します。この2つの互いに素な球の外側では、テスト関数は消えます。ほんで、2つの球の上では、一方は正で一方は負の2つのコピーを作ります。双曲円板上の大きな球の最初のディリクレ固有関数の2つのコピーを作ります。だから、このテスト関数のレイリー商は、基本的には円板内の大きな球の最初のディリクレ固有値ですわ。で、球の半径が無限大になると、それは1/4になります。
で、この1/4は、双曲円板上のラプラシアンのL2スペクトルの底でもあります。だから、1/4が最良であることがわかるわけですねん。この仕事の動機は、ランダムな正則グラフに対する同様の結果の存在です。それをちょっと記録しておきます。ここで言うグラフは、頂点が辺で結ばれた離散グラフのことです。で、q+1正則っていうんは、すべての頂点が全く同じ数の隣接点を持っているっちゅう意味で、ここではq+1で表してます。ほんで、ここでは、離散ラプラシアンを考えてます。離散ラプラシアンは、頂点上で定義された関数を持っています。頂点xにおけるfの離散ラプラシアンは、xのすべての隣接点yについてのf(y)-f(x)の和です。けど、グラフが正則やったら、これは同じになります。ラプラシアンは、q+1の恒等変換で平行移動しただけの隣接行列と同じになります。だから、正則グラフの隣接行列のスペクトルについて話す方が、ちょっと便利やと私は思うんですわ。で、この場合、自明な固有値はq+1に等しくなり、定数固有関数に対応します。q+1正則グラフの値、双曲円板の1/4の役割を果たす値は、2√qになります。これは、無限のq+1正則ツリー上の隣接行列のスペクトル半径です。
で、アロン予想っちゅう予想があって、フリードマンによって最初に証明されたんやけど、今ではこの予想の証明は4つもあるんです。そのうちの1つは、ごく最近のものなんです。ほんなら、結果は、ランダムな正則グラフを取ると、ここではq、つまり次数は固定されていて、ランダムな正則グラフを取って、ランダムに正則グラフを取って、頂点の数nを固定して、ここでも、いくつかのモデルがあるんやけど、例えば一様測度を入れて、ほんで頂点の数を無限大にするわけですねん。だから、ここでは隣接行列は本当にランダム行列みたいなもんやけど、エントリは非常に依存してるんですわ。で、頂点の数が無限大になると、確率1で、すべての非自明なスペクトルは、2√qプラスε以下になります。εは任意の正の数です。
最初の証明はフリードマンによるもので、ほんで7年ほど前にシャルル・ボルドナーブが新しい証明を与えました。ボルドナーブとフリードマンの証明は両方とも、いわゆるトレース法に基づいてるんやけど、最初はちょっと似てるんやけど、しばらくするとかなり違ってくるんですわ。もっと最近では、ホアンとヤオによるもっと強い結果があります。それは、本当にランダム行列の技術を使ってる、非常に異なる証明なんです。ほんで、今年、チェン、ガルザバル、マリア・ストループ、そしてヴァン・ハンデルによるこの結果の新しい証明が出てきました。で、これらの証明はすべて互いに非常に異なっています。
グラフの場合、qが素数やったら、ラマヌジャングラフの存在を知ってるっちゅうことも言及しておかなあかんねん。だから、すべての非自明なスペクトルが1と2√qの間にあるようなグラフの列の明示的な構成があるんです。εは0です。だから、ラマヌジャングラフは本当に、そう、この式を満たすグラフなんやけど、εは0です。で、qが素数のとき、ラマヌジャングラフが存在することはわかっています。qの任意の値に対してラマヌジャングラフが存在するかどうかを知るっちゅう問題があります。ほんで、約10年前にマーカス・ピマンとスリヴァスタヴァによる確率的な構成があって、ラマヌジャングラフの存在を示してるんです。次数はすべて2部グラフであるっちゅう領域でね。けど、この2つのことは、曲面については知られていません。だから、曲面の場合、今でも、λ1が1/4より大きい、εが0の種数が大きくなる曲面の列があるかどうかはわかりません。
ほんで、マーカス・スピンマンに相当する確率的な構成、マーカス・スピンマンに相当する確率的な構成、そしてスリヴァスタヴァに相当する確率的な構成も、誰もやり方を知りません。だから、ランダムな双曲面の場合、λ1に関する最初の結果は、Weil-Petersson確率測度を使ったオミア・ザカニによるものです。彼女は、確率1でスペクトルギャップが少なくともC以上になるような、明示的な、最適ではないCの存在を示しました。3年前、2つの異なるチーム、つまりアメリカのリップノツキーとホワイト、そして中国のウー・シュイが、ザカニさんが得たこの非明示的な値、つまりCの値を改善することに成功しました。彼らは3/16っちゅう値を見つけたんですねん。で、同じ3/16はマッギ、ンゴ、プダーによっても得られたんやけど、ランダムな、ランダムな、ランダムな曲面の異なるモデルに対してです。それは、与えられた曲面から始めて、同じスペクトルギャップでランダムな被覆を取るときです。
ほんで、スペクトルギャップ1/4マイナスεは、ハイドとマッギによって同じ年に得られました。けど、今回は有限体積の非コンパクトな曲面のモデルに対してです。ここでも、1つの有限体積の非コンパクトな曲面から始めて、ランダムな被覆を取ります。で、この場合、彼らはスペクトルギャップ1/4マイナスεを得ることができました。だから、スペクトルギャップ1/4マイナスεを持つ有限体積の曲面の列が存在することがわかったら、それらをちょっと修正してコンパクトにすることができます。で、これは実際、λ1が少なくとも1/4マイナス小さいo(1)であるコンパクトな双曲面の列が存在するという最初の証明でした。2021年以前は、それは不可能でした。いいえ。そして、私たちの結果は、実際にそれらがWeil-Petersson測度に対して一般的であることを証明しました。
だから、このランダムなもののモデルでは、典型的には単射半径があまり大きくないというのは正しいですか？このモデルでは、典型的には、ええ、いくつかあります、単射半径がε未満である確率はεの2乗のようなものです。正しい。しかし、それはあなたが持っている可能性が高いわけではありません。それは非常に可能性があります。昨年、ローラと一緒にアーカイブに論文を掲載し、λ1は実際には大きな確率で2/9マイナスεよりも大きいことがわかりました。だから、2/9は3/16より大きいことを確認できます。そして今、1/4を証明する方法を知っています。そして、それは5つの論文になります。そして、それは5つの論文になります。
すでに4つがアーカイブにあり、最後の1つは書かれており、私たちは誤植などを確認するために線形に読んでいます。ちなみに、3/16とセルボの3/16は、私の見解では純粋な偶然です。はい、そうだと思いますが、知りたいです。では、実際にはこれらの数字3/16、2/9などはどのようなものなのでしょうか？実際、私たちは無限に多くの論文を書くことができました。なぜなら、任意の整数kに対して、λ1が少なくとも1/4マイナス、つまり1/4kプラス2の2乗マイナスεである確率が1になるという無限の結果のファミリーを持っているからです。そして、kは何になるのでしょうか？ランダム行列を使って人々がやっているように、gの逆冪で特定の積分の漸近展開を行うつもりですが、彼らはnで漸近展開を行います。そして、kはこの漸近展開の係数を理解する次数になります。
だから、k = 0に対応する主要な次数の項だけを理解すれば、ここにk = 0を代入すると3/16が得られることを確認できます。そして、これがライプニッツ・スチュワートとウー・ホイが行ったことで、主要な次数の項を計算しました。そして、誤差は1/gであることを示しました。昨年の私たちの論文では、次の2つの主要な次数の項を手作業で計算しました。だから、この項については、まだ本当に手作業で計算することができますが、今できることは、漸近展開の係数が何であるかを理解するためのより体系的なアプローチを持つことです。
ちなみに、今日の午後、私たちは結果を証明するのにかかる時間をどのように見積もるかについて話し合いました。だから、2020年3月、1か月のロックダウンがあると発表されたとき、私は「ああ、それは素晴らしい。なぜなら、1か月で彼らはCOVIDを取り除くことになるだろうし、それはまさに私が論文を書き終えるのに必要な時間だ」と思いました。ええ、私たちは約4年後にようやく完成しました。私はWeil-Petersson測度について詳しく説明するつもりはありませんが、ご存知のように、確率モデルを定義するのは非常に簡単ですが、問題は確率モデルを設定したら何が計算できるのかということです。そして、Weil-Petersson確率測度については、多くのことを計算することができないことがわかりました。それでも、ミルザカニの仕事のおかげで、いくつかのことを計算することができます。
そして、通常、ミルザカニの仕事のおかげで計算できるのは、この種の積分、非常に特殊なタイプの積分です。だから、これは双曲構造のモジュライ空間上の積分です。そして、ここでは非常に特殊なタイプのテスト、確率変数のテストを統合しています。fはコンパクトなサポートを持つテスト関数です。そして、ここで確率変数は、すべての単純な測地線のγの長さのfの合計です。そして、ミルザカニは、Weil-Petersson確率測度に関してこれをどのように統合するかを教えてくれます。だから、彼女は最初に密度があることを示しました。だから、それはfと密度の積の積分に等しいです。だから、ここでgは種数を表し、ここでsは単純な測地線を考えていることを覚えておくためのものです。
そして、単純とは自己交差がないことを意味します。そして、彼女はフィッツ種数に対して、この密度が実際には多項式であることを示しました。そして、それらはトポロジカルな再帰と呼ばれるものによって、理論的には種数の帰納法によって明示的に計算することができます。だから、ラミロ、ジーゲルの公式では、まあ、それはラブクラフト、フラットトーラスに戻るかもしれませんが、それは非常に似ています。ええ。それは、フラットトーラスの、ヴィーチの公式もあります。彼はこれを一般化しました。それはこれと関係がありますか？知っていますか？タイヒミュラー力学におけるヴィーチ・ジーゲルの公式。それはまた、とにかく、これはフラットトーラスでは、これは単純な長さの合計であり、フラットトーラスの空間上で積分されたものは、ある測度に対する、の関数の積分に等しいです。
しかし、トーラスの場合、ここでの測度ははるかに単純だと思います。一方、ここでは、それは本当に多くの仕事です。すべての仕事は、ええ、わかりました。いいえ、私はちょうどヴィーチ、ヴィーチが何であるか疑問に思っていました。それは単純な曲線への単純な制限として、それは単純な制限ではありません。さて、他の場合には、ゼータ関数が得られます。そこにあるパラメータsは何ですか？sは、それが単純であることを覚えておくためのものです。それはすべての測地線に対する合計ではなく、自己交差を持たない単純なものだけです。ええ、それはもちろん単純です。そして、実際には、の意味は、このものの意味は、説明するのはそれほど難しくありません。
それは、単純な曲線があるとき、それを表面から取り出して、単純な曲線の補集合を考えると、それは双曲構造のモジュライ空間の体積であり、曲線の補集合です。ええ、撤回します。「単純」という言葉は、イーロンが言うように、非常に重要です。ええ、忘れました。そして、実際には、マルチカーブの公式もあります。だから、同じ種類の公式です。さて、あなたは、あなたはマルチ測地線を持っています。だから、m個の単純な測地線があり、それらは互いに素でなければなりません。そして、あなたはテスト関数を持っています。それは今ではm変数のテスト関数です。そして、あなたが統合したい確率変数は、γ1の長さなど、γ2の長さのfを持つm個の成分を持つすべてのマルチ測地線の合計です。
そして、再び密度があります。ミルザはそれをL1、Lmの多項式にすることを発行しました。そして、それは特定のトポロジカルな再帰を満たす可能性があります。だから、あなたは、私たちはこれを持っていることがわかります、非常に素晴らしい公式ですが、一方、私たちは非常に特定のタイプの確率変数しか統合できません。それらは、ええ、それらは単純な測地線にのみ依存します。そして、ここでのこの合計のために、これらの確率変数はタイヒミュラー空間に非常に簡単に持ち上げることができます。そこにあるトポロジカルという言葉は、数gを指しているのですか、それとも何か他のものですか？トポロジカルな再帰と言うときですか？ええ。はい、それは、つまり、再び、ここにあるこのものは、それが定義される方法は、あなたの表面にこのm個の測地線があるということです。そして、補集合を考えると、境界を持つ表面が得られます。
そして、それは実際には、ええ、それはより小さな種数を持っています。あなたは、だからこれは曲線の補集合上のすべての双曲構造のモジュライ空間の体積です。そして、あなたはこれを繰り返すことができます。そして、オイラー標数を減らして、かなり複雑な再帰公式を見つけます。つまり、再帰はかなり複雑ですが。私たちのアプローチは、フリードマンまたはゴルドノフの証明とまったく同じように、トレース法に依存しています。そして、ここではセルバーグトレース公式を使用します。私はそれを分布形式で書きました。だから、λj = 1/4 + rjの2乗とすることで固有値λjを再パラメータ化するのが一般的です。そして、トレース公式は、一方の辺はすべての固有値の合計であり、もう一方の辺はすべての周期的測地線の合計であるという等式を与えます。
そして、私はこのように書きました。なぜなら、正則グラフの類似を知っている人にとっては、正則グラフと非常によく似ているからです。だから、ここでtは任意のパラメータです。ここでは、すべての固有値の合計があります。そして、ここでは、トポロジカル項と呼ばれる項があります。なぜなら、それは種数にのみ依存し、双曲メトリックには依存しないからです。そして、ここのこの部分は双曲メトリックに依存します。それはすべての周期的測地線の合計です。ここでは、L（γ）= tにディラックの質量があります。そして、後の分析では、ここのこの項は非常に重要になります。1/双曲線正弦（r/2の長さ）。だから、ここでは2つの分布の間の等式です。この合計は収束していません。そして、ここではディラックの質量があります。
だから、通常、人々はテスト関数に沿って統合することを好みます。だから、私はテスト関数、再スケーリングされたテスト関数を検討するつもりです。だから、φはある固定されたテスト関数ですが、私はそれをある数Lで再スケーリングしました。そして、Lの選択は分析において非常に重要になります。そして、ここでは前のスライドの両辺をφに関して統合するだけです。だから、ここではφLのフーリエ変換があります。ここにもフーリエ変換があります。そして、ここではすべての周期的測地線の合計があります。そして、ここではφL（L（γ））が得られます。特に、ここでのこの合計には、長さL未満の周期的測地線のみが含まれます。そして、ゲームはLを無限大にすることです。だから、Lはある時点で無限大になるでしょうが、どのようにするかを言わなければなりません。
そして、わかることは、1/4未満の固有値は複素数のrjに対応するということです。そして、ここに複素数のrjを入れると、実際にはフーリエ変換ではなく、成長する指数関数が得られます。だから、1/4未満の固有値は、Lが無限大になるときのこの量の指数関数的成長の原因となります。だから、私たちはそれを逆に使うつもりです。1/4未満の固有値がないことを示したい場合は、この量が準指数関数的に高速であることを示さなければなりません。ここでは要約されています。だから、λ1が1/4マイナスαの2乗マイナスε未満の場合、フーリエ変換φハットL（r1）は少なくとも指数関数αLプラスεのようになります。
だから、なぜこれらの2つのパラメータ、αとεがあるのか疑問に思うかもしれませんが、それらは異なる役割を果たします。αはある固定された数です。たとえば、3/16が必要な場合は、αを1/4にするとします。一方、εは任意の小さな量です。そして、しばらくすると、スライドにεを書くのをやめると思いますが、αは常に非常に重要です。それはそこにあるでしょう。そして、これは今のところ決定論的なステートメントです。そして、与えられた双曲面がある場合は、これを使用して小さな固有値の距離を引き出すことができます。そして、実際には、ブルッカーとストロング・バーソンによる論文があり、彼らは特定の算術曲面に対してそれを行います。彼らはトレース公式を書くためにこの事実を使用し、特定の曲面には固有値がないことを示しています。つまり、彼らはスペクトルギャップを推定することができます。しかし、私たちはそれを確率的な方法で使用するつもりです。
だから、私たちはこれを2つの確率の間の不等式に変換します。λ1が1/4マイナスαの2乗未満である確率は、φハット（r1）が少なくともφの指数関数である確率よりも小さくなります。そして今、私たちはモーメント法を行うときに誰もが行うことを行います。ある時点で確率を推定したい場合は、マルコフの不等式を使用する必要があります。または、それはシフトする必要があります。そして、それは非常に準最適です。このステップは非常に準最適ですが、ある時点で誰もがそれを行わなければなりません。だから、この確率は実際には少なくなります。だから、これはφハットL（r1）の期待値を指数関数αLで割ったものよりも小さくなります。だから、実際には示したいのです。この量がゼロになるようなLとαを見つけたいのです。
だから、φハット（r1）の期待値は、ここでも準最適なことを行います。私たちはそれがすべての固有値の合計よりも小さいと言います。そうするために、非負のフーリエ変換を持つテスト関数を選択します。しかし、このステップにより、トレース公式を使用して、この量をトレース公式の幾何学的側面の期待値と等しくすることができます。すみません、最初のステップでの損失と、なぜそれを使用する必要があるのかをもう一度説明していただけますか？まあ、それは非常に頻繁に、ええ、ある確率変数が大きい確率を評価したい場合は、モーメントを推定する必要があります。ちなみに、最初のステップです。ええ、あなたはそれを言いました。ああ、私たちは実際には、これが私たちが見積もりたいものですが、私たちはそれをすべての固有値の合計で見積もります。これはトレース公式を使用できるようにするためです。それがそれほど大きな損失だとは思いませんが、おそらく、小さな固有値の数に対する事前推定はgで線形であるということです。だから、それは事前にはg個の小さな固有値のようになります。だから、それは、つまり、ここでは完全には明らかではありません。先験的に、あなたは何かを使うかもしれませんが。
それはそれほど悪くはありません。しかし、これは、これは本当に、私たちが本当に多くを失う場所だと思います。しかし、ええ、通常、モーメントは確率を推定するのに役立ちます。だから、この議論の結論は、λ1が1/4マイナスfの2乗未満である確率がゼロになることを示したい場合は、これら2つのものの合計を示すだけで十分だということです。だから、トレース公式の幾何学的部分の期待値は、最大で指数関数αLのように成長します。そして今、私はLをどのように選択するかを言わなければなりません。大文字のL。だから、ここでは大文字のL未満の長さのすべての周期的測地線を含む合計が表示されます。だから、Lが速すぎると、測地線の指数関数的な増殖があるので、これは研究するのが非常に難しいだろうと推測できます。
一方、この方法では、ここのこの項、トポロジカル項があり、それは決定論的であり、種数とともに線形に成長します。そして、それは常にそこにあるでしょう。だから、それをこの指数関数に吸収させたい場合は、Lを少なくともlog g /αにする必要があります。だから、私たちは常に種数の対数である長さスケールで作業します。そして、対数の前の定数が非常に重要になることがわかります。αをできるだけ小さくしたい場合は、ここに大きな定数が必要になります。だから、見てみましょう。それが私たちが見積もりたい主な量です。このすべての周期的測地線の合計の期待値です。
そして、ローラの修士論文の冒頭で、私たちが行ったのは、単純な測地線の寄与を見積もることだけでした。だから、ここでは本当にすべての可能なトポロジーがありますが、ミルザカニと彼の仕事を使って、単純なものの寄与だけを見積もりましょう。なぜなら、これには公式があるからです。だから、閉じた測地線のこのものへの寄与はまさにそれです。だから、ここにはミルザカニと彼の体積多項式があります。そして、ここではトレース公式から得られるテスト関数が正確にあります。そして、再び、分母にこの指数関数的減衰があることは非常に重要になります。そして、モジュライ空間の総体積であるVgで割ります。これは、確率測度を確率測度にするためです。
だから、ええ、この量を見てみましょう。トポロジカルな再帰を使用して、ミルザカニとペトリは、種数が無限大になるときの体積多項式の動作についていくつかの推定を行うことができました。だから、すべての固定された種数に対して、この密度は多項式です。しかし、種数が無限大になると、それは指数関数的に速く動作します。それは動作します、彼らは正確な漸近を持っています。それはsinh L / 2の2乗のように動作します。だから、私たちは本当に交換することができます。Lも無限大になりますよね？Lは基本的にlog gのようなものです。はい、しかし、誤差項はこれがすでにミルザカニ・ペトリにあることを知るのに十分です。誤差項はいいです。誤差項は十分です。Lがgの平方根であっても、誤差項は小さいことがわかります。
だから、この密度をその主要な動作に置き換えることができます。そして、面白いことがあります。sinhの単純化があります。だから、sinhの1つが消えますが、まだ残っているものがあります。だから、テスト関数sinh（L）/ 2の積の積分が得られます。そして、テスト関数は0Lでサポートされているので、大文字のLが無限大になると、指数関数L / 2のように動作することがはっきりとわかります。これは私たちが望んでいたものではありませんでした。私たちは準指数関数的な動作を望んでいました。一方、私たちはよく理解しています。だから、最初に、これを見つけて少しがっかりしました。しかし、すぐに、私たちはそれがどこから来たのかを理解しました。常に自明な固有値λ0があり、それは0に等しく、私はそこにはないと主張しましたが、それはそこにあります。
そして、自明な固有値はr0 = i / 2に対応します。そして、それをトレース公式に入れて、ええと、ええと、トレース公式の自明な固有値の寄与を見ると、スペクトル側では、それも指数関数L / 2のオーダーです。だから、ここでこの指数関数的な動作を見るのは驚くべきことではありません。それはそうでしょう。だから、はい、単純な測地線から来る幾何学的側面に指数関数的な動作が1つあることがわかります。そして、自明な固有値から来る指数関数的な動作が1つあります。そして、実際には、LiPnetskyが書いたことと私たちが行ったことは、彼らはこの2つの指数関数的な寄与を正確に計算したということです。そして、それらは同じであることを示しました。それらは単純化できます。そして、彼らは残りの項を分析しました。
そして、それが彼らが360を得た方法です。何らかの理由で、この指数関数の前の係数を計算することは決してありませんでした。だから、両側にこの非常に素晴らしい単純化があるとは思わなかったのです。私たちは悲観的すぎました。私たちは試みもしませんでした。だから、Lまでは、実際にはほとんどの閉じた測地線は単純です。そうですか？はい。しかし、すべてではありません。それらがすべて単純であることがわかっていたら、それは本当に私たちの人生を楽にするでしょう。それらのほとんどは単純です。しかし、事後に、どういうわけかあなたの議論から、それらのほとんどが単純であることがわかりますか？それは何かです。それは実際にはウー・シュイが証明したことです。それは実際にはgの平方根まででさえほとんどが単純であることがわかります。はい、gの平方根。それは理にかなっています。しかし、それらのほとんどまたはすべてと言うことは大きな違いを生みます。なぜなら、単純でないものを捨てることはできないからです。特に、モーメント法では、単純でないものが寄与します。しかし、これらの2つのチームが行ったのは、単純な固有値の指数関数的な寄与が単純な測地線によって正確にバランスされていることを示すことでした。
だから、私たちは別のことをしました。自明な固有値を取り除く方法を見つけなければならないと思いました。だから、ゼロで消えるスペクトル側のテスト関数を取りましょう。そして、それを行う簡単な方法は、前に持っていたこの項に1/4プラスrgの2乗をある冪乗に掛けるだけです。λ0に対して、消えるテスト関数があることを確認するためです。そして、あなたはそれを知っています。これは、フーリエ変換に1/4プラスrgの2乗を掛けることに相当します。そして、フーリエ変換に多項式を掛けると、微分演算子を適用することになることがわかります。だから、ここでの微分演算子は1/4マイナスDの2乗です。だから、幾何学的側面では、テスト関数は今、この微分演算子を適用することによって変更されます。そして、前に行ったことをもう一度やってみましょう。繰り返しますが、今度は単純な測地線の寄与を調べてみましょう。それは今では準指数関数的であるはずですが、なぜなのかを知る必要があります。
だから、私はまったく同じ計算をします。しかし、最後に、私は積分を取得します。だから、今、唯一の変更は、テスト関数がこの微分演算子を適用されたことです。そして今、私たちは部分積分を行うことができます。ミルザカニが確率が正であることを証明するとき、彼女はゼロ固有値にも直面するでしょう。彼女はどのように回避したのですか？彼女は実際にはチリアー定数が下に有界であることを証明しました。だから、彼女はλ1に関する質問をチリアー定数に関する質問に直接翻訳しました。わかりました、それでは、この演算子は対称なので、部分積分を行うことができます。そして、この演算子はL / 2の双曲線側で正確に消えることがわかります。だから、残されているのはすべて境界項であり、それはゼロの寄与から来ています。だから、今、この積分は、先験的に指数関数的に速く成長していましたが、実際にはキャンセルがあり、実際には有界です。
わかりました、それでは。誰かがそれを好きではありません。私がそれを押したときですか？それはいつも私の年齢以上の男です。わかりました、それは非常に有望に見えますが、それは仕事の始まりにすぎません。やらなければならないことがたくさんあります。だから、まず、部分積分は、私たちが半古典を行うとき、人々が常に行うことです。そして、私たちは皆、関数を主要な次数の項に置き換えると、導関数を取ることができるのに十分ではないことを知っています。だから、私たちはすでに単純な曲線のために、導関数のレベルでそれが成り立つかどうかを知るために推定を改良する必要があります。次に、それを単純でない測地線に拡張できる必要があります。そして、これは大きな課題です。なぜなら、ええ、ミエルチャク・レニーの公式は常に単純な測地線に関するものだったからです。そして、私たちは対処できる必要があるすべてのトポロジーに対するこの無限の合計を持っています。
単純でない曲線について話すとき、あなたはせいぜい2回自分自身と交差する曲線と言いますか？ああ、少しずつ明らかになると思います。先験的に、いいえ、先験的に、私たちはできません、私たちはできません。あまり努力せずに先験的にできる唯一のことは、曲線の長さがlog gの倍数よりも小さいことがわかっている場合は、非常に小さな確率のセットを削除できるということです。そして、曲線が部分曲面にとどまると仮定できます。オイラー標数の。正確な、おそらく正方形のようなものを忘れました。だから、唯一のこと、先験的に言うことができる唯一のことは有限であるということです。つまり、超小のセットを削除することを法として、曲線で満たされた表面のオイラー標数は有限であると言うことができますが、それは集合の数を含意するものではありません。
だから、このようにしても、私たちは、それは可能なトポロジーの数が有限であるという意味ではありません。そして、これは本当に証明の大きな問題でした。だから、私たちは周期的地理学のために私たちがローカルトポロジカルタイプと呼んだものを導入しました。そして、私は正式な定義を書くつもりはありませんが、これらは3つ、おそらく、またはこれらは3つの可能なローカルトポロジカルタイプです。だから、ローカルトポロジカルタイプはある境界を持つ表面になるでしょう。そして、表面には曲線、閉曲線Cがあり、私はそれを表面を埋めるように求めます。だから、これらは、そしてこれは、画像が同じであると言うある種の同値関係を法としています。だから、これらは2つの可能な、3つの可能なローカルトポロジカルタイプです。そして今、私たちが、私たちが、私たちがgsgの表面を持っているとき、そして表面に閉曲線がある場合、私たちが曲線のローカルトポロジカルタイプと呼ぶものは、曲線の小さな管状近傍を取ることによって得られます。そして、このローカルな画像は、私たちがトポロジタイプと呼ぶものです。
そして、この定義では、主題に少し精通している人にとっては、それは人々が呼ぶものではないという事実を強調したいと思います。それはマッピングクラスグループの軌道と同じ概念ではありません。だから、たとえば、私たちの定義では、私が絵を描くことができれば見てみましょう。私はあまり上手ではありません。そして、これらの2つの曲線は、私たちの定義では、これらの2つの曲線は同じローカルトポロジカルタイプを持つでしょう。この曲線をその曲線に送信するグローバルな微分同相写像はありませんが。だから、通常、主題では、人々がマッピングクラスグループの軌道について話すとき、これはより弱い概念であり、それは、この概念が良いのは、異なる遺伝子の異なる表面にある曲線のトポロジーを比較できるからです。それは、曲線の小さな近傍がどのように見えるかを考慮に入れるだけです。
だから今、私たちが2年前に証明したことは、より一般的な公式があるということです。今、私たちが次のタイプの確率変数を考えると、私たちはトポロジタイプを修正します。たとえば、フィギュアエイト。そして、私たちはL（γ）のfのタイプTを持つすべての周期的測地線の合計のように見える確率変数を考えます。そして、私たちはモジュライ空間でこの確率変数の積分を計算したいと思います。私たちは最初に確認しましたが、これはそれほど難しくありません。それはある程度の密度を持っているということです。だから、ここでも、今はTは曲線のトポロジタイプを表し、gは種数を表します。フィッチ種数の場合、それは小さなトポロジタイプです。種数、私たちは
この関数についてはあまり知りません。それはおそらく多項式ではありませんが、おそらく多項式によく似ています。しかし、私たちが行ったことは、だから私は今、これらの関数をフィッチ種数について調査している博士課程の学生がいます。私たちは大きな種数の動作だけが必要でした。そして、私たちは今のところ、Tは固定されていることを示しました。私たちは、この体積関数を総体積で再正規化すると、漸近展開があることを示しました。実際、展開の存在は主にミルザクレンとゾパによるものです。しかし、私たちの貢献は、係数について何かを理解することです。トポロジタイプの代わりに、マッピングテレスコープの軌道を取ったらどうなるでしょうか？問題は、種数が変化しているため、軌道の数も増加することです。しかし、つまり、漸近とは何ですか？だから私が尋ねているのは、マッピングの、マリアムがしたことにより近いマッピングの軌道を取った場合です。はい。しかし、まず第一に、種数を増やしたい場合は、マッピングクラスグループの1つの軌道を合わせることはあまり意味がありません。
そして、とにかく、どの軌道が主要な次数に寄与するのかを知っています。それは常に次数を切断しないものです。だから、私たちは実際にすべての軌道をまとめますが、どれが主な貢献をするのかを知っています。しかし、マッピングクラスグループの軌道に分離しない主な理由は、種数が変化すると、実際には意味がないということです。だから、私たちがこれらの係数について知っていることは、これらの係数のそれぞれが、フリードマンの用語でラマヌジャン関数と呼ばれるものであるということです。わかった。わかった。そして、私たちの論文では、私たちは知りません、私はそれが本当に正しいかどうか知りませんでした。これは彼の用語ですが、ラマヌジャンがそれとは何か関係があるかどうかは本当にわかりません。つまり、彼がラマヌジャンのランダム性を証明しようとしているからだと思います。はい。
だから今、論文では、私たちはそれらをフリードマンまたはラマヌジャンと呼んでいます。だから、ラマヌジャン関数とは、非常に正確な主要な次数の項が1つあることを意味します。それは指数関数LとLの多項式の積です。わかった。そして、多項式と指数関数L / 2の積である剰余項があります。待って、待って。ここで何が成長していますか？だから、Tは固定されています。Tは固定されています。Kと小文字のl、あなたがそれを書くとき。Kは固定されています。わかった。小文字のl。ええ。これは本当に、1つの関数がある場合、つまり、それがこのような場合、Lとgの両方が移動しますが、別々に移動します。だから、どういうわけか。つまり、この関数は本当にこれで定義されています。だから、それはすべての上に定義された関数です。それは本当に正の数で定義された関数です。
そして、これはすべての正の数に対して当てはまります。そして、実際には、つまり、これは少し技術的ですが、多項式の次数さえわかっています。これは証明に必要ですが、今日の議論にはあまり関係ないかもしれません。しかし、それがk、つまり展開の次数と、ここのこの表面のオイラー標数にのみ依存することがわかっています。だから、次数は同じ表面にとどまるすべての曲線で同じです。おそらく、ジョエル・フリードマンとのストーリーについてもう少しお話します。
まず第一に、多くの人と同じように、私たちは彼の論文を読むことができませんでした。それは本当に長すぎて、用語はあまり友好的ではありません。そして、彼は後で自分が使用しない多くの情報を入れたと思います。だから、読むのは非常に難しいです。だから、まず第一に、私たちのアイデアは、シャープ・ボーデン・アルフスの証明を理解することでした。しかし、ある時点で、彼がランダムグラフに対して推定していて、ランダム表面に対しては推定できない量があります。なぜなら、私が言ったように、私たちが実際に推定できる確率変数は非常に少ないからです。だから、私たちがそれに気づいた後、私たちは自分のやり方で物事をしようと決心しました。そして、それは非常にゆっくりと進みました。
そして、ある日、私はマーヴィンの3か月の論文の1つをもう一度読み始め、私たちがやろうとしていたことと少し似ていることに気づいたので、ほんの少しだけ理解し始めました。そして、それらのほんの少しを理解したことで、実際にはより速いペースで進むことができました。しかし、それでも、2年前、私たちは彼の論文の約60％を理解し、行き詰まりました。しかし、私は彼に初めて会いました。スティーブ・ゼルディッチが主催する会議で、北西部の町で。そして、彼に会って、彼は実際には私が理解していなかった部分を説明してくれました。そして、それは私たちが証明を終えるのに役立ちました。そして今、私はおそらく95％を理解していると思います。だから、結局、私たちの証明は彼の証明と非常によく似ていますが、私たちがやろうとしていたことを理解するのに本当に時間がかかりました。
しかし、たとえば、このTの類似物は何でしょうか？はい。だから、彼は、彼がそれを形式と呼んでいると思います。だから、ええと、たとえば、グラフがある場合、非バッテリーがあります。だから、通常、彼の論文では、彼はそれらを形式と呼んでいると思います。だから、ええ、通常、たとえば、グラフがある場合、非バッテリーがあります。だから、私がやっているフィギュアエイトを配置するものは、このようなパスになると思います。そして、与えられたグラフでは、各部分の長さがわかりますが、トポロジタイプは、各部分の長さを忘れたこの図だけです。
これらはこれらの絡み合いではありませんよね？いいえ、絡み合いは後で出てきます。私たちにもそれらがあります。わかった。わかった、だから明日はこの証明方法を説明しようと思います。おそらくこれをスキップさせてください。しかし、ラマヌジャン関数に関する素晴らしい点は、私がすでに特定のケースで使用したこの一般的な部分積分の補題があるということです。だから、ラマヌジャン関数があり、多項式の次数がmマイナス1未満であることがわかっているとします。だから彼がそれをラマヌジャンと呼んでいる理由は、eのl / 2乗があるからだと思います。eのlの平方根。主要な項はあなたがする必要があるものです。
だから、私たちがトレース公式の期待値を取るときに遭遇する種類のもの、そしてもし私たちが漸近展開を内部に入れるならば、私たちはf（l）の積分を持つことになります。fは係数の1つになります。それが私たちが得るものです。そして、それはだから、この双曲線正弦（L / 2）で割ることになります。これはトレース公式から来ています。ここでは指数関数に置き換えられました。だから、ここでのこのことは非常に重要です。そして、それは本当にすでにトレース公式にあります。そして、私たちは微分演算子の特定の冪を適用するテスト関数に関して統合する必要があります。そして、mを少なくとも多項式の次数プラス1に選択すると、dのm乗が次数mマイナス1の多項式と指数関数Lの積である関数を正確にキーとするという事実を使用できます。
だから、この積分では、先験的にこの項のために指数関数的に速く成長するはずですが、部分積分のためにキャンセルがあります。だから、ここでの剰余項に由来する多項式項が1つあります。そして、ここでは積分がゼロから始まるという事実から来る境界項があります。だから、これは有界関数です。そして、実際には、私たちは係数についてあまり気にしません。だから、もし私たちが今それを使ってここのこの項を推定することができれば。そして、今のところの結果は次のとおりです。今のところ、私たちはまだ1つのトポロジーまたは有限のトポロジーのセットを修正しています。だから、もし私たちが有限の曲線のトポロジーのセットを持っているならば、そしてもし私たちが漸近展開を行う準備ができている次数である整数kを選択するならば、私たちは有限個の多項式を得ます。
そして、mを十分に大きくすると、この部分積分を行うことができます。そして、私たちが得るもの、部分積分から残された有界項が1つあります。そして、剰余項に由来するものがあります。だから、これはまだ指数関数的に速く成長していますが、jのkプラス1乗で割られるという事実によって補償されます。しかし、繰り返しますが、それは非常に有望に見えますが、今ではすべての可能なトポロジーを合計する必要があります。そして、私たちは先験的に有限個のトポロジーに注意を制限できるかどうかを知りません。そして、ここには本当の問題があり、フリードマンはすでに彼の仕事でそれに遭遇しました。そして、それが彼が標準を導入しなければならなかった理由です。
そして、私はこの問題をもう少し説明することができます。実際、今のところ、なぜトポロジーを修正することにしたのか疑問に思うかもしれません。なぜなら、実際には、すべての測地線の合計を取ると、つまり、この男の積分を計算したい場合は、すべての測地線について、トポロジーを修正せずに、密度があるのは事実です。密度があるのは事実であり、この密度が漸近展開を持っているのは事実です。
すべてのトポロジーをまとめれば、それを行うことができます。真実ではないのは、これらの関数がラマヌジャン関数であるということです。そして、同じことが正則グラフにも当てはまります。私はそれを命題と呼んでいますが、それはむしろ失望です。それは、すべてのトポロジーを直接扱うことができると考えるのはそれほど素朴ではないことを示す命題です。実際、最初のf1はラマヌジャン関数ではないことを示すことができます。
任意のトポロジーに対してラマヌジャン関数がある場合でも、すべてを合計できるように物事は十分に均一ではありません。それを証明する方法は実際には対偶によるものです。だから、もしそれがラマヌジャン関数だったら、それはラマヌジャン関数ではありません。私たちの方法はそのことを証明するでしょう、だからしましょう。だから、ここでいくつかの間隔を選択することができ、その方法はここで固有値を持つ確率がこのように減衰することを証明するでしょう。それはgの任意の冪よりも速く減衰します。半古典の表記法を借りれば、gの無限大のように。だから、もしそれがラマヌジャン関数だったら、実際にはここで固有値を持つ確率が本当に小さいことを証明できます。しかし、実際には、小さな固有値を持つ表面をいくつか示すことができます。そして、例を示すだけで、小さな固有値を持つ確率が本当に小さいことを示すことができます。
だから、もし私たちがλ1を示すならば、それはゼロになりますが、おそらく少なくとも3/2、私は私たちが何を得るのか覚えていません。だから、それはゼロになりますが、超高速ではありません。だから、指数を見るだけで、すべてのトポロジーを合計している場合、その方法は失敗する運命にあることがわかります。そして、これはフリードマンがグラフで見たものでもあります。だから、そこで彼は絡み合いを導入しました。だから、私たちも、だから私たちは、この問題の理由を正確に理解しているという根本的なポイントがあります。そして、この問題の理由は、確率をモーメントで推定するモーメント法から本当に来ています。いくつかの、それは非常に小さなλ1を持つ小さな表面のセットがある可能性があります。
そして、あなたが推定しようとしていた期待値は、大丈夫でした、あなたは非常に小さな確率のセットを持つことができますが、それはモーメントに大きく貢献します。そして、根本的な点は、この小さな表面のセットを正確に識別できるということです。そして、私たちはそれらを絡み合いと呼んでいます。だから実際には今、私たちは、だから私はあまり議論するつもりはありません、絡み合い、絡み合いの私たちの定義は、フリードマンの定義ではなく、実際にはボーデンハブの定義に近いです。だから、私は絡み合いについてあまり議論するつもりはありません。だから、あなたが禁止しなければならないことは、小さな単射半径です。そして、そうすることで、あなたは総確率でεを失い、小さなペアのバンドを削除する必要があります。
だから、私たちは絡み合いのない表面のセットを条件とする必要があります。だから、私たちは実際には確率モデルですべてのことを行います。そこでは、表面が絡み合いのないことを条件とします。そして、私たちはすべてを持っています。だから、同じ計算ですが、このインジケーター関数を使用すると、このインジケーター関数は非常に大きな問題の原因になります。なぜなら、それは滑らかではなく、おそらくさらに悪いことに、インジケーター関数だからです。それはモジュライ空間で異なる関数ですが、私たちはそれをタイヒミュラー空間に持ち上げる方法を知りません。そして、ここでは、だから今日は、そしておそらく明日も、私は私たちがこれで何をするかを詳細に説明するつもりはありません。これは、私たちが2022年に完全に立ち往生した場所です。そして、フリードマンは彼の論文で、包含と除外の公式を使用していると説明しています。だから、このインジケーター関数は、値0と1しか取らないため、一見良さそうに見えますが、時には、それほど良くないもの、つまり交互の合計に置き換える方が良い場合があります。それは終わりませんが、これらのことは実際には統合するのがより簡単であることがわかります。だから、私たちは包含と除外の公式を使用します。あるいは、彼はそれをメビウスの反転公式と呼んで、これに対処します。私はまったく説明するつもりはありませんが、結果は、私たちは、だからこれはアーカイブです、このメビウスの反転公式です。私たちはそれを昨年1月にアーカイブに載せました。だから最後に。同じ方法が機能しますが、条件付きモデルの場合はさらに多くの汗をかきます。
そして、最後に、私たちは、そしてこれが最後のスライドです。最後に、私たちは、ファイアハート（r1）の期待値を評価するために必要なものが以下よりも小さいことを示すことができます。だから、セルバックトレース公式のトポロジカル項に由来するこの線形項gがあります。そして、ここには剰余項があります。これは私たちの漸近展開から来ています。だから、ここでも指数関数的な動作がありますが、分母のgのkプラス1乗によって補償されます。そして今、ゲームはただマッチさせようとすることです。これら2つの量を最適化するために。そして、私たちは見ます。だから、もし私たちがLを2kプラス1 log gにすると、これら2つの量は同じ次数になります。
そして、それらは指数関数αLよりも小さくなります。わかりました。αが1/2kプラス2のオーダーである限り。だから、あなたがする必要がある特定の順序があります。さまざまなパラメータを選択するには、に。だから、確率1でラムダ1が少なくとも1/4マイナスαの2乗であることを示したいとします。だから、あなたが目指しているαを事前に修正したとしましょう。αはあなたがする必要がある次数を与えるでしょう。漸近展開を行うには。漸近展開を取得したら、このラマヌジャン関数から多項式を取得し、mを選択します。ここで、mは少なくともそれらの多項式の次数になります。そして、あなたは結論を出すことができます。
だから、繰り返しますが、kプラスゼロをすると、3/16、kプラス1をすると、2/9などになります。ええ。だから、値の要約です。私はステップを持っています。証明の新規性。だから、私たちはセルバートレース公式の期待値でキャンセルを生成するメカニズムが必要です。だから、まず、私たちが行ったのは、任意のトポロジーの測地線に対して体積関数を定義することでした。だから、これはミルザカニの元の体積多項式を拡張します。私たちはミルザカニも拡張することができました。ミルザカニ。この体積関数の任意の次数に漸近展開を行うことで機能します。非常に重要なステップの1つは、この漸近展開の係数がラマヌジャン関数であることを示すことです。そして、繰り返しますが、明日は、少なくとも今のところこの証明の一部を説明しようとします。
だから、これはまだ解明されていない部分です。私たちは絡み合いのない表面を制御する必要があります。ああ、私は完全に忘れました。私は標準の無料の使い方を完全に忘れていました。ええと、そして最後に私たちはそうします。だから、ええ、すみません。忘れました。絡み合いのない表面を条件とすると、今では私たちの合計は、無限に多くのトポロジーであったものが、今では有限に制限されていることがわかります。実際には、それは対数エンジンであるという意味で有限です。だから、すみません、言うのを完全に忘れていましたが、条件付けの全体のポイントは、だから、もともと、私たちは、私たちはすべての可能なトポロジーの合計を持っていますが、悪い表面を削除したら、実際には、ええと、ええと、長さがlog g未満であることを考えているので、この長さを持つ測地線は絡み合いのない表面で有限個の可能なトポロジーしか持てないことがわかります。わかった。ありがとうございました。ご清聴ありがとうございました。
質問は？すべての測地線を合計すると主張している公式は、メルズラック・ハナジャンを使用した存在を構築したものです。あなたはそれらすべてを合計しているだけです。ええ。ええ。直接書き留める公式はありませんか？実際には、ええと、ええと、しかし、私はいつもこの密度の存在は少し驚くべきことではありません。あなたはそれを計算するという質問がありますが、ただ存在するという事実。密度があるという事実は、あなたの測度がモジュライ空間のルベーグ測度であり、それを解析関数でプッシュフォワードするためです。だから、密度があるという事実。漸近ピーク展開があるという事実は、ほとんどがミエルチャク・クラインショウグラフです。すべての測地線を合計すると、係数についてはあまりわかりません。
絡み合いのないものが少数のトポロジーに制限できる理由を説明していただけますか？絡み合いのないものは、基本的にモジュレートされた空間のある種のコンパクトなセットに制限することを意味します。それは基本的にそれです。しかし、良い点は、それが明示的であるということです。絡み合いのないとは、少なくともεの単射半径を意味します。そして、εは任意です。そして、それはあなたが双曲線のペアのパンツを持っているならば、全長は常に少なくともεlog gであることを意味します。
だから、対数スケールで小さなペアのパンツを持つことはできません。だから、特に、もしあなたが、そしてこれは本当にシャルル・ブルドンの定義に非常に近いです。もしあなたが考えるならば、もしあなたが考えるならば、長さεlog gの測地線、それはそのようなことをすることはできません。長さεlog gの測地線の一部がある場合、または多分2分の1の場合、私はわかりません。それが2つのループを行う場合、これらの2つのループは互いにホモトピックでなければなりません。なぜなら、このような写真があった場合、同じホモトピークラスにない2つのループがある場合、絡み合いのないものに反するペアのパンツを簡単に構築できます。だから、スケールεlog gでは、可能なトポロジーに非常に強い制限があります。
そして、あなたは長さ大文字のA log gの測地線に興味があるので、あなたはそれらをサイズεlog gにカットするだけです。そして、各ピースには、トポロジーに非常に強い制限があります。多分あなたは明日説明するでしょう。平方根gのしきい値は何ですか？いいえ、私は行きません、私は平方根gに行くことはありません。私はいつもエルンスト・フェスターのようなものになるでしょう。ねえ、あなたはそれについてコメントしました。いいえ、それはミルザカイプ3の推定値を見ると、
それは単純な測地線の体積関数でした。だから、そのような主要な項があります。そして、私が覚えている限り、それから1つがあります。ポイントは、剰余項がLの2乗/ gのようなものであるということです。だから、それはそれを示しています。そして、これは指数関数Lのようなものです。だから、これは本当にカウント関数のようなものです。それは決定論的な推定値の測地線のカウント関数のようなものです。だから、Lが平方根g未満である限り、測地線のカウント関数への主な貢献は単純なものから来ているように見えます。それはそれらがすべて単純であるという意味ではありません。それはすでに単純なものが正しい次数を与えることを意味します。
そして、チューとウェイは本当にそれが真実であることを示しました。その数は、しかし、それは、ええ、私たちはそれらがすべて先験的であることを知りません。それは非常に簡単です。そうしないと、この標準的な無料のものが必要になります。単純なものを数えると、正しい桁数が得られることがわかります。はい。フリードマンの定理へのより最近の
アプローチは、双曲線表面の世界に何らかの影響を及ぼしますか？だから、私が理解している限り、それは多くの事実に依存しています。だから、正則グラフの場合、体積関数の役割を果たすが、はるかに単純なものがあります。そして、正則グラフの場合、このVGTの役割を果たすものは、だからここでgはL、頂点の数になります。そして、それは実際には、あなたがそれをVGで割ると、それは実際には有理関数です。そして、実際には、それは二項係数の商にすぎません。だから、このことは、もともと整数nに対してのみ定義されていましたが、実際には任意の値の種数に拡張できます。
だから、導関数などを取ることができます。だから先週、私はオーベルヴォルファでテキスト測定理論に関する会議に出席していました。そして、私は参加者に、双曲線表面の場合、このことを非整数の種数に拡張できるかどうかを知っているかどうか尋ねました。gが複素数になるように。なぜなら、これがグラフで起こることだからです。この関数は実際には有理関数なので、任意の複素数に拡張してから、解析関数に関する結果を使用できます。だから、私は彼らに、このことが実際に複素数の種数で意味をなすかどうかを知っているかどうか尋ねました。彼らは、その質問を最初に聞いたと言います。しかし、ゾリッチは、彼が知っているすべての公式では、実際には最後に、常にgプラス1などで評価されるガンマ関数があるというのは事実だと言います。
だから、この体積関数が実際に複素数で意味をなすのは事実かもしれませんが、彼は以前にそれについて聞いたことがないと言います。そして、理論物理学者もいましたが、彼らもそれについて聞いたことがないと言います。もう質問はありませんか？それでおしまい。ありがとうございました。
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